1、九年级（上）第十五周周练数学试卷一、选择题（每题 4 分，共 32 分）1如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则 tanB 的值是（ ）A B C D 2在 RtABC 中，C=90， ，则 cosA 等于（ ）A B C D 3如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D处，那么 tanBAD等于（ ）A 1 B C D 24如图，一个小球由地面沿着坡度 i=1：2 的坡面向上前进了 10m，此时小球距离地面的高度为（ ）A 5m B m C m D m5如图，在某海岛的观察所 A 测得船只 B 的俯角是
2、30若观察所的标高（当水位为 0m时的高度）是 53m，当时的水位是+3m，则观察所 A 和船只 B 的水平距离 BC 是（ ）A 50m B 50 m C 5m D 53 m6如图，两条宽度均为 40 m 的公路相交成 角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）A （m 2） B （m 2） C 1600sina（m 2） D 600cos（m 2）7如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A 450a 元 B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元8身高相
3、同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为 300 米、350 米、280 米，线与地面的夹角分别为 30、45、60（假设风筝线是拉直的） ，三人所放风筝（ ）A 甲的最高 B 乙的最高 C 丙的最高 D 一样高二、填空题（每小题 4 分，满分 28 分）9在 RtABC 中，C=Rt，若 tanB=2，a=1，则 b= 10在 RtABC 中，BC=3，AC= ，C=90，则A= 11在ABC 中，C=90，tanA=2，则 sinA+cosA= 12在 RtABC 中，C=90，sinA= ，BC=20，则ABC 的面积为 13如图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地砖，地毯的长
4、度至少需 米（精确到 0.1 米） 14如图，从位于 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60的方向，相距 600m 的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所 B，B 在 O 的正东南方向，则A，B 间的距离 是 m15如图，在高为 h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30和 60，用 h表示这个建筑物的高为 三、解答题（40 分）16计算（1）sin 260+cos260tan45（2） sin45+sin602cos4517如图，学校的保管室里，有一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为 45，如果梯子的底端 O 固定不动，顶端靠在对
5、面墙上，此时梯子与地面所成的角为60，求此保管室的宽度 AB 的长18如图，一艘轮船以每分钟 240 米的速度向正北方向航行，行驶到 A 处测一灯塔 C 在它的北偏西 30的小岛上，轮船继续向北航行，5 分钟后到达 B 点，又测得灯塔 C 在它的北偏西 45方向上据有关资料记载，在距灯塔 C 为中心 1500 米范围内有暗礁这艘轮船不改变前进方向继续行驶是否有触礁的危险？为什么？ 19如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） 过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB，BC 交于点M，N（1）求直线
6、DE 的解析式和点 M 的坐标；（2）若反比例函数 （x0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数 （x0）的图象与MNB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，共 32 分）1如图，在ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则 tanB 的值是（ ）A B C D 考点： 锐角三角函数的定义分析： 先根据ABC 的三边关系确定出其形状，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可解答： 解：在ABC 中，AC=3，B C=4，AB=5，3 2+42=52，ABC 是直角三角形，且C=90ta
7、nB= = 故选 A点评： 此题考查的是直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，比较简单2在 RtABC 中， C=90， ，则 cosA 等于（ ）A B C D 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理分析： 直接利用锐角三角函数关系得出 cosA 的值解答： 解：如图所示：AC= AB，cosA= = = 故选：B点评： 此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键3如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D处，那么 tanBAD等于（ ）A 1 B C D 2考点： 解直角三角形专题： 压轴
8、题分析： 根据旋转不变性，BD=BD根据三角函数的定义可得 tanBAD的值解答： 解：由题知，ABD=90，BD=BD= =2 ，tanBAD= = = 故选 B点评： 本题主要突破两点：一是三角函数的定义；二是旋转图形的性质4如图，一个小球由地面沿着坡度 i=1：2 的坡面向上前进了 10m，此时小球距离地面的高度为（ ）A 5m B m C m D m考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问 题专题： 压轴题分析： 可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长解答： 解：AB=10 米，tanA= = 设 BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB 2=AC2+BC2，即 100=x2+4x2
9、，解得 x=2 ，AC=4 ，BC=2 米故选 B点评： 此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况5如图，在某海岛的观察所 A 测得船只 B 的俯角是 30若观察所的标高（当水位为 0m时的高度）是 53m，当时的水位是+3m，则观察所 A 和船只 B 的水平距离 BC 是（ ）A 50m B 50 m C 5m D 53 m考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 根 据题意可得 AC=50 米，在 RtABC 中，解直角三角形即可得出 BC 的长度解答： 解：由题意得，AC=50 米，ABC=30，在 RtABC 中，BC=ACcotABC=50 （米） 故选 B点评： 本题考查了解直
10、角三角形的应用，解答本题的关键是理解俯角的定义，能利用锐角三角函数表示未知线段的长度6如图，两条宽度均为 40 m 的公路相交成 角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）A （m 2） B （m 2） C 1600sina（m 2） D 600cos（m 2）考点： 解直角三角形的应用分析： 依题意四边形为菱形， 的对边 AC 即为菱形的高，等于 40 米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解解答： 解：如图， 的对边 AC 即为路宽 40 米，即 sin= ，即斜边= ，又这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，路面面积=底边高= 4
11、0= 故选 A点评： 因为两条宽度均为 40m 的公路相交，将形成一个高为 40 的菱形，所以借助正弦可求出菱形的边长，从而求出面积7如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A 450a 元 B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元考点： 解直角三角形的应用专题： 压轴题分析： 求出三角形地的面积即可求解如图所示，作 BDCA 于 D 点在 RtABD 中，利用正弦函数定义求 BD，即ABC 的高运用三角形面积公式计算面积求解解答： 解：如图所示，作 BDCA 于 D 点BAC=150
12、，DAB=30，AB=20 米，BD=20sin30=10 米，S ABC = 3010=150（米 2） 已知这种草皮每平方米 a 元，所以一共需要 150a 元故选 C点评： 本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力8身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为 300 米、350 米、280 米，线与地面的夹角分别为 30、45、60（假设风筝线是拉直的） ，三人所放风筝（ ）A 甲的最高 B 乙的最高 C 丙的最高 D 一样高考点： 解直角三角形的应用分析： 风筝线与所放风筝距离地面的高度为直角三角形的斜边和相应度数所对的对边，利用相应度数的正弦值可得所放风筝的
13、高度，再比较即可解答： 解：甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线长分别为 300 米、350 米、280 米，线与地平面所成的角分别为 30、45、60，分别为 300sin30=150（m） ；350sin45=175 247.45（m） ；280sin60=140 242.48（m） ；乙同学放的风筝最高故选：B点评： 此题考查了锐角三角函数在解直角三角形中的应用，用到的知识点为：已知斜边，求对边，关键是利用解直角三角形列出算式，求出三人所放的风筝相应的高度二、填空题（每小题 4 分，满分 28 分）9在 RtABC 中，C=Rt，若 tanB=2，a=1，则 b= 2 考点： 解直角三角形
14、分析： 根据三角函数定义解答解答： 解：在 RtABC 中，C=90，AB 为斜边b=ACtanB=atanB=2点评： 本题考查了三角函数定义的应用10在 RtABC 中，BC=3，AC= ，C=90，则A= 60 考点： 特殊角的三角函数值分析： 根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可解答： 解：如图所示：BC=3，AC= ，C=90，tanA= = = ，A=60故答案为：60点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值以及锐角三角函数关系，正确记忆相关数据是解题关键11在ABC 中，C=90，tanA=2，则 sinA+cosA= 考点： 同角三角函数的关系分析： 根据
15、tanA=2 和三角函数的定义画出图形，进而求出 sinA 和 cosA 的值，再求出sinA+cosA 的值解答： 解：如图，tanA=2，设 AB=x，则 BC=2x，AC= = x，则有：sinA+cosA= + = + = 故答案为： 点评：此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论12在 RtABC 中，C=90，sinA= ，BC=20，则ABC 的面积为 150 考点： 解直角三角形分析： 根据正弦函数的定义即可求得 AB 的长，然后根据勾股定理即可求得 AC 的长，则三角形的面积可以求得解答： 解：在 RtABC 中，C=90，
16、sinA= = ，AB= =20 =25，AC= = =15，则ABC 的面积为： ACBC= =150故答案为：150点评： 本题考查了勾股定理以及三角函数，正确求得 AC 的长度是关键13如图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需 5.5 米（精确到 0.1 米） 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析： 要求地毯的长度其实就是求 AC 与 BC 的长度和利用 30的正切函数求解解答： 解：如图：坡角为 30，AC=BCtan30= BC3.5因此 AC+BC=5.5即地毯的长度至少是 5.5 米点评： 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和
17、问题放到直角三角形中进行解决要注意的是坡度是坡角的正切函数14如图，从位于 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60的方向，相距 600m 的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所 B，B 在 O 的正东南方向，则A，B 间的距离是 300+300 m考点： 解直角三角形的应用-方向角问题专题： 应用题分析： 根据已知及三角函数求得 OC 的长，再根据等腰直角三角形的性质求得 BC 的长，从而不难求得 AB 的长解答： 解：在直角AOC 中，AOC=30，OA=600，AC=OAsin30=300 ，OC=OAcos30=300 直角OBC 是等腰直角三角形，BC=O
18、C=300 ，AB=300+300 （m） 点评： 解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线15如图，在高为 h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30和 60，用 h表示这个建筑物的高为 h 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 作 CEAB，根据DAB 可以求得 CE 的长，根据 CE 即可求得 AE 的长，根据CD=BE=ABAE 即可解题解答： 解：作 CEAB，DAB=9060=30，tan30= ，CE=BD= h，ACE=30，AE=CEtan30= h，CD=BE=ABAE= h，故答案为 h点评： 本题考查了特殊角的三角函
19、数值，考查了直角三角形中三角函数的运用，本题中求得 BD 的长是解题的关键三、解答题（40 分）16计算（1）sin 260+cos260tan45（2） sin45+sin602cos45考点： 特殊角的三角函数值分析：（1）利用互余两锐角的关系以及特殊角的三角函数值代入求出即可；（2）利用特殊角的三角函数值代入求出即可解答： 解：（1）sin 260+cos260tan45=11=0；（2） sin45+sin602cos45= + 2= + 点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键17如图，学校的保管室里，有一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的
20、角为 45，如果梯子的底端 O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面 所成的 角为60，求此保管室的宽度 AB 的长考点： 解直角三角形的应用分析： 由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形，我们所要求的 AO、BO都是已知角 45、60的邻边，所以可根据余弦定义解题首先求出 AO，BO，然后求出AB解答： 解：由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形cos45= = ，AO= ；cos60= = ，BO= ，AB=AO+BO= + = 米点评： 此题主要考查余弦定义，在本题中用了两次余弦定义，分别求出 AO 和 BO，从而求出 AB18如 图，一艘轮船以每分钟 24
21、0 米的速度向正北方向航行，行驶到 A 处测一灯塔 C 在它的北偏西 30的小岛上，轮船继续向北航行，5 分钟后到达 B 点，又测得灯塔 C 在它的北偏西 45方向上据有关资料记载，在距灯塔 C 为中心 1500 米范围内有暗礁这艘轮船不改变前进方向继续行驶是否有触礁的危险？为什么？ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 过点 C 作 CEAB 于 E首先根据路程=速度时间求得 AB 的长，设 CE 为 x 米根据解直角三角形的知识分别用 x 表示 BE 和 AE 的长，从而列方程求得 x 的值，再进一步根据在距灯塔 C 为中心 1500 米范围内有暗礁进行比较判断解答： 解：轮船不会
22、触礁 （2 分）根据题意，得 AB=2405=1200 （3 分）设 CE 为 x 米过点 C 作 CEAB 于 E CBE=45 度，ECB=45 度BE=CE=x （5 分）CAE=30 度， ， （6 分） ， （7 分） （米） ， （9 分）16391500，故不会触礁 （10 分）点评： 此题考查了解直角三角形的知识和垂线段最短的性质，要熟悉特殊角的锐角三角函数值19如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） 过点 D（0，3）和 E（6，0）的直线分别与 AB，BC 交于点M，N（1）求直线 DE
23、的解析式和点 M 的坐标；（2）若反比例函数 （x0）的图象经过点 M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数 （x0）的图象与MNB 有公共点，请直接写出 m 的取值范围考点： 反比例函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式专题： 综合题分析： （1）设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，直接把点 D，E 代入解析式利用待定系数法即可求得直线 DE 的解析式，先根据矩形的性质求得点 M 的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；（2）利用点 M 求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点 N 的坐标，再代入反比
24、例函数的解析式判断是否成立即可；（3）满足条件的最内的双曲线的 m=4，最外的双曲线的 m=8，所以可得其取值范围解答： 解：（1）设直线 DE 的解析式为 y=kx+b，点 D，E 的坐标为（0，3） 、 （6，0） ， ，解得 k= ，b=3； ；点 M 在 AB 边上，B（4，2） ，而四边形 OABC 是矩形，点 M 的纵坐标为 2；又点 M 在直线 上，2= ；x=2；M（2，2） ；（2） （x0）经过点 M（2，2） ，m=4； ；又点 N 在 BC 边上，B（4，2） ，点 N 的横坐标为 4；点 N 在直线 上，y=1；N（4，1） ；当 x=4 时，y= =1，点 N 在函数 的图象上；（3）当反比例函数 （x0）的图象通过点 M（2，2） ，N（4，1）时 m 的值最小，当反比例函数 （x0）的图象通过点 B（4，2）时 m 的值最大，2= ，有 m 的值最小为 4，2= ，有 m 的值最大为 8，4m8点评： 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的 k 值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上
