1、导数及其应用 02解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1工厂生产某种产品，交品率 p与日产量 x（万件）间的关系为 cxp,320,61（ 为常数，且 60c） ，已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1.5 元。(1）将日盈利额 y（万元）表示为日产量 x（万件）的函数；(2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率= %0产 品 总 数次 品 数 ）【答案】 （1）当 cx时， 32p03y当 cx0时， x61xy 62933)1(日盈利额 （万元）与日产量 x（万件）的函数关系式为cxcxy,0,)6(
2、293(2）由（1）知，当 时，日盈利额为 0。当 cx0时， )6(293y222)6(93)()94xx令 0y得 3x或 （舍去）当 c时，,在区间 ,0(c上单调递增， )6(293)fy最 大 值，此时 cx当 63时，在（0，3）上， 0y，在（3，6）上 y29)(f最 大 值综上，若 30c，则当日产量为 c万件时，日盈利额最大；若 63c，则当日产量为 3 万件时，日盈利额最大2某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a元（ 为常数，2a5 ）的税收。设每件产品的售价为 x 元(35x41),根据市场调查,日销售量与 xe(
3、e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40 元时，日销售量为 10 件。(1)求该商店的日利润 L（x）元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润 L（x）最大，并求出 L（x）的最大值。【答案】 （1）设日销售量为 4040,1, .xkkee401e则 则 日 售 量 为 件则日利润 3()3)xxaxa(2） 40xLe当 2a4 时，33a+3135，当 35 x41 时， ()0L当 x=35 时，L（x）取最大值为 510()ae当 4a5 时，35a+3136， ,31,x令 得易知当 x=a+31 时，L（x）
4、取最大值为 9综合上得5ma9(),(24)()10ae19设函数 3)(xxf分别在 1x、 2处取得极小值、极大值. xoy平面上点 A、B 的坐标分别为 ,1、 )(,2f,该平面上动点 P 满足 4A,点 Q 是点 P 关于直线 )4(2xy的对称点.求：()点 A、B 的坐标 ；()动点 Q 的轨迹方程【答案】 ()令 03)23()2 xxf 解得 1x或当 1x时, 0(, 当 1时, (f ,当 时, 0)(f所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故,21, 4)(,)(ff所以, 点 A、B 的坐标为 ,10B.() 设 ),(nmp， ),(yxQ， 414,1, 2
5、 nmnnmPA21PQk，所以 21，又 PQ 的中点在 )(2xy上，所以 xy消去 n,得 982yx.20某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，已知 AB=AC=6km，现计划在BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1）设 PBO，求 y 关于 的函数关系式；(2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【答案】 （1）在 RtA中， 6B， 所以 O=OA=32， 4ABC,由题意知， 04. 所以点 P 到 A,B,C 的距离之和为32sin2(32tan)cos coyB . 故所求函数关系式为 si
6、0co4y. (2）由（1）得 2i13，令 y,即 1sin2，又 04，从而 6.当 06时， 0y；当 64时, 0所以当 6 时， 2sin3coy取得最小值，此时 32tanOP（km） ，即点 P 在 OA 上距 O 点 km 处答：变电站建于距 O 点 6km 处时，它到三个小区的距离之和最小33某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/千克）满足关系式210(6)3ayx，其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克。(I）求 a 的值(II）若该商品的成品为 3 元/千克，试确定销售价
7、格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。【答案】 （I）因为 x=5 时，y=11，所以10,2.2a(II）由（I）可知，该商品每日的销售量2(6),3yx所以商场每日销售该商品所获得的利润 222()310(6)10(),fxx从而， 34(6)x于是，当 x 变化时， (),fx的变化情况如下表：由上表可得，x=4 是函数 ()fx在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；所以，当 x=4 时，函数 取得最大值，且最大值等于 42。答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大4定义在 0|xRD上的函数 )(xf满足两个条件： 对于任意 Dyx、 ，
8、都有 yfyxf2)()(；曲线 fy存在与直线 01平行的切线.(）求过点 41,的曲线 )(xf的切线的一般式方程；(）当 )0(x， Nn时，求证： 2)(nnxff.【答案】 （）令 1y得， 2)1(2f，解得 1或 )(f. 当 )(f时，令 得， xf，即 2xf，)12xxf，由 1)(f得， 2，此方程在 D上无解，这说明曲线 (fy不存在与直线 0yx平行的切线，不合题意，则 2)1(f，此时，令 1得， f)2，即 xf1)(， 2)(xf，由 )(xf得， 2x，此方程在 D上有解，符合题意. 设过点 41,的切线切曲线 )(xfy于 )1,0x，则切线的斜率为 201x，其方程为 )(1020xy，把点 )4,(的坐标代入整理得，48502x，解得 5或 0x，把 或 2x分别代入上述方程得所求的切线方程是41y和 143y，即 24yx和 043yx.(）由（）知 xf)(，当 Nn时，2142421 12 1 )()( nnnn nnnnn xCxCxfxf 由 ),0(x， Nn知， ),0(nx，那么2142421421 )(2 nnnnnn xCxCff 2142421 nnnn xx121 2142 )()()( nn nnnCxCC )(n)2( ) 01210n nnC所以 )(nxff.
