1、1专题 04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的
2、得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.经典示例【例 1】（范围估算）已知135a，124b， 3ln5c，则这三个数从大到小的顺序是_【答案】 abc【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ,01,） ；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方
3、法，需要大家熟练掌握.【例 2】（极端值估算）函数 210xf的图象大致为2A B C D 【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例 3】（数值估算）已知实数 ,xy满足条件02xy，则目标函数 zxy从最小值连续变化到 1 时，所有满足条件
4、的点 ,构成的平面区域的面积为A 74 B 94C 92 D1【答案】A3方法二：四边形 ABCO的面积是OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比 1 大，比 SOAD 222 小，故选 C 项12【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出
5、，可以大致估算一下选出正确答案.【例 4】（推理估算）已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2.则此棱锥的体积是A 26 B 36C 3 D 2【答案】A【解析】方法一：易得 ABC 的面积为 34，而三棱锥的高一定小于球的直径 2，4【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的.拓展变式1已知 0.30.31.2,logabc，则 ,abc的大小关系为A c B aC D【答案】A【解析】因为 0.3,1a， 0.321b， 1.2log03c，所以 cab，故选 A【名师点睛
6、】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务. 2如图，把周长为 1的圆的圆心 C放在 y轴上，点 0,1A在圆上，一动点 M从 开始逆时针绕圆运动一周，记弧 AMx，直线 与 x轴交于点 Nt，则函数 tfx的图象大致为A B 5C D 【答案】D3如图，在多面体 ABCDFE 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF AB， EF= 23， EF 与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为A 29B5C6 D 21【答案】D【解析】依题意可计算 1363EABCDABCDV
7、Sh四 边 形 ，而 EABCDABCDFV多 面 体 6，观察各选项可知选 D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单.终极押题一、选择题1设集合2|ln(6)Axyx, ,04B,则 ABA 2,04 B 2C D ,1【答案】B 62已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 9， 71a，则数列 na的公差为A1 B2C3 D4【答案】C 【解析】依题意， 95591Sa，而 7a，故数列 na的公差为753a，故选 C 3已知复数 z满足10(i)42，则在复平面内复数 z对应的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四
8、象限【答案】B 【解析】由10(i)42z可得1045i(2i)iz，在复平面内复数 z对应的点为(5,1)，位于第二象限故选 B4在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (,3),5(1,2)AC，则向量 A与 CB的夹角的余弦值为A01B0C5D25【答案】B 【解析】依题意， (3,1)(4,)CAB，故 ,CAB的夹角的余弦值为310cos,|5B，故选 B5某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒； ；第六组，成绩大于等于 18
9、秒且小于等于 19 秒下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于 17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y，则从频率7分布直方图中可以分析出 x和 y分别为A0.9，45 B0.9，35 C0.1，35 D0.1，45【答案】B 6执行下面的程序框图，输出的结果为 A9 B18C27 D36【答案】C 87古代数学名著张丘建算经中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺） ，问能储存多少粟米？已知 1 斛米的体积约为 62.1立
10、方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A 410斛 B 420斛C 3斛 D 1斛【答案】D 【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714289V立方尺） ，又4162.7，所以粮仓可以储存的粟米约为 41斛，故选 D 8已知双曲线21(0,)xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过点 2且垂直于 x轴的直线与双9曲线交于 B， C两点，若 160BF，则该双曲线的离心率为A 2B 5C 3D 2【答案】C 【解析】不妨设点 B在 x轴的上方，易得点 B的坐标为2(,)bca，由 160BFC可得23tan0bc，即 230e，结合 1e，解得
11、3故选 C9已知函数 ()si)fx(, 2)， 12()0ffx,，若 12min|x，且3()2f，则 A5B43C 3 D【答案】B 10某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖” ）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖” ；乙说：“丁能中奖” ；丙说：“我或乙能中奖” ；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A甲 B乙C丙
12、D丁10【答案】A 【解析】由题意可知，若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；若乙中奖，则甲、丙、丁均预测正确，不符合题意；若丙中奖，则丙、丁预测正确，不符合题意；若丁中奖，则乙、丁预测正确，不符合题意.故选 A11已知正三棱锥的外接球的半径为 1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为A253916B916C8D32【答案】B 12已知 (0,)x， |lgxm恒成立，则实数 的取值范围为A le B (,lge(l) C (1, D 1【答案】B 【解析】当 x时， |lgxm可化为 lgx，则 min(lg)1x；当 01时， 可化为 ，即 l0恒成立，11令 ()lgfxm， 01
13、x，则lge()1fx，易知当 lgex时，函数 ()fx有极大值，也是最大值，故 a()(lge)ll)0ff，即 m(. 因为lgellnl1，所以实数 m 的取值范围为 (,lge(l)，故选 B二、填空题13261()x的展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】 0 【解析】由2661231 61C()()2()CrrrrrrTxx.令 04r，则常数项为64462()50.14已知 =fxg是定义在 R 上的偶函数，当 0x时， 2xga ，则不等式 1()3gx 的解集是 .【答案】 ,3（15已知实数 ,xy满足约束条件2,10,xy则3xy的取值范围为 .【答案】4,23【解析】依题意，1365322yxxyx.作出约束条件所表示的平面区域如下12图阴影部分所示（含边界）.yx表示平面区域内的点 (,)xy与定点 (0,)连线的斜率，观察可知，13yx，则25，所以5132yx，所以452yx，故3yx的取值范围为4,2.16已知第一象限内的点 M 与第四象限内的点 N 在焦点为 F 的抛物线2:(0)Cypx上，若,FN三点共线，且 2+3tan0ONS （ O为坐标原点） ，则抛物线 的方程为_.【答案】24yx你用了几分钟？有哪些问题？13
