1、1专题 05 数形结合法方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形” ，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、
2、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.（2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.（3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.（4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.（6）数列是一种特殊的函数，数
3、列的通项公式以及前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.（7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中.（8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的
4、本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，2我们一定要学好并应用好数形结合的方法.经典示例【例 1】（集合中的数形结合）已知集合 A=2(,)1xy， B=(,)xy，则 AB 中元素的个数为A3 B2C1 D0【答案】B【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.【例
5、 2】（函数中的数形结合）对任意实数 a， b 定义运算“”： ,1ba,设21()(4)fxx，若函数 yfxk恰有三个零点，则实数 k 的取值范围是A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)【答案】D【解析】由新定义可得24,(1)(4()xxf，即 24,3()1xf或 .其图象如图所示，所以由 yfxk恰有三个零点可得，1 k2，所以2 k1.故选 D.3【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题【例 3】（线性规划中的数形结合）不等式组 表示的平面区域的面积为 .106yx【答案】16【解析】画出不等式组061xy表示的平面区域，如图中阴
6、影部分所示，则阴影部分的面积为18462.【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键.【例 4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A 45 B 35C D4【答案】A【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为 x 轴和 y 轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.【例 5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线 C：21(0,)xyab的右顶点为
7、A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN=60，则 C 的离心率为_【答案】 23【解析】如图所示，作 APN，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、 N 两点，则 MN为双曲线的渐近线 byxa上的点，且 (,0)Aa， |ANb，5而 APMN，所以 30PA，点 (,)a到直线 byxa的距离 2|1bAPa，在 Rt 中， |cosN，代入计算得 23b，即 3b，由 22cab得 ，所以 3cbea【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：求解渐近
8、线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是 b；双曲线的顶点到渐近线的距离是 abc.【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口.拓展变式1 函数 f(x)=2xlg( x1) 2 的零点有A0 个 B1 个C2 个 D3 个【答案】B解法二：在同一坐标系中作出 h(x)=22x和 g(x)=lg(x 1)的图象，如图所示，6由图象可知 h(x)=22x和 g(x)=lg(x1)有且只有一个交点，即 f(x)=2xlg( x1) 2 与 x 轴有且只有一个交点，即函数 f(x)仅有一个零点2不等式组 表示的平面区域的
9、面积为 .106y【答案】16【解析】画出不等式组061xy表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为18462.73已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P为平面 ABC内一点，则 ()PABC的最小值是A 2B 32C 43D 1【答案】B【解析】如图，以 BC为 x轴， 的垂直平分线 A为 y轴， 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 (0,3)A， (1,0)B， (,)C，设 (,)Pxy，所以 (,3)Axy， (1,)PBxy，PCxy，所以 2，2()(3)(yxy 23)，当 3(0,)2时，所求的最小值为32，故选 B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通
10、常有两种思路：“形化” ，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化” ，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决终极押题一、选择题1已知集合 |(2)30Ax， |10Bx*N，则 ABIA ,23 B ,2C D 【答案】B 8【解析】依题意得， |23Ax， 1,2345,6789B，所以 ABI1,2，故选 B.2已知复数 z满足 (34i)1，则复数 z的虚部为A1i5B725C 2 D【答案】C 【解析】依题意得，1i(i)3
11、4i7i34)25z i25，所以复数 z的虚部为125，故选 C.3如图是半径分别为 1，2，3 的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为A14B13C 2 D2【答案】B4已知双曲线2:1(0,)xyCab的一条渐近线过圆2:460xy的圆心，则双曲线 的离心率为A132B329C13D3【答案】A 【解析】依题意得，圆2:460xy的圆心坐标为 (2,3)，代入双曲线的渐近线byxa中，得3ba，即3，所以1cbea，故选 A.5 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国
12、民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的， “诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有 153页，一位同学 9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第 5天所读的页数为A 24B 48C 6 D 96【答案】B 6已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 248 B45316210C 12 D34162【答案】D【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为 3，高为 4 的1圆锥与底面为直角边长为 3 的等腰直角三角形，高为 4 的三棱锥组成的组
13、合体，所以圆锥的母线长为 5，如图，在三棱锥 OBCP中，侧棱PO垂直于底面， 5PCB， 2，所以该几何体的表面积为21135344+ +461+22)3(53=3416，故选 D.7函数 ()2)cosxf在区间 ,上的图象大致为【答案】B 8已知 x， y满足约束条件135204xy，则目标函数 3zxy的最大值为11A 2 B4C75D6【答案】C【解析】由题画出可行域如图所示，可知直线 3zxy过点21,5A时，目标函数取得最大值，即 max75z，故选 C9执行如图所示的程序框图，若输入 1,3mn，输出的 x1.625，则空白判断框内应填的条件为A |nm1 B |n0.5C |
14、0.2 D |m0.1 【答案】C执行第 3 次， 2nmx= 47，031692x，否， 47n， |m= 41，因为 x=7不是输出结果，故不满足条件，循环，执行第 4 次， 2nx= 83，036492x，是， 813， |n=81，因为 x=3=1.62512是输出结果，所以结束循环，故应选 C.10在直三棱柱 1ABC中，侧棱长为 23，在底面 ABC 中， 60， 3AB，则此直三棱柱的外接球的表面积为A 43 B163C 16 D2【答案】C 【解析】设底面 ABC 的外接圆半径为 x，由正弦定理得322sinABxC，所以 1x，所以外接球半径2231()R，所以直三棱柱 1A
15、B的外接球的表面积为 24SR16.故选 C.【思路点晴】几何体底面常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体的长、宽、高分别为 abc、 、 ，则其体对角线长为22abc，长方体的外接球球心是其体对角线的中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别作这个面的垂线，交点即为球心.若三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且棱长分别为 ,abc，则其外接球半径221Rabc.11已知椭圆21(0)xyb的一个焦点为 F，该椭圆上有一点 A，满足 OF 是等边三角形（ O为坐标原点） ，则椭圆的离心率是A 31 B
16、23 C 2 D【答案】A 13【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 ,abc的方程或不等式，再根据 ,abc的关系消掉 b得到 ,ac的关系式.建立关于 ,abc的方程或不等式时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等12已知关于 x 的方程3|28|4xm有且仅有 2 个实数根，则实数 m 的取值范围为A (1,)B (,1)(,)UC D【答案】D 【解析】依题意得，3|28|4xmx，即3|4|2mx，故问题转化为函数3|4|yx与2myx的图象有两个交点.令3()f，则22()34()()fx，故当3(,)时，函数 ()fx单调递减，
17、当(,)x和3(+)，时，函数)fx单调递增，作出函数 的大致图象如图（1）所示，进而得到函数3|4|yx的大致图象如图（2）所示，又函数2myx的图象恒过点 (0,2)，当函数2m的图象与曲线3|4|yx相切时：设过第一、二、三象限的切线的切点为 0(,)xy，则易求得该切线方程为200()x，即3200(4)()yx，将 ,2代入，解得 01x，故切线斜率为 1，切线方程为 2，此时切线方程正好经过 (,)(如图（2）中虚线位置所示)；由对称性可知，过第一、二、四象限的切线的斜率为 1，所以1m或，解得 2m或142m，故选 D.二、填空题13已知函数2log(),1()0|3xaf，若
18、(0)2f，则 (2)af_. 【答案】10 【解析】由 (0)2f，得 2loga，解得 4，又由10()23f，所以 (2)af.14设 ,xyR，向量 ,)(1,)(2,6)xybc，且 ,acb，则 |+|b_【答案】 52 【解析】由题意得 20(,2)xxac ， 6203y c(1,3)b，所以2|+| 4105|+|babab5.【名师点晴】本题考查向量的基本运算，涉及方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中等难题.15已知圆 1C：2430xy，点 P为圆 2C：2410xy上且不在直线 12C上的任意一点，则 12P 的面积最大值为_【答案】 451516已知锐角三角形 ABC的外接圆半径为3BC，且 3A， 4C，则 B_.【答案】 13【解析】因为2sinRA（ 为锐角三角形 AB的外接圆半径） ，所以3sin2CAR因为A为锐角，所以 3，于是2234cos13C，所以 1B，故选 D你用了几分钟？有哪些问题？
