1、 训练目标 (1)理解双曲线定义并会灵活应用；(2)会求双曲线标准方程；(3)理解双曲线的几何性质并能利用几何性质解决有关问题训练题型 (1)求双曲线的标准方程；(2)求离心率；(3)求渐近线方程；(4)几何性质的综合应用解题策略(1)熟记相关公式；(2)要善于利用几何图形，数形结合解决离心率范围问题、渐近线夹角问题.一、选择题1已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 ，则 C 的方程是( )32A. 1 B. 1x24 y25 x24 y25C. 1 D. 1x22 y25 x22 y252已知 00， b0)的两个焦点分别为 F1， F2，以线段 F1F2为直径的
2、圆与y2a2 x2b2双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1y29 x216 y24 x23C. 1 D. 1y216 x29 y23 x246设双曲线 1 的左，右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A， Bx24 y23两点，则| BF2| AF2|的最小值为( )A. B11 192C12 D167设 F1， F2是双曲线 x2 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4| PF2|，y224则 PF1F2的面积等于( )A4 B82 3C24 D488过双曲线 1( ba0)的右顶点 A 作斜率为1 的直
3、线，该直线与双曲线的两条渐x2a2 y2b2近线的交点分别为 B， C，若 A， B， C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )A. B.3 5C. D.10 13二、填空题9双曲线 1( a0， b0)的离心率是 2，则 的最小值是_x2a2 y2b2 b2 13a10(2016安徽江南十校联考)以椭圆 1 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 C，x29 y25其左，右焦点分别是 F1， F2，已知点 M 的坐标为(2,1)，双曲线 C 上的点 P(x0， y0)(x00， y00)满足 ，则 S PMF1 S PMF2_.PF1 MF1 |PF1 |F2F1 MF1 |F2F1
4、|11圆 x2 y24 与 y 轴交于点 A， B，以 A， B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在 y轴左边的交点分别为 C， D，当梯形 ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为_12.(2016淮北一模)称离心率为 e 的双曲线 1( a0， b0)为黄金双曲线，5 12 x2a2 y2b2如图是双曲线 1( a0， b0， c )的图象，给出以下几个说法：x2a2 y2b2 a2 b2双曲线 x2 1 是黄金双曲线；2y25 1若 b2 ac，则该双曲线是黄金双曲线；若 F1， F2为左，右焦点， A1， A2为左，右顶点， B1(0， b)， B2(0， b)，且 F1B1A290
5、，则该双曲线是黄金双曲线；若 MN 经过右焦点 F2，且 MN F1F2， MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为_.答案精析1B 由题意可知 c3， a2， b ，故双曲线的方程为c2 a2 32 22 5 1.x24 y252D 双曲线 C1的半焦距 c1 1，又双曲线 C2的半焦距 c2sin2 cos21，故选 D.cos2 sin23C 由题意知 F1( ，0)， F2( ，0)，不妨设 l 的方程为 y x，点 P(x0， x0)，6 6 2 2由 ( x0， x0)( x0， x0)3 x 60，得 x0 ，PF1 PF2 6 2 6 2 20 2故点 P 到 x
6、 轴的距离为 |x0|2.故选 C.24A 由已知可得动点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线的左支，且 c ， a1，2 b1，双曲线方程为 x2 y21( x1)将 y 代入上式，可得点 P 的横坐标为 x ，12 52点 P 到原点的距离为 .( f(r(5),2)2 (f(1,2)2625A 由题意可知 c 5，32 42 a2 b2 c225，又点(4,3)在 y x 上，故 ，ab ab 34由解得 a3， b4，双曲线的方程为 1，故选 A.y29 x2166B 由双曲线定义可得| AF2| AF1|2 a4，| BF2| BF1|2 a4，两式相加可得|AF2| BF2| A
7、B|8，由于 AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min 3，故| AF2| BF2| AB|83811.2b2a7C 双曲线的实轴长为 2，焦距为| F1F2|2510.据题意和双曲线的定义知，2| PF1| PF2| |PF2| PF2| |PF2|，43 13| PF2|6，| PF1|8.| PF1|2| PF2|2| F1F2|2， PF1 PF2， S PF1F2 |PF1|PF2| 6824.12 128C 由题意可知，经过右顶点 A 的直线方程为 y x a，联立Error! 解得 x .联立Error!解得 x .因为 ba0，所以 0，a2a b a2a b
8、 a2a b a2a b又点 B 的横坐标为等比中项，所以点 B 的横坐标为 ，则 a ( )2，解得a2a b a2a b a2a bb3 a，所以双曲线的离心率 e .ca a2 b2a 109.233解析 2 4 a2 b24 a23a2 b2，则 aca c2a2 b2 13a 3a2 13a 13a2 ，当且仅当 a ，即 a 时， 取得最小值 .a13a 233 13a 33 b2 13a 233102解析 双曲线方程 1，x24 y25|PF1| PF2|4，由 可得PF1 MF1 |PF1 |F2F1 MF1 |F2F1 | ，F1P F1M |MF1 |F1P |F1F2 F
9、1M |MF1 |F1F2 |得 F1M 平分 PF1F2.又结合平面几何知识可得， F1PF2的内心在直线 x2 上，所以点 M(2,1)就是 F1PF2的内心，故 (|PF1| PF2|)1 412.12PFS12 1211. 1y24 23 x223解析 设双曲线的方程为 1 ( a0， b0)，y2a2 x2b2C(x， y)( x0)，|BC| t(0t2 )2如图，连接 AC， AB 为直径， ACB90，作 CE AB 于 E，则| BC|2| BE|BA|， t24(2 y)，即 y2 t2.14梯形的周长 l42 t2 y t22 t812 (t2) 210，12当 t2 时
10、， l 最大此时，| BC|2，| AC|2 ，又点 C 在双曲线的上支上，且 A， B 为焦点，3| AC| BC|2 a，即 2a2 2，3 a 1，3 b22 ，3所求方程为 1.y24 23 x22312解析 双曲线 x2 1，2y25 1a21， c21 ，5 12 5 32 e ，ca 5 32 5 12命题正确；若 b2 ac， c2 a2 ac， e ，5 12命题正确；| B1F1|2 b2 c2，| B1A2| c，由 F1B1A290，得 b2 c2 c2( a c)2，即 b2 ac， e ，5 12命题正确；若 MN 经过右焦点 F2，且 MN F1F2， MON90，则 c ，b2a即 b2 ac， e ，5 12命题正确综上，正确命题的序号为.
