1、- 1 -第 02 节 命题及其关系、充分条件与必要条 件【考纲解读】命题角度考 纲 内 容5 年统计命 题 分 析 预 测1命题及其关系1理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系无2充分条件和必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2014 课标，31该部分知识单独考查的可能性很小，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度2备考重点：（1）命题的真假的判断；（2）利用充分条件、必要条件求参数的范围【知识清单】1命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子
2、表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系对点练习：有下列四个命题（1） “若 230x，则 1x”的逆命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题；（3） “若 1m，则 m有实数解”的逆否命题；（4） “若 AB=B，则- 2 -AB”的逆否命题其中真命题为（ ）A、 （1） （2） B、 （2） （3） C、 （4） D、 （1） （3）【答案】D2充分条件与必要条件（1）若 pq，则 p 是 q 的充
3、分条件， q 是 p 的必要条件；（2）若 pq，且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；/（3）若 p q 且 qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；/（4）若 pq，则 p 是 q 的充要条件；（5）若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件/ /对点练习：【2018 高考北京理 6】设 ,ab均为单位向量，则“ 3ab”是“ ab”的 （ ）A充分而不必条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先对模平方，将 3ab等价转化为 0ab=，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系试题解析：22223 696bab a
4、，因为 ,均为单位向量， 2 2690abab，即“”是“ ”的充分必要条件选 C【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法（1）定义法：直接判断“若 p则 q”、 “若 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 是 的充分条 件（2）等价法：利用 与 ， 与 q， p与 qp的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法- 3 -（3）集合法：若 AB，则 是 的充分条件或 B是 A的必要条件；若 AB，则 是 的充要条件【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题命题重点主
5、要有两个：一是考查命题的四种形式以及真假判断，考查等价转化数学思想；二是以函数、方程、不等式、立体几何线面关系为背景的充分条件和必要条件的判定以及由充分条件和必要条件探求参数的取值范围【重点难点突破】考点 1 四种命题的关系及真假判断【1-1】给出命题“已知实数 ,ab满足 1，则 4ab”，它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】 1ab22()4aba1b原命题为真，从而逆否命题为真；若 4，显然得不出 1，故逆命题为假，因而否命题为假，选 B【1-2】命题“若 ,xy都是偶数，则 xy也是偶数”的逆否命题是（ ）A若 是
6、偶数，则 与 不都是偶数 B若 xy是偶数，则 x与 y都不是偶数C若 xy不是偶数，则 x与 y不都是偶数 D若 不是偶数，则 与 都不是偶数【答案】C【解析】命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若 ,xy都是偶数，则 xy也是偶数”的逆否命题是若 xy不是偶数，则 x与 y不都是偶数【1-3】以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若 2log0a，则函数 2()logf(0,1)a在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若 a0，则 ab0”的否命题是“若 a0，则 ab0” ；命题“若 x， y 都是偶数，则 x y 也是偶数”的逆命题为真命题；- 4 -命
7、题“若 aM，则 b”与命题“若 bM，则 a”等价【答案】【领悟技法】1四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面2正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思 维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困
8、难，二者同样重要3 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和 逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假4 否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法【触类旁通】【变式一】命题“若 ABC 有一内角为 ，则 ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) 3A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的
9、逆命题为“若 ABC的三内角成等差数列，则 ABC有一- 5 -内角为 3”，它是真命题【变式二】 【2018 河北衡水金卷四】下列结论中正确的个数是（ ）“ ”是“ ”的充分不必要条件；命题“ ”的否定是“ ”；函数 在区间 内有且仅有两个零点A 1 B 2 C 3 D 0【答案】A【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假，然后判断真命题的个数即可详解：逐一考查所给命题的真假：若 ，则 ，反之未必成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，该命题正确；命题“ ”的否定是“ ”，原命题错误；函数 的零点即函数 与函数 交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可知，交点的个数为 1 个，则零点的个数
10、为 1 个，原命题错误综上可得，正确命题的个数为 1 个故选 A【名师点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假；原命题与其逆否命题同真假考点 2 充分必要条件的判定【2-1】 【20 18 天津滨海新区模拟 】已知集合 |145Ax，集合22|logBxyx，则“ x”是“ B”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B- 6 -【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可详解：利用绝对
11、值不等式的求法求得 |05Ax，利用对数式有意义，真数大于零求得|02Bx，因为 B是 的真子集，故“ ”是“ xB”的必要不充分条件，故选 B【名师点睛】分别求出题中所给的集合 A，B，结合集合的包含关系判断即可【2-2】 【2018 广东佛山二模】已知函数 ，则“ ”是“ ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【2-3】设 ba,为向量则“ba是 的（ ）A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也必要条件 【答案】 【解析】设向量 ,ab的夹角为 ，若cosabab， cos1，则 ba，若 ，则 cos1，
12、从而，“是 的充要条件【2-4】 【2018 江西新余二模】 “ ”是“函数 在区间 上无零点”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A- 7 -【解析】函数 f（ x）=3 x+m3 在区间1，+）无零点，则 3x+m3 ，即 m+1 ，解得m ，故“ m1“是“函数 f（ x）=3 x+m3 在区间1，+）无零点的 充分不必要条件，故选A【领悟技法】充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ,pq ，则 p是 q的充分而不必要条件；若 ,pq ，则p是 q的必要而不充分条件；若 ,，则 是 的充要条件； 若 p ，则 是 的既不充分也不必要条件（2）等
13、价法：即利用 pq与 p； q与 pq； 与 q的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法（3） 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件， N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件， M N 等价于 p 和 q 互为充要条件， M， N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件【触类旁通】【变式一】 【2018 河北唐山二模】设 ，则“ ”是“ ”为偶函数的 （ ）A充分而不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既
14、不充分也不必要条件【答案】C【解析】如果 为偶函数，则 ，所以 ，所以“ ”是“”为偶函数的充要条件故选 C【变式二】以 q为公比的等比数列 na中， 10，则“ 13a”是“ 1q”的（ ）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等比数列中，若 10a，则由 13a可得，21q，即 或 1q；若 ，则- 8 -有21q，所以，21aq，即 13a所以， “ 13a”是“ 1q”的必要而不充分条件故选 A考点 3 充分条件与必要条件的应用【3-1】给定两个命题 p， q，若 是 的必要而不充分条件，则 p是 q的 （ ）A充分不必要条件
15、B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 qp且 q可得 pq且 p，所以 是 q的充分不必要条件【3-2】 【2018 衡水信息卷一】已知 :函数 4xya在 R上单调递减， :12ma，若 p是 的必要不充分条件，则实数 m的取值范围为_【答案】 ,1【解析】当 为真时， 45a记集合 A |4a5， B|12a若 p是 q的必要不充分条件，则 B当 12m，即 1时， ；当 时， A等价于 4 25m，解得 综上所述，实 数 的取值范围为 ,1，故答案为 ,1【3-3】函数 2log,0xfa，有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )A 0aB 1 C
16、 12aD 0a或 1【答案】A【领悟技法】- 9 -充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解（2）要注意区间端点值的检验对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者） 【触类旁通】
17、【变式一】 【2018 河北衡水金卷四】设 p： 3402x， q： 2210xmx，若 是 q的必要不充分条件，则实数 m的取值范围为（ ）A , B 3, C 2,0,1 D 2,10,【答案】D【解析】设 p：3402x的解集为 A，所以 A=x|-2 x0 或 0 x2；设 q：21xm的解集为 B，所以 B=x|m x m+1，由题知 p 是 q 的必要不充分条件，即得 B 是 A 的真子集，所以有 010 21.12m或综合得 m 2,10,， 故选 D【变式二】 【2018 衡水金卷五】命题 p：若 0x，则 a；命题 q：若 2a，则sinxR恒成立若 的逆命题， q的逆否命题
18、都是真命题，则实数 的取值范围是_【答案】 0,1【解析】命题 p的逆命题：若 xa，则 0，故 a命题 q的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则 21， a，则实数 a的取值范围是 0,1- 10 -【易错试题常警惕】易错典例：已知不等式 1xm成立的充分不必要条件是 132x，则 m的取值范围是_易错分析， （1） “ 32x”是“ x”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必要条件；（2）从集合的角度看，若设 132Ax， 1Bxm，则 AB，学生容易看成 AB正确解析：由题意知： 132x是不等式| x m|1 成立的充分不必要条件所以132x是 m的真子集而 11xm，所以有12
19、，解得 43，所以 的取值范围是 4,23温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反 两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键【学科素养提升之思想方法篇】转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识
20、范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法转化与化归思想在本节中的应用主要是：（1）判断命题真假：原命题和其逆否命题同真同假，原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等【典例】已知命题 p：Error!命题 q：1 m x1 m， m0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为_【答案】9，)- 11 -【变式】已知 p： 2， q： x22 x1 m20( m0)， p是 q的必要不充分条件，|1x 13 |则实数 m 的取值范围为_思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化【答案】9，)【解析】 p是 q的必要不充分条件， q 是 p 的必要不充分条件即 p 是 q 的充分不必要条件，由 x22 x1 m20( m0)，得 1 m x1 m(m0) q 对应的集合为 x|1 m x1 m， m0设 M x|1 m x1 m， m0又由 2，得2 x10， p 对应的集合为 x|2 x10|1x 13 |设 N x|2 x10由 p 是 q 的充分不必要条件知， N M，Error!或Error!解得 m9实数 m 的取值范围为9，)
