1、1.4 平面向量题专项练-2-1.平面向量的两个定理及一个结论(1)向量共线定理 :向量 a(a0)与 b共线当且仅当存在唯一一个实数 ,使 b=a.(2)平面向量基本定理 :如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1,2,使a=1e1+2e2,其中 e1,e2是一组基底 .(3)三点共线的充要条件 :A,B,C三点共线 存在实数 ,使-3-2.平面向量的数量积(1)若 a,b为非零向量 ,夹角为 ,则 ab=|a|b|cos .(2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=x1x2+y1y2.3.两个非零向量平行、垂直的
2、充要条件若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a ba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)a bab=0x1x2+y1y2=0.4.利用数量积求长度-4-5.利用数量积求夹角若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),为 a与 b的夹角 ,则 cos 当 ab0(或 ab0)时 ,则 a与 b的夹角为锐角 (或钝角 ),或 a与 b方向相同 (或方向相反 ).要注意夹角 =0(或 =)的情况 .-5-一、选择题 二、填空题A.1 B.2 C.3 D.5 |a|2+|b|2+2ab=10. |a-b|= , (a-b)2=6. |a|2+|b|2-2ab=6.由 -
3、得 ab=1,故选 A.2.已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且 (a+b) b,则 m= ( D )A.-8 B.-6 C.6 D.8解析 : 由题意可知 ,向量 a+b=(4,m-2).由 (a+b) b,得 43+(m-2)(-2)=0,解得 m=8,故选 D.-6-一、选择题 二、填空题3.(2017河南新乡二模 ,理 3)已知向量 a=(1,2),b=(m,4),若|a|b|+ab=0,则实数 m等于 ( C )A.-4 B.4 C.-2 D.2解析 : |a|b|+ab=0, |a|b|+|a|b|cos =0, cos =-1,即 a,b的方向相反 ,又向量 a=(1,
4、2),b=(m,-4), b=-2a, m=-2.-7-一、选择题 二、填空题4.(2017辽宁鞍山一模 ,理 5)已知向量 a,b满足|a|=1,(a+b) a,(2a+b) b,则向量 a,b的夹角为 ( D )解析 : 设向量 a,b的夹角为 ,因为 |a|=1,(a+b) a,(2a+b) b,所以 (a+b)a=1+|b|cos =0,(2a+b)b=2|b|cos +|b|2=0.-8-一、选择题 二、填空题5.(2017河北唐山期末 ,理 3)设向量 a与 b的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos =( A )解析 : 向量 a与 b的夹角为 ,且 a
5、=(-2,1),a+2b=(2,3), -9-一、选择题 二、填空题6.(2017河南商丘二模 ,理 8)若等边三角形 ABC的边长为 3,平面 内 -10-一、选择题 二、填空题-11-一、选择题 二、填空题8.(2017河南焦作二模 ,理 10)已知 P为矩形 ABCD所在平面内一点 ,A.-5 B.-5或 0 C.0 D.5 解析 : P为矩形 ABCD所在平面内一点 ,AB=4,AD=3, AC=5. -12-一、选择题 二、填空题解析 : 设外接圆圆 O的半径为 r, -13-一、选择题 二、填空题A.-4 B.-1 C.1 D.4 -14-一、选择题 二、填空题11.已知 a,b是
6、单位向量 ,且 ab=- ,若平面向量 p满足 pa=pb= ,则|p|=( B )解析 : 设 a与 b的夹角为 , pa=pb, p(a-b)=0. p (a-b).可知向量 p与向量 a,b的夹角相等 ,-15-一、选择题 二、填空题12.(2017全国 ,理 12)已知 ABC是边长为 2的等边三角形 ,P为 平 解析 : 以 BC所在的直线为 x轴 ,BC的垂直平分线 AD为 y轴 ,D为坐标原点建立平面直角坐标系 ,如图 .-16-一、选择题 二、填空题13.已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且 (a+b) b,则 m=8 . 解析 : 由题意可知 ,向量 a+b=(4,
7、m-2).由 (a+b) b,得 43+(m-2)(-2)=0,解得 m=8.14.(2017全国 ,理 13)已知向量 a,b的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=2 .解析 : 因为 |a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos -17-一、选择题 二、填空题-18-一、选择题 二、填空题16.(2017山西晋中二模 ,理 13)若两个非零向量 a,b满足 |a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b与 a-b的夹角是 120 .解析 : |a+b|=|a-b|=2|a|, a2+2ab+b2=a2-2ab+b2=4a2, ab=0,|b|= |a|, (a+b)(a-b)=-2|a|2. 0,180, =120.
