1、4.1 数列基础题命题角度 1 求数列的通项公式 高考真题体验对方向1.(2016 浙江13) 设数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,an+1=2Sn+1,nN *,则 a1= ,S5= . 答案 1 121解析 由题意,可得 a1+a2=4,a2=2a1+1,所以 a1=1,a2=3.再由 an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得 an+1-an=2an,即 an+1=3an(n2).又因为 a2=3a1,所以数列a n是以 1 为首项,3 为公比的等比数列 .所以 S5=121.2.(2015 全国 16)设 Sn 是数列 an的前 n 项和,且 a1=-1,an
2、+1=SnSn+1,则 Sn= . 答案 -解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得= 1,即=-1,则为等差数列,首项为 =-1,公差为 d=-1, =-n, Sn=-.新题演练提能刷高分1.(2018 湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考 )在数列 an中,a 1=2,+ln 1+ ,则 an=( )A.2+nln n B.2n+(n-1)ln nC.2n+nln n D.1+n+nln n答案 C解析 由题意得=ln(n+1)-ln n,n 分别取 1,2,3,(n-1)代入,累加得=ln n-ln 1=ln n,=2+ln n, an=2n+nln n,故选 C.2.(20
3、18 广东一模)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,则 a5= . 答案 14解析 由题意得 a5=S5-S4=52+- 42+2 =14.3.(2018 湖南、江西第二次联考 )已知 Sn 是数列a n的前 n 项和,且 log3 Sn+1 =n+1,则数列an的通项公式为 . 答案 an=解析 由 log3(Sn+1)=n+1,得 Sn+1=3n+1,当 n=1 时,a 1=S1=8;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=23n,所以数列a n的通项公式为 an=4.(2018 湖南衡阳一模)已知数列a n前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-2n,则 Sn= .
4、答案 n2n解析 Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得 Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以 2n 有=1,又 S1=2a1-2=a1,可得 a1=S1=2,所以数列 bn=可看作以 1 为首项 ,1 为公差的等差数列,所以 =n,所以 Sn=n2n.5.(2018 河南 4 月适应性考试 )已知数列a n的前 n 项和是 Sn,且 an+Sn=3n-1,则数列a n的通项公式 an= . 答案 3- n-2解析 由题得 an+Sn=3n-1 ,an-1+Sn-1=3n-4 ,两式相减得 an=an-1+, an-3=(an-1-3), an-3是一个等比数列 ,所以 a
5、n-3=(a1-3) n-1=(1-3) n-1, an=3- n-2.故填 3- n-2.命题角度 2 等差数列基本量的运算 高考真题体验对方向1.(2018 全国 4)记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( )A.-12 B.-10 C.10 D.12答案 B解析 因为 3S3=S2+S4,所以 3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即 S3=a4-a3.设公差为 d,则 3a1+3d=d,又由a1=2,得 d=-3,所以 a5=a1+4d=-10.2.(2017 全国 4)记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和.若 a4+a5=24,
6、S6=48,则 an的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 C解析 设首项为 a1,公差为 d,则 a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得 3- ,得(21-15)d=24,即 6d=24,所以 d=4.3.(2017 全国 9)等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则 an前 6 项的和为( )A.-24 B.-3 C.3 D.8答案 A解析 设等差数列的公差为 d,则 d0,=a2a6,即(1+2d) 2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以S6=61+(-2)=-24,故选 A.4.(2016 全
7、国 3)已知等差数列 an前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( )A.100 B.99 C.98 D.97答案 C解析 (方法一)设等差数列a n的公差为 d,则由题意得,解得 a1=-1,d=1,故 a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二) 因为 S9=27,a1+a9=2a5,所以 a5=3.又因为 a10=8,所以 d=1.故 a100=a10+(100-10)1=98.5.(2017 全国 15)等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4=10,则= . 答案 解析 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可知解得所以 Sn=na1+d=.所以
8、=2.所以=2 1- + + =2.新题演练提能刷高分1.(2018 重庆二诊)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a3=7,S3=12,则 a10=( )A.10 B.28 C.30 D.145答案 B解析 由题意,设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则解得所以 a10=a1+9d=1+93=28,故选 B.2.(2018 新疆乌鲁木齐第二次质量监测 )设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若=2,则=( )A.2 B. C.4 D.答案 B解析 设等差数列a n的公差为 d,=2,即 a3+3d=2a3,则 a3=3d,故选 B.3.(2018 青海西宁一模)我国古代数学名著九
9、章算术均输中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( )A.-n+(nN *,n5)B.n+(nN *,n5)C.n+(nN *,n5)D.-n+(nN *,n5)答案 D解析 依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可知 a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以 a=-6d,又 a-2d+a-d+
10、a+a+d+a+2d=5a=5,所以 a=1,所以此等差数列首项为,公差为-,故通项公式为 an=-n+(nN *,n5),故选 D.4.(2018 河南六市一模)在等差数列a n中,a 1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示 an的前 n项和,则使 Sn 达到最大值的 n 是( )A.21 B.20 C.19 D.18答案 B解析 因为 a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以 a3=35,a4=33,从而 d=-2,a1=39,Sn=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n,所以当 n=20 时,S n 取最大值,故选 B.5.(2018 河南六市
11、一模)中国古代词中,有一道“八子分绵” 的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是: 把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 17 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( )A.174 斤 B.184 斤C.191 斤 D.201 斤答案 B解析 用 a1,a2,a8 表示 8 个儿按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列 a1,a2,a8 是公差为 17 的等差数列,且这 8 项的和为 996, 8a1+17=996,解得 a1=65. a8=65+717=184.故选 B.6.(2018 陕西西
12、安八校第一次联考 )设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 S6S7S5,则满足SnSn+1S7S5, 6a1+d7a1+d5a1+d, a70, S13=13a70, 满足 SnSn+10 的最大的自然数 n 是( )A.7 B.8 C.9 D.10答案 C解析 解得所以 Sn=9n+(-2)=-n2+10n,所以-n 2+10n0,所以 00). 2S3=8a1+3a2, 2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即 2a3-a2-6a1=0. 2q2-q-6=0, q=2 或 q=-(舍去). a4=16, a1=2, S4=30.故选 D.3.(2018 新疆乌鲁木齐二诊)中国古代数
13、学著作算法统宗 中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为( )A.24 里 B.48 里 C.96 里 D.192 里答案 C解析 由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前 6 项的和为 378,求该数列的第 2 项.设首项为 a1,则有=378, 解得 a1=192,则 a2=192=96(里).故选 C.4.(2018 山东济南一模)已
14、知正项等比数列a n满足 a3=1,a5 与 a4 的等差中项为,则 a1 的值为( )A.4 B.2 C. D.答案 A解析 设公比为 q(q0), a3=1,a5 与 a4 的等差中项为,即 a1 的值为 4,故选 A.5.(2018 山西太原二模)已知公比 q1 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=3a3,则 S5=( )A.1 B.5 C. D.答案 D解析 由题意得=3a 1q2,解得 q=-,q=1(舍),所以 S5=,故选 D.6.(2018 安徽江南十校 3 月联考 )古代数学著作九章算术 有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半 ,
15、莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为 3 尺;莞生长第一天,长为 1 尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的 4 个解 ,其精确度最高的是( 结果保留一位小数,参考数据:lg 20.30,lg 30 .48)( )A.1.3 日 B.1.5 日 C.2.6 日 D.3.0 日答案 C解析 由题意可知蒲的长度是首项为 3,公比为的等比数列,莞的长度是首项为 1,公比为 2 的等比数列,设 n 天后长度相等,由等比数列前 n 项和公式有:,解得 n=log26=2.6.故选 C.7.(2018 河北唐山期末)在
16、数列a n中,a 1=1,an+1=2an,Sn 为a n的前 n 项和,若S n+为等比数列,则 =( )A.-1 B.1C.-2 D.2答案 B解析 由题意a n是等比数列,公比为 2, Sn=2n-1,Sn+=2n-1+,Sn+为等比数列,则-1+=0,即=1,故选 B.8.(2018 湖南长沙长郡中学模拟 )已知递减的等比数列a n,各项均为正数,且满足则数列a n的公比 q 的值为( )A. B. C. D.答案 B解析 因为数列是等比数列,故得到=,化简得到 a1a3=,a2=.由 a1+a2+a3=+a2+a2qq+q=.9.(2018 江西教学质量监测)已知等比数列a n的首项
17、 a1=2,前 n 项和为 Sn,若 S5+4S3=5S4,则数列的最大项等于( )A.-11 B.- C. D.15答案 D解析 由已知得 S5-S4=4(S4-S3)a5=4a4q=4,an=24n-1=22n-1,所以,由函数 y=的图象得到,当n=4 时,数列的最大项等于 15.故选 D.10.(2018 北京石景山一模)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形 ,等腰直角三角形腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有 1 023 个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为 . 答案 解析 由题意,正方形的边长构成以为首项,以为公比的
18、等比数列,现已知共得到 1 023 个正方形,则有 1+2+2n-1=1 023,则 n=10,故最小正方形的边长为 9=.命题角度 4 等差、等比数列性质的应用 高考真题体验对方向1.(2016 全国 15)设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an 的最大值为 .答案 64解析 由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得 q=,a1=8,所以 a1a2an=8n,抛物线 f(n)=-n2+n 的对称轴为 n=-=3.5,又 nN *,所以当 n=3 或 4 时,a 1a2an 取最大值为=2 6=64.2.(2015 广东10)
19、 在等差数列a n中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= . 答案 10解析 根据等差数列的性质,得 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得 a5=5.又 a2+a8=2a5,所以 a2+a8=10.新题演练提能刷高分1.(2018 湖北武汉调研)在等差数列a n中,前 n 项和 Sn 满足 S7-S2=45,则 a5=( )A.7 B.9 C.14 D.18答案 B解析 S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以 a5=9,故选 B.2.(2018 山东烟台一模)已知等差数列a n的前项和为 Sn,若 a3+a7=6,则 S9 等于( )A.
20、15 B.18 C.27 D.39答案 C解析 由等差数列的性质可知 a3+a7=a1+a9=6,又 S9=27,故选 C.3.(2018 安徽淮北二模)已知等比数列a n中,a 5=2,a6a8=8,则 =( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 A解析 数列a n是等比数列, a6a8=8, a7=2(与 a5 同号), q2=,从而=q 4=()2=2.故选 A.4.(2018 湖南、江西第一次联考 )记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和,若 S9=45,a3+a8=12,则 a7 等于( )A.10 B.9 C.8 D.7答案 B解析 由题意可得 S9=9a5=45, a5=5,由
21、等差数列的性质可得a3+a8=a5+a6=5+a6=12, a6=7,该数列的公差 d=a6-a5=2,故 a7=a6+d=7+2=9.选 B.5.(2018 山东烟台期末)已知等比数列a n中,a 2a10=6a6,等差数列b n中,b 4+b6=a6,则数列b n的前 9 项和为( )A.9 B.27 C.54 D.72答案 B解析 根据等比数列的基本性质有 a2a10=6a6,a6=6,所以 b4+b6=a6=6,所以 S9=27.6.(2018 山西太原一模)已知等比数列a n中,a 2a5a8=-8,S3=a2+3a1,则 a1=( )A. B.-C.- D.-答案 B解析 因为 a
22、2a5a8=-8,所以=-8,a 5=-2,因为 S3=a2+3a1,所以 a1+a2+a3=a2+3a1,所以 a3=2a1,所以 q2=2,因此 a5=a1q4=-2,a1=-.故选 B.7.(2018 河北唐山二模)设 an是任意等差数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4YC.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y答案 D解析 设数列前 3n 项的和为 R,则由等差数列的性质得 X,Y-X,R-Y,Z-R 成等差数列,所以 2(Y-X)=X+R-Y,解之得 R=3Y-3X,又因为 2(R-Y
23、)=Y-X+Z-R,把 R=3Y-3X 代入得 8X+Z=6Y,故选 D.8.(2018 河北衡水中学模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一 ,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共 7 层,每上层的数量是下层的 2 倍,总共有 1 016 个“浮雕像”,这些“浮雕像” 构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列 an,则 log2(a3a5)的值为( )A.8 B.10 C.12 D.16答案 C解析 最下层的“浮雕像” 的数量为 a1,依题有: 公比 q=2,n=7,S7=1 016,解得 a1=8
24、,则 an=82n-1=2n+2(1n7,nN *), a3=25,a5=27,从而 a3a5=2527=212, log2(a3a5)=log2(212)=12,故选 C.9.(2018 四川成都模拟)在等差数列a n中,已知 S8=100,S16=392,则 S24= . 答案 876解析 在等差数列中,S 8=100,S16=392, S8,S16-S8,S24-S16 成等差数列,即 2(S16-S8)=S8+(S24-S16), 2(392-100)=100+(S24-392),则 S24=876,故答案为 876.10.(2018 湖南永州模拟)记 Sn 为正项等比数列a n的前 n 项和,若 S4-2S2=2,则 S6-S4 的最小值为 . 答案 8解析 在等比数列a n中,根据等比数列的性质,可得 S2,S4-S2,S6-S4 构成等比数列,所以(S 4-S2)2=S2(S6-S4),所以 S6-S4=,因为 S4-2S2=2,即 S4-S2=S2+2,所以 S6-S4=S2+42+ 4=8,当且仅当 S2=时,等号是成立的 ,所以 S6-S4 的最小值为 8.
