1、1考点 16 正、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1正弦定理在 ABC 中，若角 A， B， C 对应的三边分别是 a， b， c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sinisinabc=.正弦定理对任意三角形都成立2常见变形（1） sisisi,sini,sini,sni;nAaCcBbaAaCcAbcBBb （2） ;siisiniiiisinaABC （3） :;ac （4）正弦定理的推广：=2siisinabcRBC，其中 为
2、AC 的外接圆的半径.3解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角4在 ABC 中，已知 a， b和 A时，三角形解的情况2二、余弦定理1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 222222cos,coscos.abAbaBabC，2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论： 222222cos,cos,cosbaababcABC.3解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4利用余弦定理解三角形的步骤3三、解三角形的实际应用1三角形的面积公
3、式设 ABC 的三边为 a， b， c，对应的三个角分别为 A， B， C，其面积为 S.（1） 2Sh (h 为 BC 边上的高)；（2） 1sinsisin2ccBab；（3） ()rab(r为三角形的内切圆半径)2三角形的高的公式hA=bsinC=csinB， hB=csinA=asinC， hC=asinB=bsinA3测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)（3）方向角相对于某一正方向的水平角.北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达
4、目标方向(如图)；北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；南偏西等其他方向角类似4（4）坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图， i 为坡度)坡度又称为坡比4解三角形实际应用题的步骤考向一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考
5、虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用常见结论：（1）三角形的内角和定理：在 ABC 中， ，其变式有： ABC，2ABC等（2）三角形中的三角函数关系： iin(ss)； ()soscocAB；ico2ABC； in2C.5典例 1 在 ABC 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 ca的值为A1 B 3C 5 D 7【答案】D又 ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 .故选 D典例 2 已知 ABC 的内角 的对边分别为 ,且 .(1)求 ；(2)若 ,线段 的垂直平分线交 于点 ,求 的长.【解析】(1)因为 ,所以 .由余弦定理得 ，又 ，
6、所以 .（2）由（1）知 ,根据余弦定理可得 ，所以 .由正弦定理得 ，即 25sinB，解得 .6从而 25cosB.设 的中垂线交 于点 ,因为在 RtDE 中, ，所以 15cos2BED，因为 为线段 的中垂线，所以 .1在 ABC 中， a,b,c分别是角 A， B， C的对边，且 2sincosCBabA，则 =A 6 B 4C 3 D 232在 B 中，边 上一点 满足 ， .（1）若 ，求边 的长；（2）若 ，求 .考向二 三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1） “角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相
7、应关系，从而判断三角形的形状.（2） “边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在 ABC 中，角 ,所对的边分别是 ,abc，满足 3oscsincos2ACB，且,abc成等比数列.（1）求角 的大小；7（2）若 2,tanttancbACB,试判断三角形的形状.【解析】 （1）已知 3ossicos2ACB, cosAC， 32sin2AC,又 22inibac, 2in，
8、即 in，而 ,成等比数列，所以 b不是最大，故 B为锐角，所以 60.（2）由 2tanttancACB,得 cos2cosiiniACbB,利用正弦定理可得 os1,又因为 3,所以 3,所以 AB 是等边三角形.3在 C 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若 ，则 ABCA一定是锐角三角形 B一定是钝角三角形C一定是斜三角形 D一定是直角三角形考向三 与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图
9、形恰当选择面积公式是解题的关键（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解典例 4 在 ABC 中，角 的对边分别为 ，且 8（1）求角 ；（2）若 ，求 ABC 面积的最大值【解析】 （1）由已知和正弦定理得 ，解得 【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角
10、，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例 5 在 ABC 中， ， 是 边上的一点.（1）若 ，求 的长；（2）若 ，求 周长的取值范围.【解析】 （1）在 D 中， AD1， ，所以 cos DAC12 cos DAC3, 所以 cos DAC .由余弦定理得 22cosCACAD12122 1 7，所以 CD . （2）在 B 中，由正弦定理得 234sinisniB，9， 30,sin,132A.，故 ABC 周长的取值范围为 . 4在 ABC 中，内角 所对的边分别是 ，已知 .（1）求 ；（2）当 时，求 的取值范围5在 AB 中，内角 ， ，
11、 所对的边分别为 ， ， ，且 ABC 的面积 .（1）求 ；（2）若 、 、 成等差数列， ABC 的面积为 ，求 .考向四 三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例 6 如图，在 ABC 中， D为 边上一点，且 DAC，已知 4B， 1C.（1）若 ABC 是锐角三角形， 63DC，求角 A的大小；（2）若 的面积为 16，求 AB的长.10【解析】 （1）在 BCD 中， 4， 1BC， 63D，由正弦定理得 sinsi，解得2sin63，
12、所以 3BDC或 2.因为 A 是锐角三角形，所以 23BDC.又 ，所以 .（2）由题意可得 11sin246BCDS ，解得 23BD，由余弦定理得 2 co 5199，解得 53CD，则 523ABCB.所以 的长为 523.6如图，在 ABC 中，角 ， ， C的对边分别为 a， b， c， (sinco)C.（1）求角 B的大小；（2）若 A， D为 C 外一点， 2DB， 1C，求四边形 ABCD面积的最大值.考向五 解三角形的实际应用11解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括
13、后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例 7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 A处测得山顶 P在北偏东 1515BAC方向上，匀速向北航行 20分钟到达 B处，测得山顶 P位于北偏东 60方向上，此时测得山顶 P的仰角为 60，若山高为3千米，（1）
14、船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行 10分钟到达 D处，问此时山顶位于 D处的南偏东什么方向？【解析】 （1）在 BCP 中， tan2PCB，在 A 中，由正弦定理得 sisisin15i4AAB，所以 23，故船的航行速度是每小时 631千米.（2）在 BCD 中，由余弦定理得 6CD，在 中，由正弦定理得 2sinsinsiBCDB,12所以山顶位于 D处南偏东 45方向.7某新建的信号发射塔的高度为 AB，且设计要求为：29 米 AB29.5 米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部 在同一水平面内的两个观测点 ,CD，测得 60， 75BCD， 40CD米，并在点
15、 C处的正上方 E处观测发射塔顶部 的仰角为 30，且 1E米，则发射塔高ABA 21米 B 2061米C 40米 D 4米考向六 三角形中的综合问题1解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“2,ab”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例 8 在
16、ABC 中，已知6，向量 (sin,1)Am， (,cos)B，且 mn.（1）求 A 的值；（2）若点 D 在边 BC 上，且 3BCur， 3D，求 C 的面积【解析】 （1）由题意知 sinco0Am，又6， AB，所以5sinco()06A，即31sin2i，即sin()06.又0，所以(,)6A，所以06A，即.13典例 9 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.（1）若 a， b， c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin( A C)；（2）若 a， b， c 成等比数列，求 cos B 的最小值【解析】 （1）因为 a， b， c 成等差数列，
17、所以 a c2 b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.因为 sin Bsin ( A C)sin( A C)，所以 sin Asin C2sin( A C)（2）因为 a， b， c 成等比数列，所以 b2 ac.由余弦定理得 cos B ，a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12当且仅当 a c 时等号成立所以 cos B 的最小值为1.8已知函数 （ ）的图象上相邻的最高点间的距离是 .（1）求函数 的解析式；（2）在锐角 ABC 中，内角 满足 ，求 的取值范围.1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边为 a， b， c，若 a 6， b
18、3， B60，则 A=A45 B45或 135C135 D60或 120142在 ABC中，若 tanAtanB1，则该三角形一定是 A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上都有可能3在 中， ， ，则角 的取值范围是A BC D4 B 中， 2， 10BC， cos4A，则 边上的高等于A315B3C 2 D35已知 B 的面积为 ， ，则 的最小值为A BC D6设 的三个内角 所对的边分别为 ，如果 ，且 ，那么 B 外接圆的半径为A2 B4C D17已知 B 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则A2 BC D8若 B 的三个内角 所对的边分别是 ， ，且 ，则A10 B8C7 D
19、49已知 的面积为 ，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则A2 B415C D10在 AB 中， D 为 BC 边上一点，若 AB 是等边三角形，且 43AC，则 ADC 的面积的最大值为 .11如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m. 12在 ABC 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， （1）求 ；（2）求 的值13在 ABC 中，内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知向量 (,3)
20、bam，(cos,in)，且 m（1）求角 的大小；（2）若 b， ABC 的面积为 3，求 ac的值1614如图所示，在 ABC 中, 点 D为 BC边上一点，且 1BD,E 为 AC的中点, 3,2E27cos,3ADB.（1）求 AD的长；（2）求 E 的面积.15在 ABC 中， ,的对边分别为 ,abc，且 os,c,osCbBA成等差数列（1）求 的值；（2）求 2sincosA的范围1716已知函数（1）当 时，求 的值域；（2）在 ABC 中，若 求 ABC 的面积.1（2017 新课标全国文科） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知sin(sico
21、)0BAC， a=2， c= 2，则 C=A12B6C 4 D 32（2018 新课标全国文科） ABC 的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c若的面积为24abc，则 18A 2 B 3C 4 D 63（2017 新课标全国文科） ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 C=60，b= 6， c=3，则 A=_.4（2016 上海文科）已知 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.5（2018 新课标全国文科） B 的内角 ABC， ， 的对边分别为 abc， ， ，已知sini4sinbCcBaC， 228bca，则 的面积为_6（201
22、7 浙江）已知 ABC， AB=AC=4， BC=2 点 D 为 AB 延长线上一点， BD=2，连结 CD，则 BDC 的面积是_，cos BDC=_7（2018 江苏）在 ABC 中，角 ,所对的边分别为 ,abc， 120ABC， AB的平分线交 AC于点 D，且 1，则 4ac的最小值为 8 （ 2017 山 东 文 科 ） 在 中 ,角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 b=3, 6, 3ABCS ,求A 和 a.9 （2018 天津文科）在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 bsinA=acos(B6)（）求角 B 的大小；
23、（）设 a=2， c=3，求 b 和 sin(2AB)的值19变式拓展1【答案】C【解析】 2sincosCBabA，由正弦定理可得 2cosbaBA，即coscabBb.由余弦定理可得 2222abcac，整理可得 22bca，221cosbcA， 0,， 3，故选 C20（2）在 ACD 中，由正弦定理可得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，化简得 ，即 ， ， .4 【解析】 （1）由正弦定理可得： ，又 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 .（2）由正弦定理得 ，则 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .5 【解析】 （1） ， ，即 ， ， .（2） 、 、 成等差数列，
24、，21两边同时平方得： ，又由（1）可知： ， ， ， ，由余弦定理得， ，得 ， .6 【解析】 （1）在 ABC 中，由 (sinco)abC，得 sini(sco)ABC，即sin()si(nco)， iB，又 n0， sinB，即 ta， 0,， 4.（2）在 BCD 中， 2， 1C，21cos5csD.又 A， 为等腰直角三角形，则 21cos24BCSBC ，又 1siniD ， 55cosin2sin()444四 边 形 ABCDS D，故当 34时，四边形 AD的面积有最大值，最大值为 2.7 【答案】A【解析】过点 E 作 FB，垂足为 F，则 ,1EBFE米， 30AF，
25、在 BDC 中，由正弦定理得 sin40sin625CD米.在 RtA 中， 3ta26A米.所以 120BF米，符合设计要求.故选 A22（2）由 得 ，即 ，则 ，又 ，所以 .因为 ABC 是锐角三角形，所以 ，则 ，所以 ，故 .考点冲关1【答案】A【解析】 a 6， b3， B60，由正弦定理可得 63sini0A，sin A362=.又 ab， A452 【答案】B【解析】由已知条件，得 sincos()cos1,0,0,coABCBAAB即 即 说明 cosA，cos B，cos C 中有且只有一个为负因此 一定是钝角三角形3【答案】A【解析】因为 sini，所以 ，所以 ，又
26、，则 必为锐角，故.234【答案】A【解析】设角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， AB边上的高为 h，因为 2c， 10a，所以 2144，化简得 260b，解得 3b.又5sin4，所以由1532h，得35.故选 A.6【答案】D【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以由正弦定理可得 ABC 的外接圆半径为 1312sin2aRA，故选 D7【答案】D【解析】 是三角形的内角， ， ，由 得561sin39aBbA，故选 D249【答案】A【解析】 ABC 的面积为 .则由 ，可得 .化简得 ，即 ，所以 ，解得 或 （舍去）.所以 .所以 .故选 A10【
27、答案】 43【解析】如图.在 ACD 中，22248cosADCADC1，整理得 248， 16，当且仅当 AD=DC 时取等号， ADC 的面积3sin4324SADCADC， 的面积的最大值为 4311【答案】 610【解析】依题意， 0BAC， 105B，在 ABC 中，由18A，得 45，因为 6m，所以由正弦定理可得 30sin45i6，即 230BCm.在 RtBCD 中，因为 30B， 2C，所以 taD，所以 610m.12【解析】 （1）在 AB 中，由余弦定理得 ，25解得 （2）在 ABC 中，由 得 ， ，在 中，由正弦定理得 ，即 32sin10B， ，又 ，故 ，
28、， 13 【解析】 （1） mn， si3cosbAaB，由正弦定理，得 sinB， sin0A， cs，即 ta， ， 3（2）由三角形的面积公式 1sin2ABCSac ，得 132ac，解得 4ac，由余弦定理 22obac，得 242()2()1，故 4ac14【解析】 （1）在 ABD 中， 227 7cos,(0,)sin1cos1()BB,213sinsi()()24,由正弦定理 siniADB,得1sin74BDA.（2）由（1）知 2，依题意得 23CE.在 AC 中，由余弦定理得2622ACDcos,即 294cos3DC,即 250DC,解得16（负值舍去）.故 12si
29、n2(6)2ADCSA ,从而 134AEADC .15【解析】 （1）由题意得 cos2cosaAbB，由正弦定理得 2inin4isRCR，即 BCAs)sin(，所以 si 又在 中，则 或 2，因为 0，所以 3. （2）因为B， 所以AC. 2sincos()1cos2()3A312in1sincosAA3sin().因为 0A， 23，所以 sin()12， 所以 icoAC的范围是 ,13227（2）设 ABC 中 所对的边分别为.即得又 ，即 即易得直通高考1【答案】B【解析】由题意 sin()si(ncos)0ACC得sincoiA，即 (is)2is()4，所以 3428由
30、正弦定理 siniacAC得 23sini4，即 1i2C，因为 ca，所以 CA，所以 6，故选 B【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2【答案】C【解析】由题可知 ，所以 ，由余弦定理，得 ，因为 ，所以 ，故选 C.3【答案】75【解析】由正弦定理 sinibcBC，得36sin2ibCBc，结合 bc可得 45B，则 18075A.【名师点睛
31、】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.4【答案】 73【解析】由已知可设 ,57abc，221osabcC，3sin2C，3sinRC.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的29函数.
32、本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.5【答案】【解析】根据题意，结合正弦定理可得 ，即 ，结合余弦定理可得 ，所以 A 为锐角，且 ，从而求得 ，所以 ABC 的面积为，故答案是 .6【答案】 150,24【解析】取 BC 中点 E，由题意： ABC， ABE 中， 1cos4BC， 115cos,sin464DBC， 15sin22 BCDS A， 21cocscos4ABBD，解得 10cos4或 10s4DC（舍去） 综上可得， BCD 的面积为 52， coB8【解析】因为 6ABC，所以 cos6bA，又 3CS ，所以 sinbc，因此 tan1，又 0，30所以 34A，
33、又 b，所以 2c.由余弦定理 cosabA，得 29832()=29，所以 a.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据 其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法 注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.9【解析】（）在 ABC 中，由正弦定理 siniabAB，可得 siniAaB，又由 sincos()6bAaB，得 sincos()6aB，即 sinco()6B，可得 t3又因为 (0)， ，可得 B= 3（）在 ABC 中，由余弦定理及 a=2， c=3， B= ，有 22cos7ba，故 b= 由 sincos()6bAaB，可得 3sin7A因为 ac，故 os7A因此 4in2icos7A，21c7所以， sin()sincos2inABAB43137214
