1、专题 07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得 ，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。设 x 轴上的定点为 ，可得，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。椭圆的标准方程为
2、 .（）证明：由题意设直线的方程为 ，由 消去 y 整理得 ，设 ， ，要使其为定值，需满足 ，解得 .故定点 的坐标为 .点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知离心率为 63的椭圆 C的一个焦点坐标为 ,0.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）过点 ,2P的直线 l与轨迹 C交于不同的两点 EF、 ，求 P的取值范围.【答
3、案】 （1） 13xy;（2） 93,2PEF【解析】试题分析：（1）由离心率为 63，及一个焦点坐标为 2,0，求出基本量，可得椭圆 C的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得 PEF的取值范围121229,33kxxk，由 60122121 29, 31kPEFxykxk由 2k知 93,；综上所述： ,2PEF.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键3 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 2:0Cymx过点1,2，
4、P是 C上一点，斜率为 1的直线 l交 C于不同两点 ,AB（ l不过 P点） ，且 AB的重心的纵坐标为 23.（1）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线 ,PAB的斜率分别为 12,k，求 12k的值.【答案】 （1）方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0（2） 120【解析】试题分析; （1）将 ,代入 ymx，得 4，可得抛物线 C的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l的方程为 yxb，将它代入 2得 220bx（ ） ，利用韦达定理，结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3，化简可 12k 的值；因为 PAB的重心的纵坐标为 23，所以 12py，所以 py，所以 1px，
5、所以 1211212 yxkx ，又 1221yyx21xbbx121x0.所以 120k.4 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知椭圆2+197xy的长轴两端点为双曲线 E的焦点，且双曲线 E的离心率为 32.（1）求双曲线 的标准方程；（2）若斜率为 1 的直线 l交双曲线 于 ,AB两点，线段 的中点的横坐标为 42，求直线 l的方程.【答案】 （1）245x;（2） 20xy【解析】试题分析: （1）利用双曲线 E 与椭圆2+197xy有公共焦点，且离心率为 32.，求出基本量，即可求双曲线 E的方程；（2）设直线 l的方程为 yxt，与双曲线 的方程
6、联立，结合弦长公式，即可求 l方程（2）设直线 l的方程为 yxt，由 1 45xyt得 228450t， 280， 12xt， 2t.直线方程为 0y.5已知椭圆2:1()xCab的短轴端点到右焦点 10F， 的距离为 2（）求椭圆 C的方程；（）过点 F的直线交椭圆 于 AB， 两点，交直线 4lx： 于点 P，若 1AF，2PB，求证： 12为定值【答案】(1) 243xy;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. 设 1,Axy， 2,Bxy，则
7、 0且2122834 kx， 方法一：因为 1PF，所以 11PAxF. 同理 224Bx，且 1x与 24异号， 所以 1212 123xx1232x 2286434kk0. 所以， 12为定值 .当 12x时，同理可得 120. 所以， 为定值 0.方法三：由题意直线 AB过点 ,F，设方程为 1xmy 0，将 4x代人得 P点坐标为 34,， 由 21 43xmy消元得 234690ym，设 1,Axy， 2,Bxy，则 0且1234 9ym， 因为 1PF，所以111 30PAFy. 又当直线 AB与 x轴重合时， 120， 所以， 12为定值 0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系
8、，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点 1,0F，在设方程时，往往设为1xmy0，可减少讨论该直线是否存在斜率.6 【湖南省衡阳市第八中学 2017-2018 学年高二上学期期中】已知双曲线 C： 21xyab（0,ab）的离心率为 5，虚轴长为 4（1）求双曲线的标准方程；（2）过点 ,，倾斜角为 0的直线 l与双曲线 C相交于 ,AB两点， O为坐标原点，求 OAB的面积【答案】 （1）214yx;（2） 43OABS【解析】试题分析：（1）由题意得 2254 cab，解出 a,b,c 即可得到双曲线的方程；（
9、2）根据条件得到直线 l的方程为 1yx，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长 AB及原点到直线的距离 d，可求得三角形的面积。试题解析：(1)依题意可得 2254 cab，解得 1,5ac，双曲线的标准方程为214yx 182423OABSd。点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，直线的斜率为 k，则弦长| AB| |x1 x2|。
10、7 【江苏省清江中学 2017-2018 学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。（1）已知椭圆21:4xCy，写出与椭圆 1C相似且焦点在 x轴上、短半轴长为 b的椭圆 bC的标准方程；若在椭圆 b上存在两点 M、 N关于直线 2yx对称，求实数 b的取值范围；（2）从外层椭圆顶点 A、 B 向内层椭圆引切线 AC、 BD，设内层椭圆方程为2xa+ y=1 (ab 0)， AC 与BD 的斜率之积为 78，求椭圆的离心率。【答案】 （1） 253b；（2） 4【解析】试题分析：（1）由两点 M、 N关于直线 2
11、yx对称可设出直线 MN的方程为 yxt，将此方程与椭圆方程联立消去 y 可得 25840xtb，由题意此方程有两个不等实根，再根据 MN的中点在直线x上可消去 t，根据判别式可得 的范围；试题解析：（1）椭圆 bC的方程为： 21(0)4xyb设直线 MN的方程为 t，由 2 14yxtb消去 y 整理得 225840xtb即方程 2280154039xb有两个不同的实数解， 所以22，解得 53b或 （舍去） 。所以实数 的取值范围为 25,3。（2）设外层的椭圆的方程为22(0)xymba，设切线 AC的方程为 1yk,由122 ykxmbab消去 y 整理得3421110akb直线 A
12、C与椭圆相切， 23242111makbkma ， 即椭圆的离心率为 24。点睛：（1）本题以新定义的形式考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，对于直线和椭圆位置关系的考查体现在用方程的方法去解题，注意“设而不求” 、一元二次方程的判别式、根与系数关系的运用。（2）解析几何中的对称问题一般要涉及到垂直和平分两个方面的内容，如在本题中根据 M,N 关于直线yx对称可设直线 MN的方程为 yxt（垂直） ，再根据 N的中点在直线 yxt上（平分）可消去参数 t，以达到求解的目的。8 【河北省唐山市一中 2017-2018 学年上学期高二期中考】已知抛物线 2:C和直线 :1lk， O为坐标原
13、点 (1)求证： l与 C必有两交点； (2)设 与 交于 ,AB两点，且直线 OA和 B斜率之和为 1，求 k的值【答案】 （1）见解析；（2） 1k【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明 l与 C必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点 A、 B 的坐标，根据直线 OA和 B斜率之和为 1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把 12,y代入化为 12,x的关系，把根与系数关系代入后求出斜率 k的值【点睛】证明 l与 C必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先
14、设出点 A、 B 的坐标，根据直线 OA和 B斜率之和为 1，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把 12,y代入化为 12,x的关系，把根与系数关系代入后求出斜率 k的值9 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中】设抛物线 C： 24yx， F为 C的焦点，过F的直线 l与 C相交于 ,AB两点.（1）设 的斜率为 1，求 ；（2）求证： O是一个定值.【答案】(1) 8AB（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量
15、的数量积即可得出；试题解析：(1)解：由题意可知抛物线的焦点 F为 1,0，准线方程为 1x，直线 l的方程为 1yx设 12,AxB，由 2 4x得 260， 126x，由直线 l过焦点，则 128ABFx.（2）证明：设直线 l的方程为 ky， OAB是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成 1xky也给解题带来了方便.10 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆 C: 21(0,)xyab的离心率为 63,右焦点为( 2,0).(1)
16、求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.【答案】(1) 213xy,(2) O 到直线 的距离为定值 32.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出 a， b， c；（2）对于 AB 有无斜率进行讨论，设出 A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；试题解析：(1)由右焦点为( 2,0),则 2c ,又离心率为 63,所以 3,a , 221bac ，则 213xy(2) 设 1,xy , 2,若 k 存在,则设直线 AB:y=kx+m. 2 3kxmy 得 23630kmx 点
17、睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决11 【四川省成都市石室中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】已知圆 21:8Fxy，圆心为 1F，定点 21,0F， P为圆 1F上一点，线段 2PF上一点 N满足 22P，直线 1P上一点 Q，满足QNP（）求点 的轨迹 C的方程；（） O为坐标原点， A是以 12F为直径的圆，直线 :lykxm与 OA相切，并与轨迹 C交于不同的两点 ,AB当 且满足 34,5时，求 B面积 S的取值范围【答案】 （）21xy；（） 2,.【解析】试题分析：（）分析题意可得点
18、Q满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（）先由直线 :lykxm与 OA相切得到 21k，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得 B，由 且 34,5，进一步得到 k 的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求 S的取值范围。试题解析：（） 22PFN 为线段 中点 20Q N为线段 PF的中垂线 2O 112QF由椭圆的定义可知 的轨迹是以 1,为焦点，长轴长为 2的椭圆，设椭圆的标准方程为 20xyab， 则 2a， 1c， b。点 Q的轨迹 C的方程为21xy。设 1,Axy， 2,Bxy，则 1224km， 21k， 1212yx
19、 221121mkxx， 21212284)kABk 235S故 OAB面积 的取值范围为 23,5。点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求” 、 “整体代换”的方法，以简化计算。另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。12 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学 2018 届高三上学期两校期中联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1)，且离心率为 32（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 O，直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A，
20、 B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1）218xy；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。（）由椭圆的离心率 e=231cba，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆214xyb，则21b，解得： b2=2，则 a2=8， 椭圆的方程为： 28xy； 因此 M 点坐标为（0， 12kxt） ，同理可知： N（0， 21kxt） ，由 ON，则 12tx+
21、2kxt=0，化简整理得：（24 k） x1x2（24 k+2t） （ x1+x2）+8 t=0，则（24 k）248t（24 k+2t） （ 284）+8 t=0， 当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）.13 【云南省昆明市高新技术开发区 2018 届高考适应性月考】已知椭圆2:1xyCab（ 0a）的一个焦点是 1,0F， O为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点3,H的直线交椭圆 C于点 ,AB.（1）求椭圆 的方程；（2）设 P为椭圆上一点，且满足 tP，当 3AB，求实数 2t的取值范围.【答案】(1) 2143xy;
22、(2) 2083,4.【解析】试题分析：根据 c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出 a,b，写出椭圆的方程，设 AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用 设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于 3，解出 2t的范围 。由 2428310kk，得 235k，1212264xx， ，122OABytxy， ，则 122 283434kkxt tt t， ，由点 P在椭圆上，得 222+1tktk，化简得 2364kt， 因为 PAB，所以 213kx，即 221143kxx，【点睛】根据题找出 a,b,c 的关系
23、，解方程组得出 a,b，写出椭圆的方程，根据直线的要求设 AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于 3，解出 2t的范围 。14 【云南省玉溪第一中学 2018 届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l与抛物线y24 x 相交于不同的 A， B 两点, O 为坐标原点(1) 如果直线 l过抛物线的焦点且斜率为 1，求 AB的值；（2）如果 4O，证明：直线 l必过一定点，并求出该定点.【答案】 （1）8；（2）证明见解析【解析】试题分析：（）根据抛物线的方程得到焦点的
24、坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；（）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的 b 的值，即得到定点的坐标试题解析：(1)解, 1,4k , 248sinAB(2)证明 由题意：抛物线焦点为(1,0)，设 l： x ty b，代入抛物线 y24 x，消去 x 得 y24 ty4 b0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24 b，点睛：定点、定值问题通常是通过设参
25、数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.15 【黑龙江省佳木斯市第一中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】已知椭圆2:10xyCab，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为 21，最小距离为 21.（1）求椭圆的方程；（2）过点 0,3S的动直线 l交椭圆 C于 ,AB两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB为直径的圆恒过点 Q?若存在，求出点 的坐标：若不
26、存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为21xy;(2) 以线段 AB为直径的圆恒过点 0,1Q.【解析】试题分析：（1）通过椭圆的几何意义得到椭圆的方程；（2）先考虑直线的特殊情况，和轴垂直，和轴平行，通过这两种情况得到最终结果再证明一般情况. 以线段 AB为直径的圆恒过点 Q，转化为12210QABxy，通过韦达定理解决即可。（1）椭圆方程为 .（2）当 l与 x轴平行时，以线段 AB为直径的圆的方程为221639xy；当 l与 y轴平行时，以线段 为直径的圆的方程为 2.故若存在定点 Q，则 的坐标只可能为 0,1Q.下面证明 0,1为所求：若直线 l的斜率不存在，上述己经证明. 若
27、直线 的斜率存在，设直线 1:3lykx， 12,AxyB， QAB，即以线段 A为直径的圆恒过点 0,1Q.点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为 0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。16 【江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学 2017 届高三六校联考】椭圆 C： 21(0)xyab的离心率为 3，过右焦点 2,0Fc垂直于 x轴的直线与椭圆交于A， B两点且 43，又过左焦点 1,0Fc任
28、作直线 l交椭圆于点 M（）求椭圆 C的方程；（）椭圆 上两点 A， B关于直线 l对称，求 AOB面积的最大值【答案】 （）213xy;（） 62.【解析】试题分析：(1)由题意求得 a， b，椭圆 C的方程为213xy(2)当直线斜率存在且 0k时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设 不成立；当直线的斜率 时，面积函数 0012Syx，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得AOB面积的最大值为 62.（）依题意直线 l不垂直 x轴，当直线 l的斜率 0k时，可设直线 l的方程为 1ykx（ 0） ，则直线 AB的方程为 1ymk由 21,3yxk得 2236360x，2263460mkk，即 2
29、230mk，设 AB的中点为 C，则 123xmk， 23Cky，点 在直线 l上，22kk，故 k，此时 2236410m与矛盾，故 0时不成立当直线 l的斜率 k时， ,Axy， 0,Bxy（ ， 0y） ，AOB的面积 002S，20 06133xyxyxy， 062， AOB面积的最大值为 62，当且仅当2013xy时取等号17 【四川省成都市新津中学 2018 届高三 11 月月考】已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 2，且过点 2,1.（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P是椭圆 长轴上的一个动点，过点 P作斜率为 2的直线 1交椭圆 C于 ,AB两点，求证： 2AB为定值.【
30、答案】 （1）214xy；（2）证明见解析.试题解析：（1）由椭圆方程可知： 21xyab，焦点在 x轴上， 2cea，即 2c，由22abc，即 2c，将点 ,代入2，解得 2,b， 椭圆方程为214xy.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18 【苏教版 20172018 学年高中数学选修 11 模块综合检测】已知点 是椭圆 E： (ab0)上一点，离心率为.
31、(1)求椭圆 E 的方程；(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆 E 交于 P， Q 两点，满足直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的取值范围【答案】 （1） （2）(0， )【解析】试题分析：（1）根据离心率得 a,b,c 三者关系，再代入点 可得 a24， b23.（2）因为直线OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，可得 ，再直线 l 的方程为 y kx m(m0)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入关系式得，根据点到直线距离公式得高，根据弦长公式得底边边长，结合三角形面积公式得关于 m 函数关系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范围. 试题
32、解析：解：(1)由题意知， ，所以 ， a2 b2.又 1，解得 a24， b23.因此椭圆 E 的方程为即 4k2 m230.又 x1 x2 ， x1x2所以 y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 .因为直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，所以 k2，即(4 k23) m20， m0， k2 .由于直线 OP， OQ 的斜率存在，且 0，得 0m26，且 m23.设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 S OPQ d|PQ| |x1 x2| |m|又因为 m23，所以 S OPQ .所以 OPQ 面积的取值范围为(0， )19已知椭圆2:1(0xyab的离心率为 23，半焦距为 (0)c，且 1ac，经过椭圆的左焦点 F，斜率为 1k的直线与椭圆交于 A， B两点， O为坐标原点（ I）求椭圆 的标准方程（ II）设 ,0R，延长 A， BR分别与椭圆交于 C， D两点，直线 C的斜率为 2k，求证： 12k为定值【答案】 （ I）2195xy；（ II）见解析.
