1、1新课标 2016 年高三数学寒假作业 5一、选择题.1.已知 P（x，y）为区域 内的任意一点，当该区域的面积为 4 时，z=2x y 的最大值是( )A6 B0 C2 D22.已知 f（x）= 是（ ，+）上的减函数，那么 a 的取值范围是( )A ， ） B （0， ） C （ ，1） D （ ，1）3.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a4=18a5，则 S8=( )A18 B36 C54 D724.对于函数 f（ x）=tan2x，下列选项中正确的是( )Af（x）在（ ， ）上是递增的 Bf（x）在定义域上单调递增Cf（x）的最小正周期为 Df（x）的所有对称中心为（
2、，0）5.若 ，则向量 与 的夹角为( )A B C D6.直线 x+my+1=0 与不等式组 表示的平面区域有公共点，则实数 m 的取值范围是( )A ， B ， C ，3 D3， 7.已知 a，b 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列说法正确的是( )A若 ab，b，则 a B若 a，b，则 abC若 a，b，则 ab D若 ab，b，则 a8.某程序框图如图所示，若输出的 S=57，则判断框内为( )2Ak4？ Bk5？ Ck6？ Dk7？9.f（x）= x3x2+ax1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数 a 的取值范围为( )A （3，+） B （3
3、， ） C （， D （0，3）10.设函数 f（x）=xe x，则( )Ax=1 为 f（x）的极大值点 Bx=1 为 f（x）的极小值点Cx= 1 为 f（x）的极大值点 Dx= 1 为 f（x）的极小值点二填空题.11.已知不等式|x m|1 成立的充分不必要条件是 x ，则 m 的取值范围是 12.已知数列a n的通项公式为 an=192n（nN *） ，则 Sn 最大时，n= 13.在 ABC 中，已知 a、b、c 成等比数列，且 ，则 = 14.已知 2 =（ 1， ） ， =（1 ， ）且 ，| |=4，则 与 的夹角为 三、解答题.15.已知数列a n前 n 项和 Sn 满足：
4、2S n+an=1（）求数列a n的通项公式；3（）设 bn= ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求证：T n 16.已知向量 ，函数f（x）= 图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为 （1）求 的值，并求函数 f（x）在区间0，上的单调递增区间；（2）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f（A）=1，cosC= ，a=5 ，求 b17.设椭圆 的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 （1）求椭圆方程（2）过点 P（0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，当OAB 面积最大时，求|AB|4【KS5U】新课标 2016 年高
5、三数学寒假作业 51.A【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为 4 的 a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 作出可行域如图，由图可得 A（a，a） ，B（a，a） ，由 ，得 a=2A（2，2） ，化目标函数 z=2xy 为 y=2xz，当 y=2xz 过 A 点时，z 最大，等于 22（2）=6故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题2.A【考点】函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用5【分析】由 f（x）为（
6、，+）上的减函数，知（3a1）x+4a 递减，log ax 递减，且（3a1）1+4alog a1，从而得 ，解出即可【解答】解：因为 f（x）为（，+）上的减函数，所以有 ，解得 ，故选 A【点评】本题考查函数单调性的性质，属中档题3.D【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得 a4+a5=18，由等差数列的性质可得 a1+a8=a4+a5=18，S 8= = =72故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题4.D【考点】正切函数的周期性；正切函数的奇偶性与对称
7、性【专题】计算题；数形结合；三角函数的图像与性质【分析】求出函数的周期，判断 A、C 的正误；正切函数的单调性判断 B 的正误；求出对称中心判断 D 的正误；【解答】解：x= 时，函数没有意义，A 不正确；正切函数在定义域上不是单调函数，B 不正确；函数 f（x）=tan2x 的周期为： ，所以 C 不正确；6（ ，0）是函数的对称中心，所以 D 正确故选：D【点评】本题考查正弦函数的简单性质的应用，考查计算能力5.B【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模 【专题】平面向量及应用【分析】将已知式子平方可得 =0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案【解答】解： ， ，两边
8、平方可得 = ，化简可得 =0，设向量 与 的夹角为 则可得 cos= = = ，又 0，故 =故选 B【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题6.D【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：即直线 x+my+1=0 过定点 D（1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：7当 m=0 时，直线为 x=1，此时直线和平面区域没有公共点，故 m0，x+my+1=0 的斜截式方程为 y= x ，斜率 k= ，要使直线和平面区域有公共点，则直线 x+my+1=0 的斜率 k0，即 k= 0，即 m
9、0，满足 kCDkk AB，此时 AB 的斜率 kAB=2，由 解得 ，即 C（2，1） ，CD 的斜率 kCD= = ，由 ，解得 ，即 A（2，4） ，AD 的斜率 kAD= = ，即 k ，则 ，解得3m ，故选：D【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键87.C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】探究型；空间位置关系与距离【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可【解答】解：若 ab、b，则 a 或 a，故 A 错误；若 a、b，则 ab 或 a，b 异面，故 B 错误；若 a，b，则 ab，满足线面垂
10、直的性质定理，故正确若 b，ab，则 a 或 a，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养8.A【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为 k4故答
11、案选 A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输9出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9.B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】求得 f（x）的导数，由题意可得 2x22x+a3=0 有两个不等的正根，运用判别式大于 0，两根之和大于 0，两根之积大于 0，解不等式即可得到 a 的范围【解答】解：f（x）= x3x 2+ax1 的导数为 f（x）=2x 22x+a，由题意可得
12、 2x22x+a=3，即 2x22x+a3=0 有两个不等的正根，则=48（a3）0，x 1+x2=10，x 1x2= （a3）0，解得 3a 故选 B【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题10.D【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】导数的概念及应用【分析】由题意，可先求出 f（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出 x=1为 f（x）的极小值点【解答】解：由于 f（x）=xe x，可得 f（x）=（x+1）e x，令 f（x）=（x+1）e x=0 可得 x=1令 f（x）=（x+1）e x0 可得 x1
13、，即函数在（1，+）上是增函数令 f（x）=（x+1）e x0 可得 x1，即函数在（，1）上是减函数所以 x=1 为 f（x）的极小值点故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，1011. m【考点】充要条件【专题】计算题【分析】先求出不等式|xm|1 的解集，再由不等式|xm|1 成立的充分不必要条件是 x来确定 m 的取值范围【解答】解：|xm|1，1xm1，m1xm+1，m1xm+1 成立的充分不必要条件是 x ， ，解得 m 故 m 的取值范围是故答案：【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解
14、法和应用12.9【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知得 a1=192=17，从而 Sn= =（n 218n）=（n9） 2+81由此能求出 n=9 时，S n取最大值 81【解答】解：数列a n的通项公式为 an=192n（nN *） ，a 1=192=17，Sn= =（n 218n）=（n9） 2+81n=9 时，S n取最大值 81故答案为：911【点评】本题考查等差数列的前 n 项和取最大值时项数 n 的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用13.【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算 【专题】计算题；解三角形【分析】先求 a+c 的平方，利用
15、a、b、c 成等比数列，结合余弦定理，求解 ac 的值，然后求解【解答】解：a+c=3，a 2+c2+2ac=9a、b、c 成等比数列：b 2=ac又 cosB= ，由余弦定理：b 2=a2+c22accosB可得 b2=a2+c2 ac解代入得 b2=92ac ac，又 b2=ac，ac=2，=accos（B）=accosB= 故答案为： 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力14.60【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算 【专题】计算题12【分析】利用向量的数量积的坐标形式的公式求出 ，利用向量数量积的运算
16、律展开，将已知代入求出 ，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦，求出夹角【解答】解：设 的夹角为 即=60故答案为 60【点评】本题考查向量数量积的坐标公式、向量数量积的运算律、利用向量的数量积求向量的夹角15.【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列【分析】 （I）利用递推式可得： 再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）可得 bn= = ， ；利用“裂项求和”即可得出数列b n的前 n 项和为 Tn，进而得到证明【解答】 （I）解：2S n+an=1，当 n2 时，2S n1 +an1 =1，132a n+ana n1 =0，化为 当 n=1 时，2a 1
17、+a1=1，a 1= 数列a n是等比数列，首项与公比都为 （II）证明：b n= ，数列b n的前 n 项和为 Tn= + += T n 【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、 “裂项求和” 、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】 （1）先求出 f（x）=2sin（x+ ） ，而 f（x）图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为其周期的四分之一，这样即可求得 =2，从而 f（x）=2sin（2x+ ） ，写出 f（x）的单调增区间，然后再找出0，上的单调递
18、增区间即可；14（2）由 f（A）=1，能够求出 A= ，由 cosC= 求出 sinC，而由 sinB=sin（ ）即可求出sinB，而由正弦定理： ，即可求出 b【解答】解：（1） ；由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ，所以 ；令 ，解得 ，kZ；又 x0，所以所求单调增区间为 ；（2） 或 ；A=k 或 ， （kZ） ，又 A（0，） ；故 ； ； ；由正弦定理得 ； 【点评】考查求函数 Asin（x+）的周期的公式，并且知道该函数的对称轴与对称中心，以及能写出该函数的单调区间，数量积的坐标运算，已知三角函数值求角，两角和的正弦公式，正弦定理17.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；
19、椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （1）由椭圆的离心率和通径长及 a2b 2=c2联立求出 a，b 的值，则椭圆方程可求；15（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点 O 到直线 l 的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长【解答】解：（1）由 ，又过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ，得 ，且 a2b 2=c2，解得 a2=2，b 2=1所以椭圆方程为 ；（2）根据题意可知，直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y=kx+2，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）由方程组 ，消去 y 得关于 x 的方程（1+2k 2）x 2+8kx+6=0由直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，则有0，即 64k224（1+2k 2）=16k 2240，得由根与系数的关系得故= =又因为原点 O 到直线 l 的距离 ，故OAB 的面积16令 ，则 2k2=t2+3所以 ，当且仅当 t=2 时等号成立，即 时， 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合题，解答的关键是利用根与系数关系得到弦长，代入面积公式后借助于基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目
