1、1专题 02 参数方程知识通关1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变数 t 的函数()xftyg，并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x， y 的变数 t 叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x， y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y g(t)，那么()fgt就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y
2、的取值范围保持一致（1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数 ,常用的消参方法有:代入消元法;加减消元法;恒等式(三角的或代数的)消元法等 ,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如 22sinco1等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时 ,可以唯一确定 x,y 的值.一般地 ,与旋转有关的问题 ,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题 ,常取时间作为参数.此外 ,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作
3、为参数.3常见曲线的参数方程普通方程 参数方程过点 M0(x0,y0), 为直线的倾斜角的直线y y0tan (x x0)0cosinxty(t 为参数)2圆心在原点，半径为 r 的圆 x2 y2 r2cosinxry( 为参数)中心在原点的椭圆21ab(ab0) siab( 为参数)【注】 （1）在直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时， t 才有几何意义且几何意义为：| t|是直线上任一点 M(x， y)到 M0(x0， y0)的距离（2）若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为0cosinxRy( 为参数).（3）若椭圆的中心不在原点 ,而在点 M0(x
4、0,y0),相应的椭圆参数方程为0csixatyb(t 为参数).基础通关1了解参数方程，了解参数的意义.2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.题组一 参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y的取值范围的影响，要保持同解变形【例 1】已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，圆 C 的参数方程为 ( 为参数)（1）求直线 l 和圆 C 的普通方程；（2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围【解析】 （
5、1）直线 l 的普通方程为 2x y2 a0，圆 C 的普通方程为 x2 y216.（2）因为直线 l 与圆 C 有公共点，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离|45ad，解得2 a2 .5 53题组二 参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题（2）对于形如0xatyb(t 为参数)，当 a2 b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题【例 2】已知曲线 C：2149x，直线 l： 2xty(t 为参数). （1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹
6、角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值【解析】 （1）曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)直线 l 的普通方程为 2x y60.（2）曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d5|4cos 3sin 6|，则| PA| 25|5sin( )6|，其中 为锐角，且 tan .dsin 30 43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为25.当 sin( )1 时，| PA|取得最小值，最小值为 .故| PA|的最大值与最小值分别为25， .能力通关1直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲
7、线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点 M(x0， y0)的直线 l 交曲线 C 于 A， B 两点，若直线的参数方程为40cosinxty(t 为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB| t1 t2|；(2)|MA|MB| t1t2|.2圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程
8、求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 和 的几何意义，直接求解，可化繁为简利用参数的几何意义解决问题【例 1】在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为1cosinxy（ 为参数） ，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为2s()6.（I）写出直线 l的直角坐标方程以及曲线 C 的极坐标方程；（II）若 (0,1)P，且直线 l与曲线 C 交于 ,MN两点，求22|+|()PN的值.【解析】 （I）依题意，曲线 C： 2211xy，即210xy，故曲线 C 的极坐标方程为2cosin0；因为直线 l的极坐标方程为()16，即 3cosin10，
9、所以直线 l的直角坐标方程为 310xy.5坐标系与参数方程的综合问题【例 2】在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为cos3inxy( 为参数)，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为cs24（1）求曲线 1C的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）已知点 P在曲线 1上，点 Q在曲线 2C上，求 |PQ的最小值及此时点 P的直角坐标（2）由题意，可设点 P的直角坐标为 (cos,3in)，因为曲线 2C是直线，所以 |Q的最小值即点 到直线 60xy的距离的最小值，6易得点 P到直线 60xy的距离为|cos3in6|2|sin()3|62d，当
10、且仅当2()3kZ时， 取得最小值，即 |PQ取得最小值，最小值为 2，此时点 P的直角坐标为1(,)【例 3】在平面直角坐标系中，曲线12cos:inxCy（ 为参数）经伸缩变换2xy后的曲线为 2C，以坐标原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 2C的极坐标方程；（2）已知 ,AB是曲线 2上两点，且6AOB，求 3AOB的取值范围.【解析】 （1）曲线1cos:inxCy化为普通方程为：214xy，由2xy得 y，代入上式可知：曲线 2C的方程为 21xy，即2xy，曲线 2C的极坐标方程为 2cos.7高考通关1在平面直角坐标系 xOy中，直线21:xtly（
11、是参数） ，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C： 4cos.（1）求直线 l的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）试判断直线 与曲线 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.【解析】 （1）由21xty消去 t得 230xy，所以直线 l的普通方程为 .由 4cos两边同乘以 得24cos，因为22xy， csx，所以 ，配方得2()y，即曲线 C的直角坐标方程为2()4xy.（2）法一：由（1）知，曲线 :C24x的圆心为 )0,2(，半径为 2，由圆心到直线的距离公式得 )0,2(到直线 3y的距离|3|5d，所以直线 l与曲线 相交，设交点为 A、
12、B，所以 |AB59)(22.所以直线 l与曲线 C相交，其弦长为 .法二：由（1）知， :l230xy， :C2()4xy，联立方程，得 4)(2，消去 y得 0952，8因为 034952，所以直线 l与曲线 C相交，设交点坐标为 ),(1yxA， ),(2B，由根与系数的关系知 521x，921x，所以 59452| B，所以直线 l与曲线 C相交，其弦长为2.2在直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为231xty（ t为参数）,以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为2cos6（1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若射线=03与直线 l 交于点 P,与
13、曲线 C 交于点 Q(Q 与原点 O 不重合),求QP的值【解析】 （1）由2xty消去 t 得直线 l的普通方程为 40xy,把 cos,inx,代入 40xy得直线 l 的极坐标方程为 cosin4.（2）由题意可得,813cosi3OP,2cos36OQ,所以Q=138.3已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 P的坐标为 )3,1(，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为sin2co4.9（1）求点 P的极坐标 1(,)02)及曲线 C的参数方程；（2）过点 的直线 l交曲线 C于 M， N两点，若 |3，求直线 l的直角坐标方程.【解析】 （1） 在
14、平面直角坐标系 xOy 中，点 P),1(是第一象限内的点， tan3且02，3，点 P的极坐标为(2,)3.曲线 C的极坐标方程为sin2co4，sin2co42，由2,xyxy得 yxx242，曲线 C的直角坐标方程为 042，即 1)()(2，曲线 的参数方程为cos1inxy（ 为参数）.（2）显然直线 l的斜率存在， 可设直线 l的方程为 )1(3xky，即 03kyk，|MN3，圆 C的半径为 1，圆 的圆心 (2,1)到直线 l的距离为 2，2|3|k，化简得 03815)3(82 kk，解得 3k或358，直线 l的直角坐标方程为 0yx或 ()80xy.4已知极点与直角坐标系
15、的原点重合、极轴与 x轴的正半轴重合，直线 l的极坐标方程为31sin()62（1）求直线 l的参数方程；10（2）设 l与曲线2cos(inxy为参数）相交于 A， B两点，求点 ()1,P到 A， B两点的距离之积（2）易得2cos(inxy为参数）的普通方程为24xy，点 ()1,P在直线 l上，把直线312xty代入24xy可得2231(1)4()tt，即27(43)10tt，显然 1247t，故点 (),P到 A， B两点的距离之积为475在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C的参数方程为123xty（ 为参数） ，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 D的极坐标方程为 (sin).（）求曲线 C的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（）若曲线 与曲线 交于 ,MN两点，求 |.【解析】 （）消掉参数 t，得曲线 C的普通方程为 32yx，即 30y.曲线 D的方程可化为： sin2，显然 0，所以化为直角坐标方程为2xy，化简得24xy.11方法二：将曲线 C的参数方程化为523xmy（ 为参数） ，并代入曲线 D的直角坐标方程，得255()4(3)m，整理得 2+8540.由求根公式解得 1,28(211，故 |40MN.
