1、专题九 选做大题9.1 坐标系与参数 方程(选修 44)-3-4-5-6-7-8-1.极坐标系与极坐标(1)极坐标系 :如图所示 ,在平面内取一个定点 O,叫做极点 ,自极点O引一条射线 Ox,叫做极轴 ;再选定一个长度单位 ,一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 ),这样就建立了一个极坐标系 .(2)极坐标 :设 M是平面内一点 ,极点 O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 ,记为 ;以极轴 Ox为始边 ,射线 OM为终边的角 xOM叫做点 M的极角 ,记为 .有序数对 (,)叫做点 M的极坐标 ,记为 M(,).一般地 ,不作特殊说明时 ,我们认为 0,可取任
2、意实数 .-9-2.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 ,x轴的非负半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,设 M是平面内任意一点 ,它的直角坐标是 (x,y),极坐标为 (,),则它们之间的关系为 x=cos ,y=sin .另一种关系为 2=x2+y2,tan = (x0).3.直线的极坐标方程若直线过点 M(0,0),且此直线与极轴所成的角为 ,则它的方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程 :(1)直线过极点 :=0和 =+0;(2)直线过点 M(a,0),且垂直于极轴 :cos =a;-10-4.圆的极坐标方程若圆心为 M(0,0
3、),半径为 r,则圆的方程为 2-20cos(-0)+ -r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 :(1)圆心位于极点 ,半径为 r:=r;(2)圆心位于 M(a,0),半径为 a:=2acos ;5.曲线的参数方程在平面直角坐标系 xOy中 ,如果曲线上任意一点的坐标 (x,y)都是某个 变量 t的 函数 并且 对于 t的每一个允许值 ,上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 ,则称上式为该曲线的参数方程 ,其中变量 t称为参数 .-11-6.一些常见曲线的参数 方程 -12-13-考向一 考向二 考向三 考向四参数方程与极坐标方程间的互化例 1在直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数
4、方程 为 (t为参数 ,a0).在以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C2:=4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程 ;(2)直线 C3的极坐标方程为 =0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与C2的公共点都在 C3上 ,求 a.-14-考向一 考向二 考向三 考向四解 (1)消去参数 t得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1是以 (0,1)为圆心 ,a为半径的圆 .将 x=cos ,y=sin 代入 C1的普通方程中 ,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin +1-a2=0.(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标
5、满足 方程组 若0,由方程组得 16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知 tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去 ),a=1.a=1时 ,极点也为 C1,C2的公共点 ,在 C3上 ,所以 a=1.-15-考向一 考向二 考向三 考向四解题心得 1.无论是参数方程化为极坐标方程 ,还是极坐标方程化为参数方程 ,都要先化为直角坐标方程 ,再由直角坐标方程化为需要的方程 .2.求解与极坐标方程有关的问题时 ,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 .若最终结果要求用极坐标表示 ,则需将直角坐标转化为极坐标 .-16-考向一 考向二
6、考向三 考向四对点训练 1在直角坐标系 xOy中 ,以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,半圆 C的极坐标方程为 =2cos , .(1)求 C的参数方程 ;(2)设点 D在 C上 ,C在 D处的切线与直线 l:y= x+2垂直 ,根据 (1)中你得到的参数方程 ,确定 D的坐标 .解 (1)C的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0 y 1). (2)设 D(1+cos t,sin t).由 (1)知 C是以 C(1,0)为圆心 ,1为半径的上半圆 ,因为 C在点 D处的切线与 l垂直 ,所以直线 CD与 l的斜率相同 ,-17-考向一 考向二 考向三 考向四求两点间距离的最值
7、例 2在直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1: (t为参数 ,t0),其中 0 0),M的极坐标为 (1,)(10). 由 |OM|OP|=16得 C2的极坐标方程 =4cos (0).因此 C2的直角坐标方程为 (x-2)2+y2=4(x0).(2)设点 B的极坐标为 (B,)(B0).由题设知 |OA|=2,B=4cos ,于是 OAB面积-24-考向一 考向二 考向三 考向四解题心得 对于极坐标和参数方程的问题 ,既可以通过极坐标和参数方程来解决 ,也可以通过直角坐标解决 ,但大多数情况下 ,把极坐标问题转化为直角坐标问题 ,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 .这
8、样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 .-25-考向一 考向二 考向三 考向四对点训练 3在直角坐标系 xOy中 ,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求 C1,C2的极坐标方程 ;(2)若直线 C3的极坐标方程为 = ( R),设 C2与 C3的交点为 M,N,求 C2MN的面积 .解 (1)因为 x=cos ,y=sin ,所以 C1的极坐标方程为 cos =-2,C2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.-26-考向一 考向二 考向三 考向四求动点轨迹的方程例 4已知动点
9、 P,Q都在曲线 C: (t为参数 )上 ,对应参数分别为 t=与 t=2(02),M为 PQ的中点 .(1)求 M的轨迹的参数方程 ;(2)将 M到坐标原点的距离 d表示为 的函数 ,并判断 M的轨迹是否过坐标原点 .-27-考向一 考向二 考向三 考向四解 (1)依题意有 P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos +cos 2,sin +sin 2).当 =时 ,d=0,故 M的轨迹过坐标原点 .解题心得 在求动点轨迹方程时 ,如果题目有明确要求 ,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程 ,那么就按要求做 ;如果没有明确的要求 ,那么三种形式的方程写出哪种都可 ,哪种形式的容易求就写哪种 .-28-考向一 考向二 考向三 考向四对点训练 4在直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程 为 (1)求 C2的方程 ;(2)在以 O为极点 ,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 ,射线 = 与C1的异于极点的交点为 A,与 C2的异于极点的交点为 B,求 |AB|.-29-考向一 考向二 考向三 考向四(2)曲线 C1的极坐标方程为 =4sin ,曲线 C2的极坐标方程为=8sin .
