1、第二节 三角形与全等三角形,知识点一 三角形的概念 1三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接所组成的图形叫做三角形三角形有3条边、3个顶 点和3个内角三角形具有稳定性,2三角形的分类 (1)按角分：,(2)按边分：,知识点二 三角形的边、角关系 1三角形的边的关系 (1)三角形两边的和 _ 第三边 (2)三角形两边的差 _ 第三边,大于,小于,2三角形的角的关系 (1)三角形三个内角的和等于 _；直角三角形的 两个锐角互余 (2)三角形的外角和等于 _ (3)三角形的外角 _ 与它不相邻的两个内角的和， 三角形的外角 _ 任意一个和它不相邻的内角,180,360,等于,大于,知识点
2、三 三角形中的重要线段 1三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边_ 的线段，叫做这个三角形的中线一个三角形有 3条中线，都在三角形的 _ 2三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直 线作垂线，顶点与垂足之间的 _ 叫做三角形的高一 个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形 上，还可能在三角形的外部,中点,内部,线段,3三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分 线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线一个三角形有3条角平分线，都在三角 形的内部,4三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段叫做 三角形的中位线一个三角形有3条中位线，都在三
3、角形 的内部三角形的中位线 _ 于第三边且等于第三边的_ ,平行,一半,三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线段，注意 区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线 段，后者是射线,知识点四 全等三角形 1全等三角形的性质：全等三角形的 _相等，_相等全等三角形的对应线段(高、中线、角 平分线)、周长、面积分别对应 _ ,对应边,对应角,相等,2全等三角形的判定 (1)一般三角形全等的条件： _， _， _，_ (2)直角三角形全等的条件：除上述四种判别方法外， 还有 _ .,SSS,ASA,SAS,AAS,HL,证明三角形全等的一般思路如下：,考点一 三角形的三边关系 (5年2考)(2
4、013河北)如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝 首尾相接折成ABC，且B30，C100，如图2. 则下列说法正确的是( ),A点M在AB上 B点M在BC的中点处 C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D点M在BC上，且距点C较近，距点B较远,【分析】 利用三角形中“大角对大边”及三角形的三 边关系解答即可,讲：忽略三角形三边关系的条件 判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两 个条件之一：如果选最长边作为第三边，则需判断其余 两边之和大于第三边；如果选最短边作为第三边，则需 判断其余两边之差小于第三边在解答此类问题时，容易 忽略三边是否满足组成三角形的条件 练：链接变式训练2,
5、1(2017淮安)若一个三角形的两边长分别为5和8， 则第三边长可能是( ) A14 B10 C3 D2,B,2(2017张掖)已知a，b，c是ABC的三条边长， 化简|abc|cab|的结果为( ) A2a2b2c B2a2b C2c D0,D,考点二 三角形的内角和定理及其推论 (5年3考) 命题角度 三角形的内角和定理(2013河北)一个正方形和两个等边三角形的位置 如图所示，若350，则12( )A90 B100 C130 D180,【分析】 设围成的小三角形为ABC，分别用1， 2，3表示出ABC的三个内角，再利用三角形的内 角和等于180列式整理即可得解,【自主解答】 如图，BAC
6、180901 901，ABC1806031203， ACB1806021202. 在ABC中，BACABCACB180， 90112031202180， 121503. 350，1215050100.故选B.,求与三角形有关的角度时，常利用三角形的内角和定理 建立已知角与所求的角之间的数量关系，然后进行求解 即可,3(2017长春)如图，在ABC中，点D在AB上，点E在 AC上，DEBC.若A62，AED54，则B的大 小为( )A54 B62 C64 D74,C,4(2016大庆)如图，在ABC中，A40，D点是 ABC和ACB角平分线的交点，则BDC _,110,命题角度 三角形的外角(2
7、014河北)如图，平面上直线a，b分别过线段OK 两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( )A20 B30 C70 D80,【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，列式计算即可得解 【自主解答】 根据外角性质，a，b相交所成的锐 角是1007030.故选B.,求角度时，要熟练掌握三角形外角性质：三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和,5(2017张家口一模)已知两个三角板按如图方式叠 放，则1( )A30 B45 C60 D75,D,6(2017长安区一模)如图，已知直线ab， 则123( )A180 B150 C135 D90,A,考点三 三角形中的重要
8、线段 (5年3考)(2017河北)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接 测量其距离于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分 别延长到点M，N，使AMAC，BNBC，测得MN200 m，则 A，B间的距离为 m.,【分析】利用三角形的中位线定理计算即可,三角形的中位线定理中，既涉及位置关系平行，又 涉及数量关系倍分当图形中出现多个线段中点时， 往往连接两个中点构建三角形的中位线,7(2014河北)如图，ABC中，D，E分别是边AB， AC的中点若DE2，则BC( )A2 B3 C4 D5,C,8(2015河北)如图，点A，B为定点，定直线lAB， P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中
9、点，对于 下列各值：线段MN的长；PAB的周长；PMN 的面积；直线MN，AB之间的距离；APB的大小 其中会随点P的移动而变化的是( ) A B C D,B,考点四 全等三角形的性质与判定 (5年5考)(2016河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F， C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得ABDE， ACDF，BFEC. (1)求证：ABCDEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由,【分析】 (1)先证明BCEF，再利用判定定理SSS即可 证明全等；(2)首先根据全等三角形的性质得出角相等， 然后证明对应线段平行即可,讲：应用全等三角形性质与判定的误区在解答与全等三角形的
10、性质与判定有关的问题时，注 意以下两点：(1)在判定两个三角形全等或应用其性质时， 要找对对应边、对应角；(2)当两个三角形具备“SSA”条 件时，两个三角形不一定全等 练：链接变式训练10,9(2017邯郸一模)如图，ABC和EFC都是等腰直 角三角形，ACBECF90，点E在AB边上 (1)求证：ACEBCF； (2)若BFE60，求AEC的度数,(1)证明：ACBECF90， ACEBCF. CACB，CECF，ACEBCF. (2)解：EFC是等腰直角三角形， EFC45. BFE60，BFC105. 又ACEBCF， AECBFC105.,10(2017长安区二模)如图，在正方形ABCD中，点E在 边CD上，连接BE，AQBE于点Q，DPAQ于点P. (1)求证：APBQ； (2)图中，除了AQAPPQ外，请你再写出三对线段，使 得每对线段长度的差都等于线段PQ的长，将满足要求的线 段填在下面的横线上(不添加辅助线)： PQ； PQ； PQ.,(1)证明：四边形ABCD是正方形， ABDA，BAD90， BAQDAP90. DPAQ，AQBE， BQAAPD90. ADPDAP90， ADPBAQ. ABQDAP， APBQ.,(2)解：由(1)知ABQDAP， AQDP，APBQ. AQAPPQ， DPAPPQ，DPBQPQ，AQBQPQ.,
