1、第 3 讲 平行关系1(2016河北省衡水中学调研)已知空间直线 l 不在平面 内，则“直线 l 上有两个点到平面 的距离相等”是“ l ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B.因为直线 l 不在平面 内，且直线 l 上有两个点到平面 的距离相等，所以直线 l 或 l 与 相交当 l 与 平行时，此时存在两点到平面 的距离相等所以“直线 l 上有两个点到平面 的距离相等”是“ l ”的必要不充分条件2设平面 平面 ， A ， B ， C 是 AB 的中点，当 A， B 分别在 ， 内运动时，所有的点 C( )A不共面B当且仅当 A， B 在两条相
2、交直线上移动时才共面C当且仅当 A， B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D不论 A， B 如何移动都共面解析：选 D.根据平面平行的性质，不论 A， B 如何运动，动点 C 均在与 ， 都平行的平面上3(2016惠州模拟)已知两条不同的直线 l， m，两个不同的平面 ， ，则下列条件能推出 的是( )A l ， m ，且 l ， m B l ， m ，且 l mC l ， m ，且 l mD l ， m ，且 l m解析：选 C.借助正方体模型进行判断易排除选项 A，B，D，故选 C.4(2016东莞模拟)已知 m， n 是两条直线， ， 是两个平面，给出下列命题：若 n ， n ，则 ；
3、若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则 ；若 m， n 为异面直线， n ， n ， m ， m ，则 .其中正确命题的个数是( )A3 个 B2 个C1 个 D0 个解析：选 B.若 n ， n ，则 n 为平面 与 的公垂线，则 ，故正确；若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，三点可能在平面 的异侧，此时 与 相交，故错误；若 n， m 为异面直线， n ， n ， m ， m ，根据面面平行的判定定理，可得正确故选 B.5(2016长沙模拟)用 a， b， c 表示空间中三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， a c，则 b
4、 c；若 a ， b ，则 a b.其中真命题的序号是( )A BC D解析：选 D.若 a b， b c，则 a c 或 a 与 c 相交或 a 与 c 异面，所以是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以是真命题；若 a ， b ，则 a b 或a 与 b 相交或 a 与 b 异面，所以是假命题，故选 D.6.如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别为边 AB， AD 上的点，且AE EB AF FD14，又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，则( )A BD平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形B EF平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形C HG平
5、面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形D EH平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形解析：选 B.由 AE EB AF FD14 知 EF 綊 BD，所以 EF平面 BCD.又 H， G 分别为15BC， CD 的中点，所以 HG 綊 BD，所以 EF HG 且 EF HG.所以四边形 EFGH 是梯形127.如图，在空间四边形 ABCD 中， M AB， N AD，若 ，则直线 MN 与AMMB ANND平面 BDC 的位置关系是_解析：在平面 ABD 中， ，AMMB ANND所以 MN BD.又 MN平面 BCD， BD 平面 BCD，所以 MN平面 BCD.答案：平行8棱长为
6、2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 AA1的中点，过 C， M， D1作正方体的截面，则截面的面积是_解析：由面面平行的性质知截面与平面 AB1的交线 MN 是 AA1B 的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为 .92答案：929设 ， ， 是三个不同的平面， a， b 是两条不同的直线，有下列三个条件： a ， b ； a ， b ； b ， a .如果命题“ a， b ，且_，则 a b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(把所有正确条件的序号都填上)解析：由面面平行的性质定理可知，正确；当 b ， a 时， a 和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行
7、，正确故填入的条件为或.答案：或10(2016周口一模)已知平面 平面 ， P 是 ， 外一点，过 P 点的两条直线AC， BD 分别交 于 A， B，交 于 C， D，且 PA6， AC9， AB8，则 CD 的长为_解析：若 P 在 ， 的同侧，由于平面 平面 ，故 AB CD，则 ，可PAPC PAPA AC ABCD求得 CD20；若 P 在 ， 之间，则 可求得 CD4.ABCD PAPC PAAC PA答案：20 或 411.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， E， H 分别为棱 A1B1， D1C1上的点，且 EH A1D1，过 EH的平面与棱 BB1， CC1相交，交
8、点分别为 F， G，求证： FG平面 ADD1A1.证明：因为 EH A1D1， A1D1 B1C1，EH平面 BCC1B1， B1C1 平面 BCC1B1，所以 EH平面 BCC1B1.又平面 FGHE平面 BCC1B1 FG，所以 EH FG，即 FG A1D1.又 FG平面 ADD1A1， A1D1 平面 ADD1A1，所以 FG平面 ADD1A1.12.如图，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D， D1分别为 AC， A1C1上的点(1)当 等于何值时， BC1平面 AB1D1?A1D1D1C1(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求 的值ADDC解：(1)如图，取 D1为线段 A
9、1C1的中点，此时 1.A1D1D1C1连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点在 A1BC1中，点 O， D1分别为 A1B， A1C1的中点，所以 OD1 BC1.又因为 OD1 平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1.所以 1 时， BC1平面 AB1D1.A1D1D1C1(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1 BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O.因此 BC1 D1O，同理 AD1 DC1.所以 ， .A1D1D1
10、C1 A1OOB A1D1D1C1 DCAD又因为 1，所以 1，即 1.A1OOB DCAD ADDC1(2015高考安徽卷)已知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：选 D.A 项， ， 可能相交，故错误；B 项，直线 m， n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m ， n， m n，则 m ，故错误；D 项，假设 m， n 垂直
11、于同一平面，则必有 m n，所以原命题正确，故 D 项正确2.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，点 P 是棱 AD 上一点，且 AP ，过a3B1、 D1、 P 的平面交底面 ABCD 于 PQ， Q 在直线 CD 上，则 PQ_解析：因为平面 A1B1C1D1平面 ABCD，而平面 B1D1P平面 ABCD PQ，平面 B1D1P平面A1B1C1D1 B1D1，所以 B1D1 PQ.又因为 B1D1 BD，所以 BD PQ，设 PQ AB M，因为 AB CD，所以 APM DPQ.所以 2，即 PQ2 PM.PQPM PDAP又知 APM ADB，所以 ，PMBD A
12、PAD 13所以 PM BD，又 BD a，所以 PQ a.13 2 223答案： a2233.(2016山西省调研)如图，在四棱锥 PABCD 中， BC AD， BC1， AD3， AC CD，且平面PCD平面 ABCD.(1)求证： AC PD；(2)在线段 PA 上，是否存在点 E，使 BE平面 PCD？若存在，求 的值；若不存在，请说PEPA明理由解：(1)证明：因为平面 PCD平面 ABCD，且平面 PCD平面 ABCD CD，又 AC CD，所以 AC平面 PCD，因为 PD 平面 PCD，所以 AC PD.(2)在线段 PA 上，存在点 E，使 BE平面 PCD.因为 AD3，
13、所以在 PAD 中，存在 EF AD(E， F 分别在 AP， PD 上)，又 BC AD，所以BC EF，且 BC EF，且使 EF1，所以四边形 BCFE 是平行四边形，所以 BE CF， BE平面 PCD， CF 平面 PCD，所以 BE平面 PCD，因为 EF1， AD3，所以 .EFAD PEPA 134.(2016阜阳月考)如图，在三棱锥 ABOC 中， AO平面COB， OAB OAC ， AB AC2， BC ， D， E 分别为 AB， OB 的中点 6 2(1)求证： CO平面 AOB；(2)在线段 CB 上是否存在一点 F，使得平面 DEF平面 AOC，若存在，试确定 F
14、 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为 AO平面 COB，所以 AO CO， AO BO，即 AOC 与 AOB 为直角三角形又因为 OAB OAC ， AB AC2，所以 OB OC1. 6由 OB2 OC2112 BC2，可知 BOC 为直角三角形所以 CO BO，又因为 AO BO O，所以 CO平面 AOB.(2)在线段 CB 上存在一点 F，使得平面 DEF平面 AOC，此时 F 为线段 CB 的中点证明如下，如图，连接 DF， EF，因为 D， E 分别为 AB， OB 的中点，所以 DE OA.又 DE平面 AOC，所以 DE平面 AOC.因为 E， F 分别为 OB， BC 的中点，所以 EF OC.又 EF平面 AOC，所以 EF平面 AOC，又 EF DE E， EF 平面 DEF， DE 平面 DEF，所以平面 DEF平面 AOC.
