1、课时作业A 组基础对点练1.如图,在 RtABC 中,ABC90,P 为ABC 所在平面外一点,PA平面 ABC,则四面体 PABC 中共有直角三角形个数为( )A4 B3C2 D1解析:由 PA平面 ABC 可得 PAC,PAB 是直角三角形,且 PABC.又ABC90,即 ABBC,所以ABC 是直角三角形,且 BC平面 PAB,又 PB平面 PAB,所以 BCPB,即PBC 为直角三角形,故四面体 PABC 中共有 4 个直角三角形答案:A2(2017兰州诊断考试 )设 , 为不同的平面, m,n 为不同的直线,则m 的一个充分条件是( )A, n,mnBm, , C , ,mDn,n
2、,m解析:A 不对,m 可能在平面 内,也可能与 平行;B,C 不对, 满足条件的 m和 可能相交,也可能平行;D 对,由 n,n 可知 ,结合 m 知 m,故选 D.答案:D3(2018长沙市模拟 )平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 AB1,且平面 平面 C1BD,平面 平面 ADD1A1AS,则 A 1AS 的正切值为( )A. B.32 55C. D.33 12解析:连接 AC,A1C,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,BDAC,BDAA 1,AC AA1A, BD平面 AA1C,A1CBD,同理,得 A1CBC1,BDBC 1B,A 1C平面 C1BD,如图,
3、以 AA1为侧棱补作一个正方体 AEFGA1PQR,使得侧面 AGRA1 与平面ADD1A1 共面,连接 AQ,则 AQCA1,连接 QB1,交 A1R 于 S,则平面 AQB1 就是平面 ,AQCA1,AQ平面 C1BD,AQ平面 ,平面 平面 C1BD,tanA1AS .故选 D.A1SAA1 12答案:D4.如图,O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是( )AA 1D BAA 1CA 1D1 DA 1C1解析:连接 B1D1(图略),则 A1C1B1D1,根据正方体特征可得 BB1A1C1,故A1C1平面 BB1D1D,B1O平
4、面 BB1D1D,所以 B1OA1C1.答案:D5.如图,在三棱锥 DABC 中,若 ABCB,ADCD,E 是AC 的中点,则下列命题中正确的有 (写出全部正确命题的序号)平面 ABC平面 ABD;平面 ABD 平面 BCD;平面 ABC平面 BDE,且平面 ACD平面 BDE;平面 ABC平面 ACD,且平面 ACD平面 BDE.解析:由 ABCB, ADCD 知 ACDE,ACBE,从而 AC平面 BDE,所以平面 ABC平面 BDE,且平面 ACD平面 BDE,故正确答案:6.如图,PAO 所在平面, AB 是O 的直径, C 是O上一点,AEPC,AF PB,给出下列结论:AEBC;
5、EF PB ;AFBC;AE平面 PBC,其中正确的结论有 解析:AE 平面 PAC,BCAC,BCPAAEBC,故正确;AEPC,AEBC,PB平面 PBCAE PB,EF平面 AEFEFPB,故 正确;AFPB,若 AFBCAF平面 PBC,则 AFAE 与已知矛盾,故 错误;由可知正确答案:7.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:如图,连接 AC,BD,则 ACBD,PA底面ABCD,PABD.又 PAACA ,BD平面 PAC,BDP
6、C,当 DMPC(或 BMPC)时 ,即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD,平面MBD平面 PCD.答案:DM PC( 或 BMPC 等)8.如图,四棱锥 PABCD 中,AP平面PCD,AD BC,AB BC AD,E ,F 分别为线段 AD,PC 的12中点求证:(1)AP平面 BEF;(2)BE平面 PAC.证明:(1)设 ACBE O,连接 OF,EC,如 图所示由于 E 为 AD 的中点,ABBC AD,ADBC,12所以 AEBC,AEABBC,因此四边形 ABCE 为菱形,所以 O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点,因此在PAC 中,可得 APOF.又 OF平面
7、BEF,AP 平面 BEF.所以 AP平面 BEF.(2)由题意知 EDBC,EDBC.所以四边形 BCDE 为平行四边形,因此 BECD.又 AP平面 PCD,所以 APCD,因此 APBE.因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BEAC.又 APACA ,AP,AC平面 PAC,所以 BE平面 PAC.9(2018唐山统考 )已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形,PD底面ABCD,E 为棱 PD 的中点(1)证明:PB平面 AEC;(2)若 PDAD2,PB AC,求点 P 到平面 AEC 的距离解析:(1)证明:如 图,连接 BD,交 AC 于点 F,连接 EF,底面 ABCD
8、 为矩形,F 为 BD 中点,又 E 为 PD 中点, EFPB,又 PB 平面 AEC,EF平面 AEC,PB平面 AEC.(2)PD平面 ABCD,AC平面 ABCD,PDAC,又 PBAC,PBPD P,AC平面 PBD,BD平面 PBD,ACBD,四边形 ABCD 为正方形又 E 为 PD 的中点, P 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离, 设 D 到平面 AEC 的距离为 h,由题意可知 AEEC ,AC2 ,SAEC 2 ,由5 212 2 3 6VDAECV EADC得 SAECh SADCED,解得 h ,点 P 到平面 AEC 的距离13 13 63为 .
9、63B 组能力提升练1.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为线段A1B 上的动点,则下列结论正确的是( )ADB 1D 1PB平面 AD1P平面 A1DB1C APD1 的最大值为 90DAPPD 1 的最小值为2 62解析:当点 P 在 A1 点时,DB 1 与 D1A1显然不垂直,A 错误;A 1B1平面ADD1A1,A1B1AD1,又在正方形 ADD1A1 中,A 1DAD1,AD1平面 A1DB1.又AD1平面 AD1P,平面 AD1P平面 A1DB1,B 正确正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,AD1A 1B ,BD1 ,令 A1Px ,则
10、0x ,D1P ,2 3 2 x2 1AP ,AA21 A1P2 2AA1A1PcosAA1P x2 2x 1cosAPD1 ,AP2 PD21 AD212APPD1 2x2 2x2APPD1 2x 2x 12APPD1显然,当 x0 或 x 时,cos APD10, APD190;22当 00,0APD190.22 2APD1 的最大值大于 90,且当 x 时,cosAPD 1 最大,此 时24AP ,D1P ,显然 ,C,D 均错误,故选 B.104 324 104 324 2 62答案:B2(2018石家庄质检 )在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑 ABCD 中
11、,AB 平面 BCD,且 BD CD,AB BDCD,点 P 在棱 AC 上运动,设 CP 的长度为 x,若 PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图像大致是( )解析:如图,作 PQBC 于 Q,作 QRBD 于 R,连接 PR,则由鳖臑的定义知 PQAB,QRCD.设 ABBDCD1,则 CPAC ,即 PQ ,又 ,所以 QRx3 PQ1 x3 QR1 BQBC APAC 3 x3,所以 PR ,所以 f(x)3 x3 PQ2 QR2 x32 3 x3 2 33 2x2 23x 3 ,故 选 A.36 2x2 23x 3 66 x 322 34答案:A3.如图,直三棱柱 ABCA1B
12、1C1 中,侧棱长为2,ACBC1,ACB90,D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB 1,DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF,则线段 B1F的长为( )A. B112C. D232解析:设 B1Fx ,因为 AB1平面 C1DF,DF平面 C1DF,所以 AB1DF.由已知可得 A1B1 ,设 RtAA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE h.又 2 h212 2,所以 h ,DE .在 RtDB1E 中,B 1E .由22 22233 33 ( 22)2 ( 33)2 66面积相等得 x,得 x .66 x2 ( 22)2 22 12答案:A4如图,三棱
13、柱 ABCA1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且AO平面 BB1C1C.(1)证明:B 1CAB ;(2)若 ACAB 1,CBB 160 ,BC1,求三棱柱 ABCA1B1C1 的高解析:(1)证明:如 图,连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1CBC1.又 AO平面 BB1C1C,所以 B1CAO,故 B1C平面 ABO.由于 AB平面 ABO,故 B1CAB.(2)如图,作 ODBC,垂足为 D,连接 AD.作 OHAD,垂足为 H.由于 BCAO,BCOD,故 BC平面 AOD,所以 OHBC.又
14、 OHAD,所以 OH平面 ABC.因为 CBB160 ,所以CBB 1为等边三角形,又 BC1,所以 OD .34由于 ACAB1,所以 OA B1C .12 12由 OHAD ODOA,且 AD ,OD2 OA274得 OH .2114又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 .217故三棱柱 ABCA1B1C1 的高为 .2175(2017北京东城区模拟)如图,在四棱锥 EABCD 中,AEDE,CD平面ADE,AB平面 ADE,CD3AB.(1)求证:平面 ACE平面 CDE;(2)在线段 DE 上是否存在一点 F,使 AF平面 BCE?若存在,求出 的值;E
15、FED若不存在,说明理由解析:(1)证明:因 为 CD平面 ADE,AE平面 ADE,所以 CDAE.又 AEDE,CDDED,所以 AE平面 CDE,因为 AE平面 ACE,所以平面 ACE平面 CDE.(2)在线段 DE 上存在一点 F,且 ,使 AF平面 BCE.EFED 13设 F 为线段 DE 上一点,且 .EFED 13过点 F 作 FMCD 交 CE 于点 M,连接 BM,AF,则 FM CD.13因为 CD平面 ADE,AB平面 ADE,所以 CDAB.又 FMCD,所以 FMAB.因为 CD3AB,所以 FMAB.所以四边形 ABMF 是平行四边形,所以 AFBM.又 AF
16、平面 BCE,BM平面 BCE,所以 AF平面 BCE.6如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PAPD,BAD60,E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上(1)求证:AD平面 PBE;(2)若 Q 是 PC 的中点,求证:PA 平面 BDQ;(3)若 VPBCDE2V QABCD,试求 的值CPCQ解析:(1)证明:由 E 是 AD 的中点, PAPD 可得 ADPE.又底面 ABCD 是菱形, BAD60 ,所以 ABBD,又 E 是 AD 的中点,所以 ADBE,又 PEBEE,所以 AD平面 PBE.(2)证明:连接 AC,交 BD 于点 O,连接 OQ.因为 O 是 AC 的中点,Q 是 PC 的中点,所以 OQPA,又 PA 平面 BDQ,OQ平面 BDQ,所以 PA平面 BDQ.(3)设四棱锥 PBCDE,QABCD 的高分别为 h1,h2.所以 VPBCDE S 四边形 BCDEh1,13VQABCD S 四边形 ABCDh2.13又 VPBCDE 2VQABCD,且 S 四边形 BCDE S 四边形 ABCD,所以 .34 CPCQ h1h2 83