1、计数原理一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数字 1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有( )A48 个 B36 个 C24 个 D18 个【答案】B2在 10x的展开式中， 6x的系数为( )A 6C7B 41027C 6109D 410C9【答案】D3若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件：点 A、B 都在 f(x)的图象上；点 A、B 关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x
2、)= 02xex，则 f(x)的 “姊妹点对”有( )个A1 B3 C2 D4【答案】C40x展开式中的常数项为( )A第 5 项 B第 6 项 C第 5 项或第 6 项 D不存在【答案】B5已知集合 A=5,B=1,2,C=1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36【答案】A6若 3()nx展开式中存在常数项，则 n的最小值为( )A B C D 【答案】A7某飞机显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有 8个指示灯若每次显示其中的 4 个，并且恰有 3 个相邻，则可显示的不同
3、信号共有 ( ）A80 种 B160 种 C320 种 D640 种【答案】C8如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A48 B18 C24 D36【答案】D9 我 们 把 可 表 示 为 两 个 连 续 正 奇 数 的 平 方 差 的 正 整 数 称 为 “和 谐 数 ”， 则 在 集 合2013,中 ， 共 有 “和 谐 数 ”的 个 数 是 ( )A 502 B 503 C 251 D 252【答案】C10某电视台连续播放 5 个不同的广告，其中有 3 个不同的商业
4、广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A120 种 B48 种 C36 种 D18 种【答案】C11已知点 ),(yxP，其中 2,1， 4,3y，则在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是( )A6 B12 C8 D5【答案】A12从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有( )A120 种 B96 种 C60 种 D48 种【答案】C二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20
5、分，把正确答案填在题中横线上)13若 410xaa3x2，则 231240aa的值为 【答案】1146 名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有 2 人拿到自己的外衣，且另外的 4 人拿到别人的外衣情况个数为 .【答案】135156 人站成一排，甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为 【答案】576 种162012 年 3 月 10 日是第七届世界肾脏日，某社区服务站将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各2 人，另一组 1 人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏” ，不同的分配方案有 种(用数
6、字作答)【答案】90三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知 nnxf)1()，nN *.(1) 若 )(32654xfffg，求 )(g中含 2x项的系数；(2) 若 np是 )(x展开式中所有无理项的系数和，数列 na是各项都大于 1 的数组成的数列，试用数学归纳法证明： np)1(21na (1 1)(1 2)(1 n)【答案】(1) g(x)中含 x2项的系数为 C 2C 3C 1104556.4 45 46(2) 证明：由题意，p n2 n1 . 当 n1 时，p 1(a11)a 11，成立； 假设当 nk 时，p k(a1a2
7、ak1)(1a 1)(1a 2)(1a k)成立，当 nk1 时，(1a 1)(1a 2)(1a k)(1a k1 )2 k1 (a1a2ak1)(1a k1 )2 k1 (a1a2akak1 a 1a2aka k1 1)(*) a k1，a 1a2ak(ak1 1)a k1 1，即 a1a2akak1 1a 1a2aka k1 ，代入(*)式得(1a 1)(1a 2)(1a k)(1a k1 )2 k(a1a2akak1 1)成立综合可知，p n（a 1a2an1）（1a 1） （1a 2）（1a n）对任意 nN *成立18有 9 名学生，其中 2 名会下象棋但不会下围棋，3 名会下围棋但
8、不会下象棋，4 名既会下围棋又会下象棋；现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【答案】设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A，3 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B，4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C，则选派 2 名参赛同学的方法可以分为以下4 类：第一类：A 中选 1 人参加象棋比赛，B 中选 1 人参加围棋比赛，方法数为 6132C种； 第二类：C 中选 1 人参加象棋比赛，B 中选 1 人参加围棋比赛，方法数为 4种； 第三类：C 中选 1 人参加围棋比赛，A 中选 1 人参加象棋比赛，方法数为
9、 812种；第四类：C 中选 2 人分别参加两项比赛，方法数为 24A种；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38 种。19现有 4 个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有 6 个座位问：（1）所有可能的坐法有多少种？(2）此 4 人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）【答案】 (1)4630A(2)23510A(3)4250CA20求二项式( x )15的展开式中：(1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项【答案】展开式的通项为：T r+1= rrrxC)2()1(153= 65301(rrxC(1)设 T
10、r+1项为常数项，则 60=0，得 r=6，即常数项为 T7=26 15； (2)设 Tr+1项为有理项，则 53r=5- r 为整数，r 为 6 的倍数，又0r15，r 可取 0，6，12 三个数，故共有 3 个有理项 (3) 5- 5r 为非负整数，得 r=0 或 6，有两个整式项 21 （1）已知(x+1) 6(ax-1)2的展开式中含 x3的项的系数是 20,求 a 的值。(2）设(5x )n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 MN240，求展开式x中二项式系数最大的项。【答案】 （1）0 或 5（2）依题意得，M4 n(2 n)2，N2 n，于是有(2 n)22
11、n240，(2 n15)(2n16)0,2 n162 4，n4，得 622各有多少种选派方法(结果用数字作答).男 3 名,女 2 名 队长至少有 1 人参加至少 1 名女运动员 既要有队长,又要有女运动员【答案】从 10 名运动员中选 5 人参加比赛，其中男 3 人，女 2 人的选法有 C36C24120 (种）从 10 名运动员中选 5 人参加比赛，其中队长至少有 1 人参加的选法有C12C48C C314056196 (种）从 10 名运动员中选 5 人参加比赛，其中至少有 1 名女运动员参加的选法有C510 C62461 (种）从 10 名运动员中选 5 人参加比赛，既要有队长又要有女运动员的选法有C510 C8C 4191 (种）
