1、- 1 -第 03 节 函数的奇偶性与周期性班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【2018 届北京市西城区 44 中 12 月月考】已知 fx是定义在 2,a上的奇函数，则0fa的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】 fx是定义在 ,a上的奇函数， 20a，解得 1，且 0f， f选 B2.【2018 届宁夏回族自治区银川一中考前训练】已知函数 是奇函数，且 ，则 （ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据奇函数性质得 ，再求 .详解：
2、因为函数 是奇函数，所以所以因此 ，选 D.3 【2017 届浙江省嘉兴一中适应性测试】已知函数 lnfx， 23gx，则fxg的图象为（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 fxg为偶函数，排除 ,AD，当 xe时， 230fxge，排除C4.【2018 届江西省临川一中模拟】已知 ，则 的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据函数的奇偶性和函数值即可判断详解：f（x）= =f（x） ，f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B，D- 3 -当 x= 时，f（ ）= 10，故排除 C，故选：A5. 已知 ()fx是 R上的奇函数，对 x
3、R都有 (4)(2)fxf成立，若 (1)2f，则 2013等于（ ）A2 B2 C1 D2013【答案】A6 【2018 届福建省莆田市第二次检测】设函数 满足 ，且 是 上的增函数，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据题中条件 ，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出 ，下一步应用是 上的增函数，得到函数 是 的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小.详解：根据 ，可得函数 的图像关于直线 对称，结合 是 上的增函数，可得函数 是 的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以 ，即
4、 ，故选 A.7.【2018 届福建省莆田第九中学高考模拟】定义在 上的偶函数 在 单调递增，且，则 的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ,可得 ，即为 ，可得 ，运用绝对值不等式的解法可得 的取值范围.- 4 -8 【2018 届四川省成都市模拟（一） 】已知偶函数 在 单调递增，若 ,则满足的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合函数的性质脱去 符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果详解：由题偶函数 在 单调递增，若 ,则，即解得 或 .故选 B.9 【2018 届安徽省示范高中
5、（皖江八校）5 月联考】已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 是偶函数，不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D- 5 -点睛：本题解题的关键在于能够根据题意，分析出函数 的单调性，画出函数 的草图，利用数形结合找到不等关系，解不等式即可.10.【天津市部分区 2018 年高三质量调查（二） 】设函数 是定义在 上的奇函数，且当时， ，记 ， ， ，则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据 x0 时 f（x）解析式即可知 f（x）在（0，+）上单调递增，由 f（x）为奇函数即可得出 ，然后比较 的大小关系，根据
6、 f（x）在（0，+）上单调递增即可比较出 a，b，c 的大小关系详解：x0 时，f（x）=lnx；f（x）在（0，+）上单调递增；f（x）是定义在 R 上的奇函数；= ；， ； ； ；abc；即 cba故选：A二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分- 6 -11.【2018 届福建省三明市 5 月模拟】已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，当时， ，则 _【答案】【解析】分析：由题意结合函数的奇偶性和函数的周期性整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，函数 是周期为 的偶函数，则：，则： .12 【2018 届江苏省南京市三模】若 是定义在 上的周期为 3 的函数，且,则 的值为_【答
7、案】13.【2018 届安徽省淮南市二模】已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，则 _【答案】1【解析】分析：推导出 f（x+4）= =f（x） ，从而 f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0） ，由此能求出结果详解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+2）= ，f（x+4）= =f（x） ，所以函数 f(x)的周期为 4,当 x0，2）时，f（x）=x+e x，- 7 -f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0）=0+e 0=1故答案为：114.【2018 届安徽省安庆市第一中学热身】若对任意的 ，都有 ，且， ，则 的值为_.【答案】【解析】分析：根据题意
8、求得函数 的周期，然后根据周期性求值即可详解：对任意的 ，都有 ， ， ， ， ， ，故函数 的周期为 1， 15 【2018 届湖北省 2018 届 5 月冲刺】已知 是奇函 数， 是偶函数，它们的定义域均为 ，且它们在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是_ _【答案】【解析】分析：先根据图像确定在 上 异号的情况，再根据奇偶性性质讨论在上 异号的情况,最后取并集得结果.详解：根据图像得当 时 异号；当 时 号；由是奇函数， 是偶函数，得当 时 ；因此不等式- 8 -的解集是 .16 【2018 届浙江省金丽衢十二校第二次联考】若 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）=x（1x） ，则
9、当 x0 时，f（x）=_；方程5f（x）1f（x）+5=0 的实根个数为_【答案】 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像 与 确定交点个数.详解：因为 f（x）为偶函数，所以当 x0 时，f（x）= ,因为5f（x）1f（x）+5=0，所以研究 与 交点个数，如图：因此有 6 个交点.17 【2018 届天津市河西区调查（三） 】设 是定义在 上的偶函数，且当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】分析：由 为偶函数， 在 上连续，且为减函数，可得 ，等价于 ，即有 ，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.详解：因为当 时， ，所以可得
10、 时， 递减， ；当 时， 递减，且 ，- 9 -在 上连续，且为减函数，对任意的 ，不等式 恒成立，等价于 ，可得 ，两边平方、移项分解因式可得 ，由一次函数的单调性，可得 ，且 ，即为 且 ，即有 ，则 的最大值为 ，故答案为 .三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 【浙江省台州中学高三第一次统练】已知 )(xf是定义在 R 上的奇函数，当 0x时2)(xf，（1）求 f的表达式；（2）设 00 时，f(x) 12log.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.【答案】(1) 1212log,0 l,xxf(2) 5
11、, 【解析】试题分析：（1）设 x0，可得-x0，则 f（-x）= x12log（ ） ， 再由函数 f（x）是偶函数求出 x0 时的解析式，则答案可求；（2）由 f（4）= 412log2，因为 f（x）是偶函数，不等式 f（x 2-1）-2 可化为 f（|x 2-1|）f（4）,利用函数 f（x）在（0，+）上是减函数，可得|x 2-1|4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集试题解析：- 11 -(1)当 x0，则 f( x)log ( x).因为函数 f(x)是偶函数，所以 f( x) f(x)log ( x)，所以函数 f(x)的解析式为f(x)(2)因为 f(4)log 42， f
12、(x)是偶函数，所以不等式 f(x21)2 转化为 f(|x21|) f(4).又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以| x21|4，解得 x ，即不等式 的解 集为( ， ).21 【2018 届山西省太原市实验中学 9 月月考】设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且f(1 x) f(1 x)，当1 x0 时， f(x) x.(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式.【答案】(1) f(x)是偶函数(2) ,1,0 2,xf试题解析：(1) f(1 x) f(1 x)， f( x) f(2 x).又 f(x2) f(x)，
13、f( x) f(x).又 f(x)的定义域为 R， f(x)是偶函数.(2)当 x0，1时， x1，0，- 12 -则 f(x) f( x) x；进而当 1 x2 时，1 x20，f(x) f(x2)( x2) x2.故 ,1,0 2,fx22 【2017 上海卷】设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有. （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值. 函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1
14、）由 ，可得函数 是一个不递减函数，得 ，即可求解实数 的取值范围；（2）利用反证法，假设 不是常值函数，令 ，且存在一个 ，使得 ，由函数 的性质得到 ，从而得出矛盾，即可作出证明；（3）充分性及必要性的证明：类似(2)证明充分性；再证必要性，然后分类证明即可.试题分析：（1）因为对于任意的 ，当 时，都有 ，即可知道函数 是一个不递减的函数，即 .若 ，其导函数为 ，可以得到 .（2）假设 不是常值函数，并且其周期为 .令 ，且存在一个 ，使得 .由于 的性质可知， ，且.因为 是周期函数，所以 ，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即 是常值函数.（3）充分性证明：当 为常值函数时，令 ，即 ，因为 是周期函数，所以 也是周期函数.必要性证明：当 是周期函数时，令周期为 .即有 ，则，又因为 是周期函数，所以 .即可得到，所以 是周期函数，由（2）的结论可知， 是常值函数.- 13 -综上所述， 是周期函数的充要条件是 是常值函数.
