1、1新人教版九年级数学上册期末复习：综合解答题分专题例谈 九年级上期数学统考中的综合解答题相对于统考试卷内的其它题目有一定难度系数的，在统考和中考常以压轴题的形式出现；下面我分专题编选了几种类型的综合解答题，每个专题又分为试题赏析、典型题例和追踪练习：试题赏析进行考点分析和解答，附有点评；解答规范书写，标注得分点；典型例题以师生互动的方式进行；追踪练习供课堂内外有余力的同学进一步提升.所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！另外在最后还选编了一部分与现行的新人教版内容相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力.专题一：以圆为基架的综合题一、试题赏析：24.（2012-2013 上学期统考
2、）正方形 ABCD 的边 AB 是O 的直径，CF 切O 于点 E，交 AD 于点F，且切点 E 在正方形的内部，AE、BE 的长是 的两实根，令 .230xm-+=2nAB.求 n 与 m 函数关系式，并求出自变量 m 的取值范围；.求 m 的值和 AF 的长. 考点：正方形的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等.分析：.由于 AE、BE 是 的两直角边，而 是其斜边，所以本问应从ABEVAB和勾股定理切入；AE、BE 的长是 的两实根，根据一元二次方程根2nAB230x
3、m-+=的根与系数的关系定理（韦达定理）进行变换可以推出 n 与 m 函数关系式.再由一元二次方程根的判别式可得出自变量 m 的取值范围.根据韦达定理可知 ,分别求出 就可求出 的值.连接 交E、 OC与 ,根据三角形的中位线定理，可知 ,在此基础上利用切线长定理、全EMA2OM等三角形和垂径定理的知识可以得出 AE 和 BE 之间的数量关系，由 建立方AEB3程可以求出 的值，从而求出 的值.ABE、. 由 、 和 的值可以求出 的值，从而得出正方形的边长2n9B的值.根据切线长定理可知： ；进行代换后在 Rt 中，,FECDFV，CD,由于 的值在问中已求出，所,FDAFA以根据勾股定理在
4、 Rt 建立方程可以求出 的值；也可以在 Rt 用同样的办法求出FVOFC的值.A略解：. 的长是方程 两个实根AEB、2x3m0 1 分,3EAB 是O 的直径 AEB=90 2 分22ABE 22 9又 4 分n9 且 5 分AEB4m0V90m4又 即 函数自变量的取值范围是： 6 分9202 .连接 分别交 于 ,连接 7 分OCF、EA、MN、OECE、CB 都是O 的切线， ,CBCOM 垂直平分 BE，即 OMBE、EM=BM. 8 分又O 是 AB 的中点，OM 是ABE 的中位线AE=2OM 9 分在ABE 和BMC 中：AB=BC，AEB=BMC=90，CBM=EABAEB
5、BMC MC=BE MC=BE=2BM=4OM 10 分设 ,则0Mx,AEB2xMC4x ，即 ，解得： 11 分343+12 . 12 分1、mE又 2n9n9m45四边形 是正方形ABCD ,50oFA、FE、CE、CB 都是O 的切线， ,FAECB设 ，则 FyEy ,FyD5DAF5y在 Rt ，CDV90o 即 13 分22225y解得 ； 故 14 分5y4A4也可以在 Rt 用同样的办法求出 的值：这是由于OFAF22CFO故 解得 ；故 AF= .2215()()y45y点评：本题的问不难，只有 有个配方变换，其余按常规解法解答即可.本22BE题的问由于有 ，所以分别求出
6、是本问的突破口，又 ，所mAE AB、 AEB3以找出 两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点.要找出 之间的数量B、 、关系，直接的条件没有；但在连接 后与 交点 所新构成三角形和线段 作为“中间OCMOMFEOCDAB2过渡”就成了关键中的关键.调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形知识就能找出 之间的数量关系.本问求线段 可以化归在直角三角形中，AEB、 AF利用勾股定理解决.二、典型题例如图，PB 切O 于 B 点，直线 PO 交O 于点 ，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交EF、O 于点 A，延长 AO 交O 于点 C 连结 .A.
7、求证：直线 PA 为O 的切线； .若 BC6,求O 的半径的长 ,:C6DF12分析：师生互动形式进行.三、追踪练习：1.如图， 的直径 为 ，弦 为 , 分别是OAB0cmBC5cDE、ACB的平分线与 、 的交点， 为 延长线上一点，且 .PAP.求 的长；ACD.试判断直线 与 的位置关系，并说明理由. P2. 如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分O, ,垂足为 , 交 于 ,连接 .BADEC.判断 与 的位置关系，并证明你的结论；O.若 是 的中点， 的半径为 1，求图中阴影部分的面积. EAC3.已知，如图，以 Rt 的斜边 为直径作 , 是 上的点，且BDBE有 ,连
8、接 ，在 延长线上取一点 ,使 .D、 C.求证： 是 的切线；.若 , 和 的长度的比为 ,求 的半径.C25EC12O专题二：以二次函数为基架的综合题一、试题赏析：24.（2014-2015 上学期统考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点2yaxb6和点 ,直线,A30B2（ 为常数，且 ）与 交于点 ,与 轴交于点 ,与 交于点 ,与抛物yh0h6BCDyEACF线在第二象限交于点 .（图形见本题解答的最后）G.求抛物线的解析式；.连接 ,求 为何值时， 的面积最大；EE.已知一定点 .问：是否存在这样的直线 ，使 是等腰三角形？若存在，(,)M20yhOM请求出 的值和点 的坐标
9、；若不存在，请说明理由. h考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值（最小值）问题、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等.分析：. 存在两个待定系数 ，只需要两对变量即可求出，恰好题中给2yaxb6ab、出了 和点 ，用待定系数法便可求出此函数的解析式.,A30,B.确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，若能把 的面积表示BDE为关于 的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离（表示出点h的坐标往往是函数为基架的综合题的关键） ，所以通过点 的坐标来反映 的底 和高D是本问的一个切入点；由于点 是直线 和直线
10、 交点，所以只要求出直线 的解OEDyhBCC析式问题便解决了；已知点 ,而点 同时也是抛物线与 轴的交点，而问能提供这样B20Cy条件.本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来探究.本问假设存在符合题意的直线 ，所涉及的判断 的 直线 与直线 的交点，yhOMFhA和问的方法一样，可以先把 用 的式子表达出来；因为定点 ，所以 是个F(,)20OM2定值；根据点 的坐标利用勾股定理把 和 表示出来，然后分为：. ;.F F;. 讨论其存在性.OM略解：. 经过点 和点 （示意图见解答的最后）2yaxb6,A30,B2 解得： 解析式 3 分4391ba6xy2.抛物线
11、 与 轴交点 . 2yxyC6、设直线 BC 的解析式为 ，则 mkx0k23km BC 的解析式为 4 分y36y直线 5 分yh)h,0(E D( ，h) 6 分36D 23)(6121SBE 当 时， 的面积最大，最大面积为 7 分603BE23.存在符合题意的直线 ，设直线 AC 的解析式为hypnxy即 AC 的解析式为 8 分 -3np6n2626 直线 与直线 的交点 F( ，h) FyhAC(,)M20O2在 中， , 9 分OM2,2 266OFhPBADOFEECDOA BPEDCBAO ECOAB3.若 ，则 ，整理得： OFM2h625h10=256 ，此方程无解. 不
12、成立 10 分0OFM.若 ，则 解得：22)6()( 4h把 代入 ，得 yh42yx6x0=-1x、 点 在第二象限， 点 的坐标为（2，4） 11 分GG.若 ，则 解得： ， （不合题意舍去）OMFhh1h265把 代入 ，得 yh22yx62x40-=2717xx、 点 在第二象限， 点 的坐标为 12 分GG,72综上所述，存在直线 或 使 是等腰三角形. 13 分y24OMF当 时，点 ；当 时，点 （2，4） 14 分y2,17yG点评：本题是一道典型的“二次综合题”.三个问的突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次函数图象及其性质运用打下基础；特别是第是问一个存在性问题，考查
13、了分类讨论的思想个方程的思想.二、典型题例如图,在平面直角坐标系中， 是直角三角形, ,抛ABCV,ACB90COA14o、物线 经过 两点，抛物线的顶点为 2yxbc、 D.求 的值；、.点 是直角三角形 斜边 上一动点E(点 除外)，过点 作 轴的垂线交抛物ABEx线于点 ，当线段 的长度最大时，求点FE的坐标；.在的条件下：.求以点 为顶点的四边形的面积；D、.在抛物线上是否存在一点 ,使 是以PFV为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有EF点 的坐标；若不存在，说明理由. P分析：师生互动形式进行.三、追踪练习：1.如图，点 在 轴上， ,将线段 绕点 顺时AxOA4AO针旋转 12
14、0至 的位置 B.求点 的坐标； .求经过 的抛物线的解析式； 、.在此抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使P得以点 为顶点的三角形是等腰三角形？P若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，抛物线与 轴交于 两点，与 轴交于 点，点 的坐标为 ，点 的坐标为xAB、yCA,20C。它的对称轴是直线 .,0312.求抛物线的解析式；. 是线段 上的任意一点，当 为等MBM腰三角形时，求 点的坐标.3.在平面直角坐标系 中（ 为坐标原点），已知抛物线 过点xOy 2yxbc.,-A4013、.求 的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；bc.设抛物线的对称轴为直线 ，点 是抛物线上在第一象
15、限的点，点 与点 关于直线l,PmnEP对称，点 与点 关于 轴对称，若四边形 的面积为 48，求点 的坐标；lEFyOAF.在的条件下，设 是直线 上任意一点，试判断 是否存在最小值？若存在，求MMP出这个最小值及相应的点 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三：圆与二次函数共同搭建的综合题一、试题赏析：27 （2012 年中考）如图，抛物线 交 轴于点 ，交lx,A30B1、轴于点 将抛物线 沿 轴翻折得抛物线 y,C03yl.求 的解析式；1l.在 的对称轴上找出点 ，使点 到点 的对称点 及 两点的P1C距离差最大，并说出理由；.平行于 轴的一条直线交抛物线 于 两点，若以 为直径x1l
16、EF、EF的圆恰与 轴相切，求此圆的半径考点： 二次函数综合题.包括待定系数法求解析式、一元二次方程、圆的切线的性质、轴对称的性质、三角形三边之间的关系、方程以及分类讨论的思想等.分析：xyy =hGDEFCMBAO xyDCBAO 6 xyDCBAO 6 xyCBA O31xy图 1CBAOxy120BAO4.首先求出翻折变换后点 所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线 的解析式；AB、 1l.如图 2 所示，连接 并延长，与对称轴 交于点 ，则点 即为所求利用轴对称的1Cx1P性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论为求点 的坐标，P首先需要求出直线 B1C
17、的解析式；.如图 3 所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏解题要点是利用圆的半径表示点 （或点F）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径E略解：.如图 1 所示，设经翻折后，点 的对应点分别为 ;依题意，由翻折变换的性质可AB、 1AB、知 ， 点坐标不变,因此，抛物线 经过 三,A30B、 ()lh,130C03、点.若设抛物线 的解析式为 ，则有：()1lh2yaxbc0a9abc3解得： ； 故抛物线 的解析式为： .ab2c3、 1l 2yx.抛物线 的对称轴为： .如图 2 所示，连接 并延长，与对称轴 交于()1lhx2a1BCx1点 ，则点 即为所求;此时，
18、.P11PACBP设 为对称轴 上不同于点 的任意一点，则有：x（三角形两边之差小于第三边）;11ACB故 ,即 最大A1设直线 的解析式为 ，则有：ykxb. 解得： ； 故直线 的解析式为： ；kb0331BCy3x令 ，得 ，故 .x1y6,P16.依题意画出图形，如图 3 所示，有两种情况.当圆位于 轴上方时，设圆心为 ,半径为 .Dr由抛物线及圆的对称性可知，点 位于对称轴 上，则 .x1,DrF1r点 在抛物线 上,F1r2yx r，化简得： . 232r40解得： （舍去）.,12717r此圆的半径为 ；.当圆位于 轴下方时，同理可求得圆的半径为 x 172综上所述，此圆的半径为
19、 或 1721点评：本大题的问根据翻折具有轴对称的性质得出抛物线 的三个点的坐标，利用待定系数法即1l可求出其解析式；本题的问首先是根据轴对称的知识连接 并延长找出 点，其次是对“距离差最大”的1BCP理解：其一图中 到点 及 两点的距离差可以具体转化到哪条线段上，利用轴对称知识可解P1AC决（见分析） ；其二怎样说明 到点 的对称点 及 两点“距离差最大”？这也是本问的一A个“难点” ；其方法是在抛物线 的对称轴除 点外再任意找一个点，通过三角形三边之间()lh关系说明此点到 及 两点的距离小于 点到 及 两点的距离即可.1P1求作差值最大视频解析“链接网址”：http:/ view二、典型
20、题例直角坐标系平面中，已知点 和点 ,点 在以 为直径的 上,四边形A10、D80CB、OAM为平行四边形.OCBD.求 点坐标；.求过 三点的抛物线解析式，并用配方法求出该、抛物线的顶点坐标和对称轴；.判断：中抛物线的顶点与 的位置关系，说明理由.M分析:根据分析示意图求出问的 点坐标（师生互动形式进行）.C三、追踪练习1.已知抛物线 与 轴的交点坐标是 .2yaxb4x,A20B8、.求抛物线与 轴的交点 的坐标及它的解析式；.若平行 轴的直线与该抛物线交于 两点,以 为直径的圆与 轴相切,求该圆半径的MN、 x长度(精确到 0.01)；.连接 ，在 的上方的抛物线上有一动点 ,当 运动到
21、什么位置时, 的面积最大,求BCPBCP此时 的坐标.P2.如图，点 P 在 轴上，P 交 轴于 A，B 两点，连接 BP 并延yx长交P 于点 C，过点 C 的直线 交 轴于点 D，且Py2bx的半径为 ，AB=4.5xyBCMDAOxyDCAOPBxy DBCM AO xy HEFDBCM AO5.求点 B，P，C 的坐标；.求证：CD 是P 的切线； .若二次函数 的图象经过点 B，求这个二2yxa16次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数 y2xb值的 的取值范围.x3.已知抛物线 与 轴的交点 ,顶点为 ,直线 的解析式 ，并且2yxbcyCMCyx2线段 的长为 .CM.求
22、抛物线的解析式；.设抛物线与 轴有两个交点 ，且点 在 的左侧，求线段 的长；,12Ax0B、ABAB.若以 为直径作 ,请你判断直线 与 的位置关系，并说明理由.ABNN4.如图，点 ，以点 为圆心，2 为半径的圆与 轴交于点 ，已知抛物线,40Mx、过点 和 ，与 轴交于点 .21yxbc6ByC.求点 的坐标，并画出抛物线的大致图象；C.点 在抛物线 上，点 为此抛物线Q8m、21xbc6P对称轴上一个动点，求 最小值；PQ. 是过点 的 的切线，点 是切点，求 所在EMEOE直线的解析式.专题四：其它类型的综合题赏析2013-2014 上学期统考24.如图，M 的圆心 M 在 轴上，M
23、 分别交 轴于点 A、B（A 在 B 的左边） ，交 轴的正半轴xx y于点 C，弦 CD 轴交M 于点 D，已知 A、B 两点的横坐标分别是方程 的两个根.2x43=.求点 C 的坐标；.求直线 AD 的解析式；.点 N 是直线 AD 上的一个动点，求MNB 的周长的最小值，并在图中画出MNB 周长最小时点 N 的位置. 考点：解一元二次方程、勾股定理、圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定和性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质等.分析：.C 点是M 与坐标轴 轴的交点，连接 在 RtCOM 中求 OCyMC可以得出 C 点的坐标，斜边 CM 和另一直角边 ON 与M 的圆心和半径有关，所以求
24、出M 的直径 AB 是本问破题的关键，通过解求出其两个根问题便解决了.2x43=.用待定系数法求直线 AD 的解析式.A 点的在第问已经求出，若把 D 点的坐标求出来问题便可以解决.要求MNB 的周长的最小值，关键是找出或作出 或 关于直线 AD 的对称点，连结后从而B确定动点 点的位置，根据轴对称的性质和三角形三边之间的关系知 最小.从而得出N MNBMNB 此时的周长有最小值.根据题中条件和的相关结论容易知道 C 点恰好是 M 关于 AD 的对称点，N 点位置确定后可以将 ,把 转化到 利用勾股MNBC OV定理解决问题.略解：.方程 整理得)3(42x01242x即 1 分(6)06,1
25、 点 A，B 的坐标分别是 ， 2 分)(A)( 点 M 的坐标是 ，OM 的半径为 4. 3 分),连结 CM（如图） ，则 2422OMC点 C 的坐标为 . 4 分20(，（2）.如图，过点 M 作 MECD，则 CE=ED= CD 5 分1 CD 轴 ME 轴 xx 四边形 OMEC 是矩形， OE=OM=2 CD=4 点 D 的坐标是(4， ) 6 分23设直线 AD 的解析式为 ykb则 解得 ， 7 分2043kb直线 AD 的解析式为 8 分23yx（3）.如图，设直线 AD 与 轴的交点是 F当 时， 0x3 点 F 的坐标为 F（0， ） 9 分2在 Rt OMF 中 22
26、43()3MO 4C23MF 点 F 在线段 MC 的中垂线上 11 分 MD=CD=4 点 D 也在线段 CM 的中垂线上 直线 AD 是线段 CM 的中垂线. 点 M 关于直线 AD 的对称点是 C 12 分连结 BC 交直线 AD 于 N（如图） ，连结 MN，此时 最小.则 MNBNB就是所求作的周长最小的三角形 13 分xyADCBMOxy EADCBMO xyFNADCBMO xy BDCAMOE6此时在OBC 中， 2226(3)4BCO根据轴对称的性质可知： NMMNB 的周长为 ,点 N 的位置如图所示. 14 分B点评：本题是几何、代数的综合题.由代数的一元二次方程根与坐标
27、联系在一起，由坐标再与一次函数、圆、一次函数以及对称等知识串联在一起.在本题中点的坐标是解答过程中的较关键环节，比如三个问中问点 的坐标、问点 的坐标、 问点 的坐标；题中的相关计CDF算特别是点的坐标常用勾股定理来帮忙（本题 3 次用到勾股定理） .本题总体难度不大，但综合的知识点较多；问“点 M 关于直线 AD 的对称点是 C 点 ”算是是本题的“难点” ，这里要用垂直平分线的“判定”定理，这是个同学们在平时没有引起重视的一个知识点.2010-2011 上学期统考27.已知方程组： 2xk1y4yL.求证：不能 为何值，此方程组一定有实数解；.设等腰 的三边长分别为 其中 ，且 和 是该方
28、程组ABCVabc、42xay2xby的两个解，求ABC 的周长？考点：解方程组、一元二次方程根的判别式、韦达定理、等腰三角形的性质、分类讨论等.分析：.本问关键是把关于 二元方程组转化为关于 的一元二次方程，然后从一元二次xy、 x方程根的判别式切入，问题可获得解决.根据题意可知 是问中一元二次方程的两个解，因此利用“韦达定理”切,ab入可以得出 和 关于 的式子，然后进行分类讨论先求出 的值，再进一步求出k k和 的值，三角形的周长可以求出.abc略解：(1).把方程代入得： 2x1x240化简得： 2 分2xk140= 4 分22k9k3+-原方程组一定有实数解. 5 分(2). 是方程
29、 的两个解， 6 分,xabx1x40 ,2k14k.当长为 的边是等腰三角形的一腰时，则 或c acb方程必有一根为 4 2k2 . 方程为： 7 分k5x680 或 符合题意.ac68、bc、k5 10 分b10. 当长为 的边是等腰三角形的一底时，则c4ab方程有两个相等的实数根 = 0，即= 2k30 . 方程为： k152x40 不合题意舍去.abck15综合上述两种情况ABC 的周长为 10. 14 分点评：本题的部分内容对于现行新人教版来说是属于选学和拓展性的内容，但考试中仍是考查内容或者以阅读解答出现在考题中.本题主要是转化和分类讨论思想的运用：要注意把二元转化一元方程来解答；
30、要注意把等腰三角形的 分为为腰和为底来讨论 .在求周长时还要注意整c体思想的运用.课外选练：1. 如图，将等腰 Rt 的直角顶点 置于等腰 Rt 的斜边的中点处作逆时针旋转， EDFVACBV交 于点 , 交 于点 .DEBCNACM.求证： M.连接 ,试探究线段 BN、之间的数量关系.2.某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天售价 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售3 箱.求平均每天销售量 （箱）与销售价（元/箱）之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围；y.求该批发商平均每天销售利
31、润 元与销售价 元/箱）之间的函数解析式；x.当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？3.如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， , 是 上半部分的一ABOCABAB4C2、PO个动点，连接 .P、.求 的最大面积；C.求 的最大度数.如图 2 ，延长 交 于点 ,连接D；当 .求证： 是 的切线. D4.已知：如图，抛物线 的图象与 轴分别交于 两点，与 轴交于23yx3xAB、yC点， 经过原点 及点 ，点 是劣弧 上一动点（ 点与 不重合）.MOAC、OADO.求抛物线的顶点 的坐标；E.求 的面积；.连接 交 于点 ,延长 至 ,使 ;CDFDGF2试探究:当
32、点 运动到何处时，直线 与 相切，并请说明理由. M xyEBFMACODGNMFCDABE 图 1 图 2 NMFCDABEPCBAO 图 1 DPCBA 图 275. 用剪刀将形如图所示的矩形纸片 沿着直线 剪成两部分，其中 为 中点ABCDMMAD用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图中的 Rt 就是图裁剪的 逆时针BCEVC旋转拼成的一个图形.用这两部分纸片除了可以拼成图中的 Rt 外，还可以拼成一些四边形请你试一试，把拼好的四边形分别画在两个虚框内.如图，若利用这两部分纸片拼成的 Rt 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边和 的长分别为 厘米、 厘米，且 恰好是关于 的方程ABCabab、x的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积01)(2mx MDBCA 图 EMBCA 图
