1、课时作业A 组基础对点练1已知 F 为双曲线 C：x 2my 23m(m0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( )A. B33C. m D3m3解析：双曲线方程为 1，焦点 F 到一条渐 近线的距离为 .选 A.x23m y23 3答案：A2已知双曲线 1( a0)的离心率为 2，则 a( )x2a2 y23A2 B.62C. D152解析：因为双曲线的方程为 1，所以 e21 4，因此 a21，a1.选x2a2 y23 3a2D.答案：D3双曲线 x24y 21 的渐近线方程为 ( )Ax2 y0 By2x 0Cx4y0 Dy4x0解析：依题意，题中的双曲线即 x 21，
2、因此其渐近线方程是 x 20，即y214y214x2y0，选 A.答案：A4已知双曲线 y 21 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在双曲线上，且满x23足|PF 1|PF 2|2 ，则PF 1F2 的面积为( )5A1 B. 3C. D.512解析：在双曲线 y 2 1 中， a ，b1， c2.不防设 P 点在双曲线的右支上，x23 3则有|PF 1|PF 2|2a2 ，又|PF 1|PF 2|2 ，|PF1| ，|PF2| .又3 5 5 3 5 3|F1F2|2c4，而|PF 1|2 |PF2|2| F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2 |PF1|PF2| ( )( )1.
3、故选 A.12 12 5 3 5 3答案：A5已知双曲线 C： 1(a0，b0) ，直线 l：y2x 2.若直线 l 平行于双x2a2 y2b2曲线 C 的一条渐近线且经过 C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为( )A1 B2C. D45解析：根据题意，双曲线 C 的方程为 1( a0，b0)，其焦点在 x 轴上，渐x2a2 y2b2近线方程为 y x，又由直线 l 平行于双曲线 C 的一条 渐近线，可知 2，直线ba bal：y2x2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲 线 C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a1，则 b2a2，故双曲线 C 的焦点到渐近线的距离 为 2
4、，故 选 B.答案：B6已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. B25 12C. D22 2解析：不妨设双曲线的方程为 1(a0，b0)，因为焦点 F(c,0)到渐近线x2a2 y2b2bxay0 的距离为 a，所以 a，即 a，所以 1，所以该双曲线的离bca2 b2 bcc ba心率 e ，故选 C.ca 1 ba2 2答案：C7已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线x2a2 y2b2 54C 的方程为 ( )A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析：由
5、题意得 e ，又右焦点 为 F2(5,0)，a2b 2c 2，所以1 b2a2 54a216，b 29，故双曲线 C 的方程为 1.x216 y29答案：C8已知双曲线 1(a0，b0) 的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与直x2a2 y2b2 5线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为 ( )A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. 1 D. 13x220 3y25 3x25 3y220解析：由题意得 c ， ，则 a2，b1，所以双曲线的方程为 y 21.5ba 12 x24答案：A9(2018山西八校联考 )已知双曲线 C： 1(a0，b0) 的左、右焦点分x2a2 y2b2别为 F
6、1，F 2，焦距为 2c，直线 y (xc)与双曲线的一个交点 P 满足33PF 2F12 PF1F2，则双曲线的离心率 e 为( )A. B.2 3C2 1 D. 13 3解析：直线 y (xc )过左焦点 F1，且其倾斜角为 30，PF1F230 ，33PF2F160，F 2PF190，即 F1PF2P.|PF2| |F1F2|c ，|PF1|F 1F2|sin 1260 c，由双曲线的定义得 2a| PF1| PF2| cc ，双曲线 C 的离心率3 3e 1，选 D.ca c3c c2 3答案：D10已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1(a0 ，b0)的两个焦点，P 是双曲线 Cx2
7、a2 y2b2上一点，若|PF 1|PF 2| 6a，且PF 1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 Bx y02 2C2xy0 Dx2y0解析：不妨设|PF 1|PF2|，则Error!所以|PF 1|4 a，|PF2|2a，且| F1F2|2c，即|PF 2|为最小边，即 PF1F230 ，则PF1F2为 直角三角形，所以 2c2 a，所以 b a，即渐近线方程为 y x，故3 2 2选 A.答案：A11已知双曲线 C： 1(a0，b0) 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐x2a2 y2b2近线上，则 C 的方程为( )A. 1 B.
8、1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280解析：依题意Error!，解得Error!，双曲线 C 的方程 为 1.x220 y25答案：A12已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程312为 解析：法一：因为双曲线过点(4， )且渐近线方程为 y x，故点(4， )在直312 3线 y x 的下方设该双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，所以Error!，解12 x2a2 y2b2得Error!故双曲线方程为 y 21.x24法二：因为双曲线的渐近线方程为 y x，故可设双曲线为 y 2(0)，又12 x24双曲线
9、过点(4， )，所以 ( )2，所以 1，故双曲线方程为 y 21.3424 3 x24答案： y 21x2413双曲线 ： 1(a0，b0)的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，y2a2 x2b2则 的实轴长等于 解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 axby 0 的距离为ab b3，所以 a4,2a8.|5b|a2 b2 5bc答案：814已知双曲线 C： 1(a0，b0) 与椭圆 1 有相同的焦点，且x2a2 y2b2 x29 y24双曲线 C 的渐近线方程为 y2x，则双曲线 C 的方程为 解析：易得椭圆的焦点为( ，0)，( ，0)，5 5Error!a2 1，b24
10、，双曲线 C 的方程 为 x2 1.y24答案：x 2 1y2415(2018合肥市质检 )双曲线 M： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，直线 xa 与双曲线 M 的渐近线交于点 P，若 sinPF 1F2 ，则该双13曲线的离心率为 解析：不妨设 P 为直线 xa 与双曲线 M 的渐近线 在第一象限内的交点，则 P点坐标为(a，b)，因为 sinPF1F2 ，所以|PF 1|3b，所以(ac) 2b 29b 2，即139a22ac7c 20,7e 22e90，又 e1，解得 e .97答案：97B 组能力提升练1已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1(a0
11、，b0)的两个焦点，若在双曲线上x2a2 y2b2存在点 P 满足 2| | |，则双曲线的离心率的取值范围是( )PF1 PF2 F1F2 A(1， B(1,22C ，) D2，)2解析：2| | |4| |2c| | ，又| |a， a ，即PF1 PF2 F1F2 OP OP c2 OP c2c2a，e 2.故选 D.ca答案：D2若实数 k 满足 00)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的x24 y2b2圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 3y24 x24 4y23C. 1 D. 1x
12、24 y24 x24 y212解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为 y x，圆的方程为 x2y 24，不妨 设交点 A 在第一象限，由b2y x，x2y 24 得 xA ，yA ，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyAb2 44 b2 2b4 b22b，解得 b212，故所求的双曲线方程为 1，选 D.32b4 b2 x24 y212答案：D6已知双曲线 1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1、F 2，以|F 1F2|为直x2a2 y2b2径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x2
13、3 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23解析：因为以|F 1F2|为直径的 圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c5， ，又 c2a 2b 2，所以 a3，b4，所以此双曲线的方程为 1.ba 43 x29 y216答案：C7过双曲线 1(a0，b0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为x2a2 y2b2点 A，与另一条渐近线交于点 B，若 2 ，则此双曲线的离心率为 ( )FB FA A. B.2 3C2 D. 5解析：不妨设 B(x， x)，|OB| c，可取 B(a， b)，由题意可知ba x2 bax2点 A 为 BF 的中点，所以 A( ， )，又
14、点 A 在直线 y x 上，c a2 b2 ba则 ，c2a，e2.bac a2 b2答案：C8若直线 l1 和直线 l2 相交于一点，将直线 l1 绕该点逆时针旋转到与 l2 第一次重合时所转的角为 ，则角 就称为 l1 到 l2 的角，tan ，其中 k1，k 2 分k2 k11 k1k2别是 l1，l 2 的斜率，已知双曲线 E： 1(a0，b0)的右焦点为 F，A 是右x2a2 y2b2顶点，P 是直线 x 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线 PA 到 PF 的角为a2c，则 tan 的最大值为( )A. B.1e e1 eC. D.e21 e e2解析：设 PA，PF 的斜率分别为
15、 k3，k4，由题意可知 tan ，不妨设k4 k31 k3k4P( ，y)(y0)，则 k3 ，k4 .令 m a，n c， 则 tan a2c ya2c a ya2c c a2c a2c ，由 mnca0 ，得当 y 取得最小值时 tan 取最大值，yn ym1 ynymm nmny y mny又 y0，m0，b0)的左焦点 F1，作圆x2a2 y2b2x2y 2a 2 的切线交双曲线的右支于点 P，切点为 T，PF 1 的中点 M 在第一象限，则以下结论正确的是( )Aba|MO| MT|Bb a|MO|MT|Cb a0，b0)的一个焦点，x2a2 y2b2以点 F 为圆心的圆与 C 的
16、渐近线相切，且与 C 交于 A，B 两点，若 AFx 轴，则 C 的离心率为 解析：不妨设 F 为双曲线的右焦点， 则 F(c,0)，易知双曲 线的渐近线方程为 yx，则双曲线的焦点 F 到渐近线的距离 d b，所以圆 F 的半径为 b.在ba bca2 b2双曲线方程中，令 xc，得 y ，所以 A(c， )因为点 A 在圆 F 上，所以b2a b2ab，即 ab，所以 c a，所以 e .b2a a2 b2 2 ca 2答案： 211双曲线 1(a0，b0) 上一点 M(3,4)关于一条渐近线的对称点恰为x2a2 y2b2右焦点 F2，则该双曲线的标准方程为 解析：不妨设双曲线 1 的右焦
17、点 F2(c,0)关于渐近线 y x 对称的点在x2a2 y2b2 ba双曲线上，则过焦点 F2 且垂直于该渐近线的直线方程为 y0 (xc)，即aby (xc)ab联立可得方程组Error!解得Error!由中点坐标公式可得 F2 关于渐近线对称的点的坐 标为( c ， )，2a2c 2abc将其代入双曲线的方程可得 1，化简可得2a2 c22a2c2 4a2c2c25a 2，c2a 2b 25a 2，所以 b24a 2.因为 M(3，4)在双曲线 1 上，x2a2 y2b2所以 1， 1，所以 a25，b 220，则该双曲线的标准方程为 9a2 16b2 9a2 164a2 x251.y2
18、20答案： 1x25 y22012设双曲线 x2 1 的左，右焦点分别为 F1，F 2.若点 P 在双曲线上，且y23F1PF2 为锐角三角形，则|PF 1| PF2|的取值范围是 解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上， 现考虑两种极限情况：当 PF2x 轴时，|PF 1|PF 2|有最大值 8；当P 为直角时，| PF1| |PF2|有最小值 2 .因为7F1PF2为锐 角三角形，所以|PF 1|PF 2|的取值范围为(2 ，8)7答案：(2 ，8)713(2018沈阳质量监测 )已知 P 是双曲线 y 21 上任意一点，过点 P 分别x23作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，求 的值PA PB 解析：设 P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 y 0， y0，所以可x3 x3取|PA| ，|PB| ，又|x03 y0|13 1|x03 y0|13 1cosAPBcos AOBcos2AOxcos ，所3 12以 | | |cosAPB ( ) ( ) .PA PB PA PB |x203 y20|43 12 34 12 38
