1、1专题 5 函数的图像【典例解析】1.（必修 1 第 23 页练习第 2 题）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事。A.我 离 开 家 不 久 ， 发 现 自 己 把 作 业 本 忘 在 家 里 了 ， 于 是 立 刻 返 回 家 里 取 了 作 业 本 再 上 学 ；B.我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；C.我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。【解析】由图为时间与离家距离之间的函数关系，易发现事件与对应的函数图象为；A-(4),B-(1),C-(2)而对于图（3） ，只要满足随着时间的变化速度由快到慢，
2、事件编写可自主发挥。【反思回顾】 （1）知识反思；函数的图像是函数三种表达形式之一，具有直观性，易观察函数的各种性质；（2）解题反思；由三种描述，由自变量时间和函数离家的距离，进行定性的分析容易得出函数的图像；2.（必修 1 第 25 页习题 1.2 B 组第 1 题）函数 ()rfp的图象如图所示（1）函数 ()rfp的定义域是什么？（2）函数 的值域是什么？（3） r取何值时，只有唯一的 值与之对应？2xyy=r012345612345 12345【解析】 （1）函数 ()rfp的定义域是 ,02,)；（2）函数 f的值域是 ,；（3）当 5r，或 02r时，只有唯一的 p值与之对应【反思
3、回顾】 （1）知识反思；函数的概念，定义域、值域及函数的图像；（2）解题反思；已知函数的图像，通过图像求定义域（即自变量 p的取值范围）可看图像在 x轴的部分，即看左右边界（注意实心点和空心点） ，而值域（即函数 r的取值范围） ，需看图像 y轴的部分，即看上下边界。对于（3）问为判断自变量 与函数 一对一的区域，在定义域 5,02,6)内对图像进行排查，如图 0y时，显然有 2 个 p值与之对应，因而当 r，或 r时，只有唯一的 p值与之对应提示：函数的一种直观表达方式函数图象，同时注意函数三种表达方式的相互转换，既要借助于函数解析式中某些数的精确性、深刻性来阐明图象的某些属性，又要借助于图
4、象的几何直观性、形象性来揭示函数式中数之间的某种关系，体现了数形结合思想和运动变化的思想。【知识背囊】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换3(2)对称变换y f(x)的图象 y f(x)的图象； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图象 y f( x)的图象； 关 于 原 点 对 称 y ax(a0，且
5、 a1)的图象 ylog ax(a0，且 a1)的图象. 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换y f(x) y f(ax). 纵 坐 标 不 变 各 点 横 坐 标 变 为 原 来 的 1a（ a0） 倍y f(x) y Af(x). 横 坐 标 不 变 各 点 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A（ A0） 倍(4)翻转变换y f(x)的图象 y| f(x)|的图象； x轴 下 方 部 分 翻 折 到 上 方 x轴 及 上 方 部 分 不 变y f(x)的图象 y f(|x|)的图象. y轴 右 侧 部 分 翻 折 到 左 侧 原 y轴 左 侧 部 分 去 掉 ， 右 侧 不 变【变式
6、训练】变式 1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )4距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A BC D时间 时间时间 时间O OO O距学校的距离 【答案】C【解析】由题意，先匀速行驶，图像应为直线，停留一段时间，图像为平行于 x 轴的一段线段，之后加速则图像是上凸的曲线。故选 C变式 2. 如图所示,医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后 x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为 h厘米，已知当 0x时， 13h如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴
7、完则函数 ()hfx的图像为（ ）5【答案】C【解析】由题意，每分钟滴下药液为： 3cm当 413h时， 24(1)xh ，即 136x，此时 014x当 时， 29(4，即 4h，此时 56由函数为单调递减，且是，递减速度变快。故选 C变式 3.若函数 )(log)(bxfa的图象如图，其中 ba,为常数则函数 baxg)(的大致图象是（ ）1yox1yox1yox1yoxA B C D【答案】D【解析】如图可知 01ab，故选 D。变式 4.函数 y( x3 x)2|x|的图象大致是( )6【答案】B【解析】由于函数 y( x3 x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称.当 01 时，
8、 y0.排除选项 A，C，D，选 B.变式 5.已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 2()log()xfx的定义域是_.【答案】(2，8【解析】当 f(x)0 时，函数 2()log()xfx有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0的 x(2，8.变式 6. 若直角坐标系内 A、B 两点满足：（1）点 A、B 都在 f（x）的图像上；（2）点 A、B 关于原点对称，则称点对（A，B）是函数 f（x）的一个“姊妹点对” （点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对” 。已知函数 f（x）=2(0)xe，则 f（x）的“姊妹点对”有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4
9、 个 【答案】B【解析】设 P（x，y） 令 x0，则点 P 关于原点的对称点为 P （-x，-y），于是 xex2即 2ex，令 xeg2)(, xh2)(，画出 xg2)(,h)(2的图像7可得有两个交点，所以 02xex有两个解也就是说 f（x）的“姊妹点对”有两个所以选 B【高考链接】1.【2014 福建理 4】若函数 log(,1)ay且 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ） 13OxyDCBA y=loga(-x)y=(-x)ay=xay=a-x -1-3113O OO O1yx 1x 1x xy【答案】B【解析】由题意可得 log31,a.所以函数 3xy是递减的即 A
10、 选项不正确.B 正确. 3()yx是递减,所以 C 不正确. ()yx图象与 log关于 y 轴对称，所以 D 不正确.故选 B.2.【2014 年浙江卷理 7】在同意直角坐标系中，函数 xgxf aalo)(,0()的图像可能是（ ）【答案】D【解析】 函数 0ayx，与 log0ayx，答案没有幂函数图像，答案 0ayx中81a， log0ayx中 1a，不符合，答案 0ayx中 1a，l中 ，不符合，答案 a中 ， log0yx中 1a，符合，故选3.【2015 高考北京理 7】如图，函数 fx的图象为折线 ACB，则不等式 2l1fx的解集是（ ） A BO xy-1 22CA |0
11、x B |1xC |1 D |2【答案】C【解析】如图所示，把函数 2logyx的图象向左平移一个单位得到 2log(1)yx的图象1x时两图象相交，不等式的解为 1，用集合表示解集选 C4.【2016浙江卷】函数 ysin x2的图象是( )9【答案】D【解析】 ysin( x)2sin x2，函数为偶函数，可排除 A 项和 C 项；当 x 时，sin x2sin 1，排除 B 项，只有 D 满足. 2 245.【2015 高考安徽，理 9】函数 2axbfc的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A） 0a， b， 0c （B） 0a， b， 0c（C） ， ， （D） ， ， 【答案】
12、C【解析】由 2axbfc及图象可知， xc， 0，则 c；当 0x时， 2()0bfc，所以 0b；当 y， 0，所以 ba，所以 .故 a， ， ，选 C.106.【2016 高考新课标 1 卷】函数 2xye在 ,的图像大致为( )（A） （B）（C） （D）【答案】D【解析】函数 f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函数,其图象关于 y轴对称,因为2()8,01fe,所以排除 AB选项；当 02x时, 4xe有一零点,设为 0x,当,x时, ()f为减函数,当 0(,2)时, ()f为增函数故选 D.7 【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是A. B. C. D.
13、 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.详解：令 ， 因为 ，所以 为11奇函数，排除选项 A,B;因为 时， ，所以排除选项 C，选 D.反思：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复8 【2018 年理数全国卷 II】函数 的图像大致为（ ）【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解： 为奇函数，舍去 A, 舍去
14、D;，所以舍去 C；因此选 B.9.【2015 高考新课标 2，理 10】如图，长方形 ABCD的边 2， 1B， O是 A的中点，点 P沿着边 BC， D与 A运动，记 OPx将动 到 、 两点距离之和表示为 x的函数 ()f，则()yfx的图像大致为（ ）D P CB OAx12(D)(C)(B)(A)xy4 2 34 223424yxxy4 2 34 223424yx【答案】B【解析】由已知得，当点 P在 边上运动时，即 04x时， 2tan4tPABx；当点P在 CD边上运动时，即 3,42x时， 2211()()tantx，当2x时， 2AB；当点 在 AD边上运动时，即 34时，t
15、antx，从点 P的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2x对称，且()4ff，且轨迹非线型，故选 B10.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 ()fxR满足 ()2()fxf，若函数 1xy与()yfx图像的交点为 12(,),(),mxyy则 1()iiiy（ ）（A）0 （B） （C） 2 （D） 4m【答案】C【解析】由于 2fxf，不妨设 1fx，与函数 1xy的交点为 1,2,0，故 1212xy，故选 C.11.【2017 北京理 14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的
16、横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i=1，2，3.记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1， Q2， Q3中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1， p2， p3中最大的是_.13【答案】 1Q； 2.p【解析】作图可得 1AB中点纵坐标比 23,AB中点纵坐标大，所以第一位选 1Q ,分别作 123,B关于原点的对称点 23,，比较直线 1, 斜率，可得 2AB最大，所以选 2.p 12.【2015 全国卷】设函数 y f(x)的图象与 y2 x a的图象关于直线 y x 对称，且 f(2) f(4)1，则 a_.【答案】2【解析】设( x， y)是函数 y f(x)图象上任意一点，它关于直线 y x 的对称点为( y， x)，由y f(x)的图象与 y2 x a的图象关于直线 y x 对称，可知( y， x)在 y2 x a的图象上，即 x2 y a，解得 ylog 2( x) a，所以 f(2) f(4)log 22 alog 24 a1，解得 a2.
