1、专题 05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题一、选择题1 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中】已知点 P是抛物线 2yx上的一个动点，则点 P到点 0,2A的距离与 P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）A. 9 B. 5 C. 2 D. 17【答案】 D2 【吉林省舒兰一中 2017-2018 学年高二上学期期中】如图，已知椭圆2136xy内有一点12,BF、是其左、右焦点， M为椭圆上的动点，则 1MFB的最小值为（ ）A. 42 B. 6 C. 4 D. 6【答案】 B【解析】 12MFaFMB2BFa 826当且仅当 2,共线时取得最小值 6故答
2、案选 B3 【北京朝阳垂杨柳中学 2016-2017 学年高二上学期期中】已知经过椭圆2156xy右焦点 2F的直线交椭圆于 A、 B两点，则 1AF的周长等于（ ）A. 20 B. C. 6 D. 8【答案】 A【解析】因为椭圆的方程为2156xy，所以由椭圆的定义可得12120,0FaBFa， 1ABF周长为 120BFA，故选 A.4 【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中 2016-2017 学年高二下学期期中】设 为定点，动点 满足 |，则动点 的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段【答案】 D5 【福建省闽侯第六中学 2018 届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 21(
3、02)4xyb，左、右焦点分别为 12,F，过 1的直线 l交椭圆于 ,AB两点，若 2FA的最大值为 5，则 的值是（ ）A. 1 B. C. 3 D. 【答案】 D【解析】试题分析：由椭圆定义，得 248ABFa，所以当线段 AB长度达最小值时， 2BFA有最大值当 垂直于 x轴时， 22min|bb，所以 2F的最大值为 85b，所以 23，即 b，故选 D考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系【方法点睛】 （1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解点 P在椭圆上，则点 P一定满足椭圆的定义，同时点 P的坐标适合方程；（
4、2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为2ba把这个弦叫作椭圆的通径6 【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学 2017 届高三下学期第四次联合模拟考】 P是双曲线 2:Cxy左支上一点，直线 l是双曲线 C的一条渐近线， P在 l上的射影为 2,QF是双曲线 C的右焦点，则 2PFQ的最小值为（ ）A. B. C. 32 D. 2 1【答案】 C【解析】点睛：本题主要考查双曲线的标准方程和渐近线方程关键在于利用双曲线的定义将 2PFQ 的最小值转化为 1PFQ的最小值作出图形，利用双曲线的对称性可知 在何位置时取最小值在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，
5、也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.7 【重庆市巴蜀中学 2018 届高三 9 月高考适应月考】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为异于 的两点，且 的中点在双曲线的左支上，点 关于 和 的对称点分别为，则 的值为（ ）A. 26 B. C. 52 D. 【答案】 D本题选择 D 选项. 点睛：(1)双曲线定义的集合语言： P M|MF1| MF2|2 a,02 a| F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清
6、点在双曲线的哪支上8 【北京市平谷区 20162017 高三第二学期质量监控】已知点 0,15M及抛物线 24yx上一动点,Nxy，则 N的最小值为（ ） A. 5 B. 23 C. D. 4【答案】 C【解析】如图，设抛物线的焦点为 10F， ，连 N，由抛物线的定义可得 |1NFx。 | 4NFM，当且仅当三点共线时等号成立，即 14xNM， 3x。因此 的最小值为 3。答案： C。点睛：（1）对于抛物线的有关问题，若出现了曲线上的点到焦点的连线，则应考虑抛物线的定义，将曲线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离解决，这样会给解题带来方便。（2）解析几何中的最值问题，可考虑平面几何图形的
7、特点，运用几何法求解。9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知拋物线 20ypx的焦点 F，点A和 B分别为拋物线上的两个动点，且满足 120AFB，过弦 AB的中点 M作拋物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 M的最大值为（ ）A. 64 B. 3 C. 2 D. 3【答案】 D得到| AB| 32（ a+b） 所以 MNAB13ba= ，即 MNAB的最大值为 3故选： D点睛：本题重点考查了抛物线定义以及余弦定理， ，借助重要不等式明确了| AB|与 a+b 的不等关系，再结合| MN|与 a+b 的等量关系，问题迎刃而解.10 【黑龙江省牡丹江市第一高级中学
8、2017-2018 学年高二 10 月月考】已知 F 是抛物线 的焦点， M是抛物线上的一个动点， P(3，1)是一个定点，则 的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】 C故选 C 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 三点共线时 最小，是解题的关键11 【黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】抛物线 的焦点为，已知点 为抛物线上的两个动点，且满足 ，过弦 的中点 作准线的垂线 ，垂足为 ，则的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】 D【解析】如图所示，设| 连接 由抛物线定义，得| 在梯形
9、 中，由余弦定理得， 配方得又 得到| 所以 ，即 的最大值为【 点评 】 本题考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等.在抛物线中，利用定义和余弦定理（或正弦定理）是解决之一类问题的基本思路12 【江西省抚州市南城县第二中学 2016-2017 学年高二下学期第一次月考】已知点 P 是抛物线 x=y2上的一个动点，则点 P 到点 A（0，2）的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为（ ）A. 2 B. C. 1 D. +1【答案】 C【点睛】对圆锥曲线中距离和或差的最值问题，一般有两种处理方法，一种是利用圆锥曲线的定义把到准线（或与准线平行的直线）的距离转化到
10、焦点，把到焦点的距离转化到准线，二种是利用函数思想，把最值问题转化为函数问题。一般优先考虑第一种，本题采用的是第一种。13 【江西赣中南五校 2017-2018 学年高二上学期第一次联考】已知直线 1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线 1l和直线 2l的距离之和的最小值是（ ）A. 2 B. 3 C. 15 D. 376【答案】 A【解析】抛物线 24yx的焦点坐标为 F（1,0） ，准线方程是 1x，根据抛物线定义，抛物线24yx上一动点 P到直线 1l和直线 2l的距离之和可以看成抛物线 24yx上一动点 P到焦点和直线 2l的距离之和，其最小值为焦点 F
11、 到直线 1:4360lxy的距离， 2163d。故选 A。 【点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离互相转化。14 【2016-2017 学年河南省新乡市高二上学期期末】抛物线 24yx上有两点 ,B到焦点的距离之和为 7，则 ,AB到 y轴的距离之和为 （ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】 D【解析】依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，准线与 y轴的距离是 1，故 ,AB到 y轴的距离之和为 725.点睛：本题主要考查抛物线的定义.对于圆锥曲线的定义，往往是解圆锥曲线小题的关键.如本题中的抛物线，由于抛物线上的点到焦点的距离等于到准线
12、的距离，而准线与 y轴的为 1，这样的话两个点到 y轴的距离就比到准线的距离少 12.熟记圆锥曲线的定义，还需要熟练画出图像，结合图像来解题也是很重要的方法.15已知 P 为抛物线 y x2上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(6， 172)，则|PA| PM|的最小值是 ( )A. 8 B. 192 C. 10 D. 12【答案】 B16 【四川省成都外国语学校 2016-2017 学年高二下学期期中】已知 P为抛物线 24yx上一个动点， Q为圆 2241xy上一个动点，那么点 P到点 Q的距离与点 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A. 17 B. 25 C.
13、 251 D. 72【答案】 A【解析】【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将 p到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的.二、填空题17 【辽宁省大连渤海高级中学 2017-2018 学年高二上学期期中】 1F是椭圆2195xy的左焦点， P是椭圆上
14、的动点， 1,A为定点，则 1PAF的最小值是_。【答案】 62【解析】椭圆 195xy的 a=3， b= 5， c=2，当 P 不在直线 AF上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，|PA| PF| AF|= 2；当 P 在 FA 的延长线上时，| PA| PF|取得最小值 2，| PA|+|PF|的最小值为 6 故答案为：6 218 【20172018 学年高中数学（苏教版）课时跟踪训练(七)】已知椭圆上一点 P 到两焦点 F1、 F2的距离之和为 20，则 PF1PF2的最大值为_【答案】100【解析】根据椭圆的定义可知： 120PFa结合基本不等式有： 2121当且仅当： 120PF时
15、， 12PF取得最大值 0故 12的最大值为19 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末】椭圆2189xyk的离心率为 2，则k的值为_.【答案】 54,或【解析】试题分析：当焦点在 x轴时， 2891ck，所以 2184ke，解得 k，当焦点在 y轴时， 2981ck，所以 4e，解得 5，所以答案应填： 5,4或 考点：1、椭圆的离心率；2、分类讨论20 【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中 2016-2017 学年高二下学期期中】设 分别是椭圆 的左，右焦点，为椭圆上任一点，点 的坐标为 ，则 的最小值为_【答案】21 【湖南省长郡中学 2017-2018 学年高二上
16、学期第一次模块检测】椭圆21(0)43xya的左焦点为F，直线 xm与椭圆相交于点 AB、 ，则 F的周长的最大值是_【答案】 8【解析】如图，设椭圆的右焦点为 M，椭圆的长轴为 22a=4a， FAB 的周长 AF+FB+AB FA+AM+FB+BM=22a+22a=8a，故答案为：8 a点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.22 【2017 届河南省安阳市高三第一次模拟考】已知抛物线 1C： 2yax（ 0）的焦点 F也是椭圆2C： 214yxb（ 0）的一个焦点，点 M， 3,P分别为曲线 1C， 2上的点，则MPF的最小值为_【答案】2 21:4Cyx的交点即为所求 M点，所以 PFMd的最小值为 12.点睛：此题主要考查抛物线方程、定义、焦点，椭圆的方程、焦点，以及它们与直线的位置关系等有关方面的知识，属于中档题型，也是高频考点.经过审题，可由点 32， 求得椭圆方程，算出焦点 F的坐标，从而求出抛物线方程，并可求出其准线 :1ly，由抛物线定义可求出 P最小值，有必要可画出草图.
