1、课时分层训练(三十八) 空间图形的基本关系与公理A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 3 个平面其中正确的序号是( )A BC DA 显然命题正确由三棱柱的三条平行棱不共面知，错命题中，两个平面重合或相交，错三条直线两两相交，可确定 1 个或 3 个平面，则命题不正确2(2018秦皇岛模拟) 是一个平面， m， n 是两条直线， A 是一个点，若m ， n ，且 A m， A ，则 m， n 的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行D m ， n ，且 A m，
2、 A ， n 在平面 内， m 与平面 相交于点 A， m 和 n 异面或相交，一定不平行3若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是( )A l1 l4B l1 l4C l1与 l4既不垂直也不平行D l1与 l4的位置关系不确定D 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记l1 DD1， l2 DC， l3 DA 若 l4 AA1，满足l1 l2， l2 l3， l3 l4，此时 l1 l4，可以排除选项 A 和 C若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；
3、取 C1D1为 l4，则 l1与 l4相交且垂直因此 l1与 l4的位置关系不能确定4已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1， CC1的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( ) 【导学号：00090243】A B45 35C D23 57B 连接 DF，则 AE DF， D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角设正方体棱长为 a，则 D1D a， DF a， D1F a，52 52cos D1FD .(52a)2 (52a)2 a2252a52a 355(2018泰安模拟)如图 739，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是 DB
4、 的中点，直线 A1C交平面 C1BD 于点 M，则下列结论错误的是( )图 739A C1， M， O 三点共线B C1， M， O， C 四点共面C C1， O， A1， M 四点共面D D1， D， O， M 四点共面D 连结 A1C1， AC，则 AC BD O， A1C平面 C1BD M，三点 C1、 M、 O 在平面 C1BD 与平面 ACC1A1的交线上， C1， M， O 三点共线，选项 A、B、C 均正确，选项 D 错误二、填空题6. 如图 7310 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论：图 7310直线
5、AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为 60.其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上) 【导学号：00090244】 由题图可知 AM 与 CC1是异面直线， AM 与 BN 是异面直线， BN 与 MB1为异面直线因为 D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60.7. (2017佛山模拟)如图 7311 所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是 AC 的中点， AA1 AB 1，则异面直线 AB1与 BD 所成的角为_2图 731
6、160 取 A1C1 的中点 E，连接 B1E， ED， AE，在 Rt AB1E 中， AB1E 即为所求，设 AB1，则 A1A ， AB1 ， B1E ， AE ，故 AB1E60.2 332 328(2017邵阳模拟)如图 7312 是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中，图 7312 GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_ 如图，把平面展开图还原成正四面体，知 GH 与 EF 为异面直线， BD 与 MN 为异面直线
7、， GH 与 MN 成 60角， DE 与 MN 垂直，故正确三、解答题9. 如图 7313 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问：图 7313(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由. 【导学号：00090245】解 (1) AM， CN 不是异面直线理由：连接 MN， A1C1， AC因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，所以 MN A1C1. 2 分又因为 A1A 綊 C1C，所以 A1ACC1为平行四边形，所以 A1C1 AC，所以 MN AC，所以 A， M，
8、N， C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线. 5 分(2)直线 D1B 和 CC1是异面直线. 6 分理由：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B 平面 ， CC1 平面 ，所以 D1， B， C， C1 ， 10 分这与 B， C， C1， D1不共面矛盾，所以假设不成立，即 D1B 和 CC1是异面直线. 12 分10如图 7314 所示，在三棱锥 PABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3图 7314(1
9、)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解 (1) S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥 PABC 的体积为V S ABCPA 2 2 . 5 分13 13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD所成的角(或其补角). 8 分在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，cos ADE .222 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .12 分34B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1下图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱
10、的中点，这四个点不共面的一个图是( ) 【导学号：00090246】D 在 A 图中分别连接 PS， QR，易证 PS QR，所以 P， Q， R， S 共面；在 B 图中过 P， Q， R， S 可作一正六边形，故四点共面；在 C 图中分别连接 PQ， RS，易证 PQ RS，所以 P， Q， R， S 共面；D 图中 PS 与 QR 为异面直线，所以 P， Q， R， S 四点不共面2. 如图 7315，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且AC BC2， ACB90， F， G 分别是线段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为_图 73
11、15取 DE 的中点 H，连接 HF， GH.36由题设， HF 綊 AD，12 GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角)在 GHF 中，可求 HF ，2GF GH ，6cos GFH . 2 2 6 2 6 2226 363已知三棱锥 ABCD 中， AB CD，且直线 AB 与 CD 成 60角，点 M， N 分别是 BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角解 如图，取 AC 的中点 P.连接 PM， PN，又点 M， N 分别是BC， AD 的中点，则 PM AB，且 PM AB，12PN CD，且 PN CD，12所以 MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或其补角)则 MPN60或 MPN120，若 MPN60，因为 PM AB，所以 PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或其补角)又因为 AB CD，所以 PM PN，则 PMN 是等边三角形，所以 PMN60，即 AB 和 MN 所成的角为 60.若 MPN120，则易知 PMN 是等腰三角形，所以 PMN30，即 AB 和 MN 所成的角为 30.综上，直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30.
