1、基础送分 提速狂刷练一、选择题1已知向量 a，b 不共线，ck ab(kR)，dab.如果cd，那么 ( )Ak 1 且 c 与 d 同向 Bk1 且 c 与 d 反向C k 1 且 c 与 d 同向 Dk1 且 c 与 d 反向答案 D解析 c d，(kab)( ab)， 存在 使 kab(ab) ，Error!Error!cab， c 与 d 反向故选 D.2(2018襄樊一模 )已知 (1，3)， (2，1) ，OA OB (k1 ，k 2) ，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则实数 k 应OC 满足的条件是( )Ak 2 Bk Ck 1 Dk112答案 C解析 若点 A，B，C 不
2、能构成三角形， 则向量 与 共线因为AB AC (2 ，1)(1，3)(1,2)，AB OB OA (k1 ，k2)(1，3)(k ，k1)所以 1(k1)AC OC OA 2k 0，解得 k1.故 选 C.3(2018怀 化一模)设向量 a(1，3)，b(2,4) ，c( 1，2) ，若表示向量 4a,4b2c,2(ac )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d( )A(2,6) B(2,6)C (2，6) D(2，6)答案 D解析 设 d(x，y )，由 题意知 4a(4，12) ，4b2c( 6,20)，2(a c)(4， 2)，又 4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)
3、( 6,20) (4， 2) (x，y)(0,0) ，解得 x 2，y6，所以d( 2，6) 故选 D.4(2017河南高三 质检) 在ABC 中，BAC60，AB5，AC 4，D 是 AB 上一点，且 5，则| |等于( )AB CD BD A6 B4 C2 D1答案 C解析 设 ， ， ( )AD AB CD AD AC AB CD AB AD AC 2 5，可得 2515， ，| | | |2.故选 C.AB AB AC 35 BD 25AB 5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 a， b，其中 a(3,1) ，b(1,3)若 ab，且OA OB OC 0 1 ，则 C 点所有可
4、能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知 (3，3 )，取特殊值， 0，0，知OC 所求区域包含原点，取 0， 1，知所求区域包含 (1,3)选 A.6(2017茂名二模 )已知向量 a(3，2)，b(x ，y1) 且ab，若 x，y 均为正数，则 的最小值是 ( )3x 2yA24 B8 C. D.83 53答案 B解析 ab， 2x3(y1)0，即 2x3y3，又 x，y0， 3x (2x3y ) 8，当且2y (3x 2y) 13 13(6 9yx 4xy 6) 13(12 29yx4xy)仅当 2x3 y 时，等号成立 的最小值是 8.故选 B.32 3x 2y7(2
5、017济 南二模)如图所示，两个非共线向量 、 的夹角OA OB 为 ， N 为 OB 中点，M 为 OA 上靠近 A 的三等分点，点 C 在直线MN 上，且 x y (x，y R)，则 x2y 2 的最小值为( )OC OA OB A. B. C. D.425 25 49 23答案 A解析 因为点 C，M，N 共线，则 ， 1，OC OM ON 23OA 12OB 由 x y ，OC OA OB x ，y (1)，23 12 12x2y 2 2 (1) 2 2 ，(23) 14 2536 2 14设 g() 2 ，2536 2 14由二次函数的性质可知：当 时，g() 取最小值，925最小值
6、为 g ，(925) 425所以 x2y 2的最小值为 .故选 A.4258(2017河南中原名校联考) 如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若 (， 为实数) ，则DE AB AD 2 2( )A. B. C1 D.58 14 516答案 A解析 ( )DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB ，所以 ， ，故 2 2 .故选 A.14AB 34AD 14 34 589(2018安徽十校 联考) 已知 A，B，C 三点不共线，且 AD 2 ，则 ( )13AB AC S ABDS ACDA. B. C6 D.23 32 16答案
7、 C解析 如图，取 ， 2 ，以 AM，AN 为邻边作平AM 13AB AN AC 行四边形 AMDN，此时 2 .AD 13AB AC 由图可知 SABD3S AMD，SACD SAND，12而 SAMDS AND， 6.故选 C.SABDSACD10如图所示，在四边形 ABCD 中，ABBC CD1，且B 90，BCD135，记向量 a， b，则 ( )AB AC AD A. a b2 (1 22)B a b2 (1 22)C a b2 (1 22)D. a b2 (1 22)答案 B解析 根据题意可得ABC 为等腰直角三角形，由 BCD135，得ACD 13545 90.以 B 为原点，
8、AB 所在直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴建立如图 所示的直角坐标系，并作 DEy 轴于点 E，则CDE 也为 等腰直角三角形由 CD1，得 CEED ，则 A(1,0)，22B(0,0)，C(0,1)，D ， ( 1,0) ， ( 1,1)， (22，1 22) AB AC AD .令 ，则有Error!得Error! a(22 1，1 22) AD AB AC AD 2b.故 选 B.(1 22)二、填空题11在梯形 ABCD 中，ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_ 答案 (2,4)解析 在梯形 ABCD 中，DC
9、2AB ，ABCD， 2 .设点DC AB D 的坐 标为( x，y)，则 (4 x,2y)， (1 ，1) ，DC AB (4x,2y)2(1， 1)，即(4 x,2y)(2，2)，Error!解得Error!故点 D 的坐标为(2,4)12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 p( a c，b)，q (ba，ca)，若 p q，则角 C 的大小为_答案 60解析 由 pq，得(ac)( ca)b(ba) ，整理，得 b2a 2c 2ab.由余弦定理，得 cosC .a2 b2 c22ab 12又 0C180，C60.13(2017 太原三模)在ABC 中，AB3
10、，AC 2，BAC 60，点 P 是ABC 内一点(含边界) ，若 ，则| |的最大值为_AP 23AB AC AP 答案 2133解析 以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的坐标系，AB 3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1， )，3设点 P 为( x，y)，0x3，0y ，3 ，AP 23AB AC (x，y) (3,0) (1， )(2 ， )，23 3 3Error!y (x 2)，3直线 BC 的方程为 y (x3)，32联立，解得Error!此时| |最大， | | .AP AP 499 13 213314(2018 江西南昌一模) 已
11、知三角形 ABC 中，ABAC，BC 4，BAC120， 3 ，若点 P 是 BC 边上的BE EC 动点，则 的取值范围是_AP AE 答案 23，103解析 因为 ABAC ，BC4，BAC 120，所以ABC30，AB .因 为 3 ，所以 .433 BE EC BE 34BC 设 t ，则 0t1，所以 t ，又 BP BC AP AB BP AB BC AE ，AB BE AB 34BC 所以 ( t )AP AE AB BC (AB 34BC ) 2t t 2AB BC AB 34BC AB 34BC t4 cos150 4 cos150 t424t ，163 433 34 433
12、 34 23因为 0t1，所以 4t ，23 23 103即 的取 值范围是 .AP AE 23，103三、解答题15给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .OA OB 23如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 上运动若 x y ，OC OA OB 其中 x，yR，求 xy 的最大值解 以 O 为坐标原点， 所在的直线为 x 轴 建立平面直角坐标OA 系，如图所示，则A(1,0)，B .( 12，32)设AOC ，(0，23)则 C(cos，sin)，由 x y ，得Error!OC OA OB 所以 xcos sin，y sin，33 233所以 xycos sin2sin ，
13、3 ( 6)又 ，所以当 时，x y 取得最大值 2.0，23 316(2018 湖北襄阳阶段测试) 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点 B(1，0)，| |1，且AOCx，其中 O 为坐OC 标原点(1)若 x ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求| |的最小34 OC OD 值；(2)若 x ，向量 m ，n(1cosx，sinx2cos x)，求0，2 BC mn 的最小值及对应的 x 值解 (1) 设 D(t,0)(0t1)，由题易知 C ，( 22，22)所以 ，OC OD ( 22 t，22)所以| |2 tt 2 t 2 t1 2 (0t1)，OC OD 12 2 12 2 (t 22) 12所以当 t 时， | |2最小，最小值为 .22 OC OD 22(2)由题 意得 C(cosx，sinx)，m (cosx1，sinx) ，BC 则 mn1cos 2xsin 2x2sinx cosx1cos2 xsin2x 1 sin .2 (2x 4)因为 x ，所以 2x ，0，2 4 4 54所以当 2x ，即 x 时，4 2 8sin 取得最大值 1，(2x 4)所以 mn 的最小值为 1 ，此时 x .28
