1、课时作业A 组基础对点练1已知 F 为双曲线 C：x 2my 23m (m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( )A. B33C. m D3m3解析：双曲线方程为 1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 .选 A.x23m y23 3答案：A2已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B.62C. D152解析：因为双曲线的方程为 1， 所以 e21 4，因此 a21， a1.选 D.x2a2 y23 3a2答案：D3双曲线 x24y 21 的渐近线方程为( )Ax2y0 By 2x0Cx4y0 Dy4x0解析：依题意，题中的双曲线 即 x 21
2、，因此其 渐近线方程是 x 20，即 x2y0，选y214y214A.答案：A4已知双曲线 y 21 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线上，且满足x23|PF1|PF 2|2 ，则PF 1F2 的面积为( )5A1 B. 3C. D.512解析：在双曲线 y 21 中，a ，b1，c 2.不防设 P 点在双曲线的右支上，则有x23 3|PF1|PF 2|2 a2 ，又|PF 1| PF2|2 ，|PF1| ，|PF2| .又3 5 5 3 5 3|F1F2| 2c4，而|PF 1|2| PF2|2| F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2 |PF1|PF2| ( 12 12
3、5)( )1.故选 A.3 5 3答案：A5已知双曲线 C： 1(a0，b0)，直线 l：y2x2.若直线 l 平行于双曲线 C 的一x2a2 y2b2条渐近线且经过 C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 ( )A1 B2C. D45解析：根据题意，双曲线 C 的方程为 1( a0，b0)，其焦点在 x 轴上，渐近线方程为x2a2 y2b2y x，又由直线 l 平行于双曲 线 C 的一条渐近线，可知 2，直线 l：y2x2 与 x 轴的交ba ba点坐标为(1,0)，即双曲线 C 的一个顶点坐标为(1,0) ，即 a1，则 b2a2，故双曲 线 C 的焦点到渐近线的距离为 2，
4、故选 B.答案：B6已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. B25 12C. D22 2解析：不妨设双曲线的方程为 1(a0 ，b0)，因 为 焦点 F(c,0)到渐近线 bxay0 的x2a2 y2b2距离为 a，所以 a，即 a，所以 1，所以 该双曲 线的离心率 e bca2 b2 bcc ba ca 1 ba2，故 选 C.2答案：C7已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2 (5,0)，则双曲线 C 的方程x2a2 y2b2 54为( )A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C. 1 D. 1x216 y29 x23 y
5、24解析：由题意得 e ，又右焦点为 F2(5,0)，a2b 2c 2，所以 a216，b 29，故双曲1 b2a2 54线 C 的方程为 1.x216 y29答案：C8已知双曲线 1(a0，b0)的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2a2 y2b2 52xy0 垂直，则双曲线的方程为( )A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220解析：由题意得 c ， ，则 a2，b1，所以双曲 线 的方程为 y 21.5ba 12 x24答案：A9(2018山西八校联考)已知双曲线 C： 1( a0，b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2
6、b2F1，F 2，焦距为 2c，直线 y (xc)与双曲线的一个交点 P 满足PF 2F12PF 1F2，则33双曲线的离心率 e 为( )A. B.2 3C2 1 D. 13 3解析：直线 y (xc )过左焦点 F1，且其 倾斜角为 30，PF1F230，PF 2F160，33F2PF190，即 F1PF2P.|PF2| |F1F2|c， |PF1| F1F2|sin 60 c，由双曲线的定义12 3得 2a|PF 1| PF2| cc ，双曲线 C 的离心率 e 1，选 D.3ca c3c c2 3答案：D10已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1( a0，b0)的两个焦点，P 是双曲线
7、 C 上一点，若x2a2 y2b2|PF1|PF 2|6 a，且PF 1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 Bx y02 2C2xy0 Dx2y0解析：不妨设|PF 1|PF2|，则Error!所以|PF 1|4a， |PF2|2a，且 |F1F2|2c ，即 |PF2|为最小边，即PF 1F230，则PF 1F2为直角三角形，所以 2c2 a，所以 b a，即渐近线方程为 y x，故选 A.3 2 2答案：A11已知双曲线 C： 1(a0，b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则x2a2 y2b2C 的方程为( )A. 1 B
8、. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280解析：依题意Error!，解得Error! ，双曲 线 C 的方程为 1.x220 y25答案：A12已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为312_解析：法一：因为双曲线过点(4， )且渐近线方程为 y x，故点(4， )在直线 y x 的下312 3 12方设该双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，所以 Error!，解得Error!故双曲线方程为x2a2 y2b2y 21.x24法二：因为双曲线的渐近线方程为 y x，故可设双曲线为 y 2( 0)，又双曲线过点
9、12 x24(4， )，所以 ( )2，所以 1，故双曲线方程为 y 21.3424 3 x24答案： y 21x2413双曲线 ： 1(a0，b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 的实轴y2a2 x2b2长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 axby0 的距离 为 b3，所以ab |5b|a2 b2 5bca4,2a8.答案：814已知双曲线 C： 1(a0，b0)与椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线 C 的x2a2 y2b2 x29 y24渐近线方程为 y2 x，则双曲线 C 的方程为_解析：易得椭圆的焦点为( ，0)，( ，0)，5 5Error!a21，
10、b 24，双曲 线 C 的方程为 x2 1.y24答案：x 2 1y2415(2018合肥市质检)双曲线 M： 1(a0 ，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，直线x2a2 y2b2xa 与双曲线 M 的渐近线交于点 P，若 sinPF 1F2 ，则该双曲线的离心率为13_解析：不妨设 P 为直线 xa 与双曲线 M 的渐近线在第一象限内的交点，则 P 点坐标为(a，b)，因为 sinPF1F2 ，所以|PF 1|3b，所以(ac) 2b 29b 2，即139a22ac7c 20,7e 22e90，又 e1，解得 e .97答案：97B 组能力提升练1已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1
11、( a0，b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满x2a2 y2b2足 2| | |，则双曲线的离心率的取值范围是( )PF1 PF2 F1F2 A(1， B(1,22C ，) D2 ， )2解析：2| | |4| |2c| | ，又 | |a，a ，即 c2a，e 2.PF1 PF2 F1F2 OP OP c2 OP c2 ca故选 D.答案：D2若实数 k 满足 00)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线x24 y2b2的两条渐近线相交于 A，B，C ，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23
12、C. 1 D. 1x24 y24 x24 y212解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四 边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为y x，圆的方程为 x2y 24，不妨设交点 A 在第一象限，由 y x，x2y 24 得 xAb2 b2，yA ，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 2b，解得 b212，故所求的44 b2 2b4 b2 32b4 b2双曲线方程为 1，选 D.x24 y212答案：D6已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双x2a2 y2b2曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x2
13、16 y29 x23 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23解析：因为以|F 1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点 为(3,4) ，所以 c5， ，又ba 43c2a 2b 2，所以 a3，b4，所以此双曲 线的方程为 1.x29 y216答案：C7过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与另x2a2 y2b2一条渐近线交于点 B，若 2 ，则此双曲线的离心率为( )FB FA A. B.2 3C2 D. 5解析：不妨设 B(x， x)，|OB| c，可取 B(a，b)，由题意可知点 A 为 BF 的ba x2 bax2中点，所以 A
14、( ， )，又点 A 在直线 y x 上，则 ，c2a，e2.c a2 b2 ba bac a2 b2答案：C8若直线 l1 和直线 l2 相交于一点，将直线 l1 绕该点逆时针旋转到与 l2 第一次重合时所转的角为 ，则角 就称为 l1 到 l2 的角，tan ，其中 k1，k 2 分别是 l 1，l 2 的斜率，k2 k11 k1k2已知双曲线 E： 1(a 0，b0) 的右焦点为 F，A 是右顶点， P 是直线 x 上的一点，x2a2 y2b2 a2ce 是双曲线的离心率，直线 PA 到 PF 的角为 ，则 tan 的最大值为 ( )A. B.1e e1 eC. D.e21 e e2解析
15、：设 PA，PF 的斜率分别为 k3，k4，由 题意可知 tan ，不妨设 P( ，y)(y0)，k4 k31 k3k4 a2c则 k3 ，k4 .令 m a，n c， 则 tan ，由ya2c aya2c c a2c a2cyn ym1 ynymm nmny ymnca0，得当 y 取得最小值时 tan 取最大值，又 y0，m0，b0)的左焦点 F1，作圆 x2y 2a 2 的切线交x2a2 y2b2双曲线的右支于点 P，切点为 T，PF 1 的中点 M 在第一象限，则以下结论正确的是 ( )Aba|MO| MT|Bba|MO |MT |Cba0，b0)的一个焦点，以点 F 为x2a2 y2
16、b2圆心的圆与 C 的渐近线相切，且与 C 交于 A，B 两点，若 AFx 轴，则 C 的离心率为_解析：不妨设 F 为双曲线的右焦点，则 F(c,0)，易知双曲 线 的渐近线方程为 y x，则双曲ba线的焦点 F 到渐近线的距离 d b，所以圆 F 的半径为 b.在双曲线方程中，令bca2 b2xc，得 y ，所以 A(c， )因为点 A 在圆 F 上，所以 b，即 ab，所以b2a b2a b2ac a，所以 e .a2 b2 2ca 2答案： 211双曲线 1(a0，b0)上一点 M(3,4) 关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 F2，x2a2 y2b2则该双曲线的标准方程为_解析：不妨设
17、双曲线 1 的右焦点 F2(c,0)关于渐近线 y x 对称的点在双曲线上，x2a2 y2b2 ba则过焦点 F2 且垂直于该渐近线的直线方程为 y0 (xc)，即 y (xc) ab ab联立可得方程组Error!解得Error!由中点坐标公式可得 F2 关于渐近线对称的点的坐标为( c， )，2a2c 2abc将其代入双曲线的方程可得 1，化 简可得 c25a 2，c2a 2b 25a 2，所以2a2 c22a2c2 4a2c2b24a 2.因为 M(3,4) 在双曲线 1 上，所以 1， 1，所以x2a2 y2b2 9a2 16b2 9a2 164a2a25，b 220，则该双曲线的标准
18、方程为 1.x25 y220答案： 1x25 y22012设双曲线 x2 1 的左，右焦点分别为 F1，F 2.若点 P 在双曲线上，且F 1PF2 为锐y23角三角形，则|PF 1| PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PF2x 轴时，|PF1|PF 2|有最大 值 8；当 P 为直角时， |PF1|PF 2|有最小值 2 .因为F 1PF2为锐角三角7形，所以|PF 1| |PF2|的取值范围为(2 ，8)7答案：(2 ，8)713(2018沈阳质量监测)已知 P 是双曲线 y 21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的x23两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，则 的值是_ PA PB 解析：设 P(x0，y0)，因 为该双曲 线的渐近线分别是 y 0， y0，所以可取| PA|x3 x3，|PB| ，又 cosAPBcos AOBcos2 AOxcos ，所以 |x03 y0|13 1|x03 y0|13 1 3 12 PA | | |cosAPB ( ) ( ) .PB PA PB |x203 y20|43 12 34 12 38答案：38
