1、基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018湖北 华师一附中等八校联考) 有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6 号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是( )A甲 B乙 C丙 D丁答案 D解析 若甲猜测正确，则 4 号或 5 号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即 4 号和 5 号均不是第一名若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即 1,2,6 号均不是第
2、1 名，故 3 号是第 1 名，则乙猜测错误，丁猜测正确故选 D.2已知 a13，a 26，且 an2 a n1 a n，则 a2016( )A3 B3 C6 D6答案 B解析 a1 3，a26， a33，a 43， a56，a 63，a 73，a n是以 6 为周期的周期数列又 201663356，a 2016a 63.故选 B.3已知 x (0，)，观察下列各式：x 2，x 3，1x 4x2 x2 x2 4x2x 4，27x3 x3 x3 x3 27x3类比有 x n1( nN *)，则 a( )axnAn B2n Cn 2 Dn n答案 D解析 第一个式子是 n1 的情况，此时 a1，第
3、二个式子是n2 的情况，此时 a4，第三个式子是 n3 的情况，此时 a3 3，归纳可以知道 an n.故选 D.4已知 an n，把数列a n的各项排成如下的三角形：(13)a1a2 a 3 a 4a5 a 6 a 7 a 8 a 9记 A(s，t) 表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11,12)( )A. 67 B. 68(13) (13)C. 111 D. 112(13) (13)答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为 1,3,5，那么第 10 行的最后一个数为 a100，第 11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11,12) 112.故选 D.(13)5(2017阳山 县
4、校级一模) 下面使用类比推理恰当的是( )A “若 a3b3 ，则 ab”类推出“若 a0b0，则 ab”B “若 (ab)cacbc”类推出“(ab) cac bc”C “(ab)cacbc”类推出“ (c0) ”a bc ac bcD “(ab)na nbn”类推出 “(ab) na nb n”答案 C解析 对于 A“若 a3b3，则 ab”类推出 “若 a0b0，则ab”是错误的，因为 0 乘任何数都等于 0；对于 B“若(ab)cacbc ”类推出“(ab)c acbc” ，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于 C 将乘法类推除法，即由“(ab) cacbc ”类推出“ ”是正
5、确的；对于 D“(ab)na nbn”类推出“( ab)a bc ac bcna nb n”是错误的；如(11) 21 21 2.故选 C.6(2017河北冀州中学期末) 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列 an(nN *)的前 12 项，如下表所示：按如此规律下去，则 a2017( )A502 B503 C 504 D505答案 D解析 由 a1，a3，a5，a7，组成的数列恰好对应数列x n，即xna 2n1 ，当 n 为奇数时，x n .所以 a2017x 1009505.故选 D.n 127(2018安徽江淮十
6、校三联) 我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个2 2 2 定值 x，这可以通过方程 x 确定 x2，则 1 ( )2 x11 11 A. B. C. D. 5 12 5 12 1 52 1 52答案 C解析 1 x，即 1 x，即 x2x 10，解得 x11 11 1x，故 1 ，故选 C.1 52 (x 1 52 舍 ) 11 11 1 528(2017陕 西一模)设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC的面积为 S，内切圆半径为 r，则
7、 r ，类比这个结论可知，2Sa b c四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1， S2，S 3，S 4，内切球半径为 R，四面体 SABC 的体积为 V，则 R 等于 ( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是R，由平面 图形中 r 的求解过程类比空间图形中 R 的求解过程可得四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面 为底面的 4 个三棱锥体积的和，则 四面体的体积为 VV 四面体 SABC (S1S 2S 3S 4)R，
8、所13以 R .故选 C.3VS1 S2 S3 S49(2018鹰 潭模拟) x表示不超过 x 的最大整数，例如：3.S1 31 2 3S2 104 5 6 7 8S3 21，9 10 11 12 13 14 15依此规律，那么 S10 等于( )A210 B230 C 220 D240答案 A解析 x表示不超过 x 的最大整数，S1 133，1 2 3S2 25 10，4 5 6 7 8S3 9 10 11 12 13 14 153721，Sn n2 n2 1 n2 2 n2 2n 1 n2 2nn(2n1) ，S101021210.故选 A.10(2017 龙泉驿区模拟) 对于问题：“已知
9、两个正数 x，y 满足xy 2，求 的最小值 ”，给出如下一种解法：1x 4yxy2， (xy) ，1x 4y 12 (1x 4y) 12(5 yx 4xy)x0，y0， 2 4，yx 4xy yx4xy (54) ，1x 4y 12 92当且仅当Error!即Error!时， 取最小值 .1x 4y 92参考上述解法，已知 A，B，C 是ABC 的三个内角，则 1A的最小值为( )9B CA. B. C. D.16 8 4 2答案 A解析 A B C ，设 A ，BC， 则 ， 1， 参考题干中解法，则 ( ) 1A 9B C 1 9 (1 9) 1 1 (106) ，当且 仅当 ，即 3
10、时等号成(10 9) 1 16 9立故选 A.二、填空题11(2017 北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai 的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1,2,3.(1)记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1， Q2，Q 3 中最大的是_(2)记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p 2，p 3 中最大的是_答案 (1) Q1 (2) p2解析 设 A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，线段 A1B1
11、的中点为 E1(x1，y1)，则 Q1yA 1yB 12y 1.因此，要比较 Q1，Q2，Q3的大小，只需比 较线段 A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知 Q1最大又 p1 ，其几何意义为线段 A1B1的yA1 yB1xA1 xB1 2y12x1 y1x1 y1 0x1 0中点 E1与坐 标原点连线的斜率，因此，要比较 p1，p2，p3的大小，只需比较线段 A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知 p2最大12(2018 湖北八校联考) 二维空间中，圆的一维测度( 周长)l2 r，二维测度(面积 )S r2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r
12、2，三维测度(体积 )V r3.应用合情推理，若四维空间中，43“超球”的三维测度 V8r 3，则其四维测度 W_.答案 2r 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)Sr 2，则其导数S2r, 即为圆的一 维测度(周长)l2r；在三维空间中，球的三维测度( 体积)V r3，则 其导数 V4 r2，即 为球的二维测度( 表面积)43S4 r2；应用合情推理，在四 维空间中， “超球 ”的三维测度V8 r3，则 其四维测度 W2 r4.13(2017 江西赣州十四县联考) 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税
13、一并五关所税，适重一斤问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金 ，第 2 关收税金为剩余的 ，第 3 关收税金为剩余的 ，第 4 关12 13 14收税金为剩余的 ，第 5 关收税金为剩余的 ，5 关所收税金之和，15 16恰好重 1 斤，问原本持金多少？”若将“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关” ，则第 8 关所收税金为_x.答案 172解析 第 1 关收税金： x；12第 2 关收税金： x ；13(1 12) x6 x23第 3 关收税金： x ；14(1 12 16) x12 x34第 8
14、关收税金： .x89 x7214传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列a n，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列b n可以推测：(1)b2016 是数列 an中的第_项；(2)b2k1 _(用 k 表示) 答案 (1)5040 (2)5k5k 12解析 观察知这些三角形数满足 an ，nN*，当nn 12n5k 1 或 n5k ，kN*时，对应的三角形数是 5 的倍数，为数列b n中的项，将 5k1 和 5k 列 为一组，所以 b2016是第 1008 组的后面一项，即 b201
15、6是数列a n中的第 510085040 项；b 2k1 是第 k 组的前面一项，是数列 an中的第 5k1 项，即 b2k1 a5k1 .5k5k 12三、解答题15(2017 未央区校级期中) 阅读以下求 123n 的值的过程：因为(n1) 2n 22n1，n2(n 1) 22(n1) 1221 2211以上各式相加得(n1) 212(1 23n) n所以 123n .n2 2n n2 nn 12类比上述过程，求 122 23 2n 2 的值解 2 31 332 2321，332 333 233 1，n3(n 1) 33n 23n1，把这 n1 个等式相加得 n313(2 23 2n 2)
16、3(2 3 n)( n1)，由此得 n313(1 22 23 2n 2)3(123n)(n 1)，即 122 2n 2 .13n3 1 32nn 1 n 116(2018 南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列a n、b n是两个等差数列，它们的前 n 项的和分别是 Sn，T n，则 .anbn S2n 1T2n 1(1)请你证明上述命题；(2)请你就数列a n、b n是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明解 (1) 证明：在等差数列a n中，a n (nN*)，那么 对a1 a2n 12于等差数列a n、bn有： .anbn12a1 a2n 112b1 b2n 112a1 a2n 12n 112b1 b2n 12n 1 S2n 1T2n 1(2)猜想：数列a n、bn是两个各项均为正的等比数列，它们的前 n 项的积分别是 Xn，Yn，则 2n1 .(anbn) X2n 1Y2n 1证明：在等比数列a n中，a a 1a2n1 a 2a2n2 (n N*)，2n(an)2n 1a 1a2a3a2n1 (nN*)，那么对于等比数列a n、bn有2n1 .(anbn) a1a2a3a2n 1b1b2b3b2n 1 X2n 1Y2n 1
