1、1古典概型【考点梳理】1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) .1n mn4古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数【考点突破】考点一、古典概型的概率【例 1】(
2、1)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A B C D13 12 23 56(2)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A B C D110 15 310 25(3)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.6 C0.8 D1答案 (1) C (2) D (3) B解析 (1)从 4 种颜色
3、的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中，余下 2 种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、2白紫红黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、黄紫红白、白紫红黄，共 4 种.故所求概率为 P .46 23(2)从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，故所求概率 P .1025 25(3)记 3 件合格品分别为 A1， A2， A3,2 件次品分别为 B1， B2，从 5 件产品中任取 2 件，有(A1， A2)，
4、( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，( A3， B2)，(B1， B2)，共 10 种可能其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型得所求事件概率为0.6.610【类题通法】1计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数 n；(2)计算事件 A 所包含的基本事件的个数 m；(3)代入公式求出概率 P.2用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏【对点训练】1如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数.从 1，2，3，
5、4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A B C D310 15 110 120答案 C解析 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所求概率为 .所以 3 个数构成一组勾股110数的概率 P .1102甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们3选择相同颜色运动服的概率为_.答案 13解析 甲、
6、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共 9 种.而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 3 种.所以所求概率 P .39 133从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( )A B C D15 25 825 925答案 B解析 设另外三名学生分别为丙、丁、戊.从 5 名学生中随机选出 2 人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共 10 种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(
7、甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4 种情形.故甲被选中的概率 P .410 25考点二、古典概型与统计的综合应用【例 2】某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 5376 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 6482 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要
8、求计算出具体值，给出结论即可)；4(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” 假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率.解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记 CA1表示事件：“A
9、地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ；CA2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意” ；CB1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” ；CB2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意” ；则 CA1与 CB1独立， CA2与 CB2独立， CB1与 CB2互斥，且 C CB1CA1 CB2CA2. P(C) P(CB1CA1 CB2CA2) P(CB1CA1) P(CB2CA2) P(CB1)P(CA1) P(CB2)P(CA2).又根据茎叶图知 P(CA1) ， P(CA2) ， P(CB1) ， P(CB2) .1620 420 1020 820因此 P(C) 0.4
10、8.1020 1620 820 420 1225【类题通法】51.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识2有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键【对点训练】某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 5
11、0,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频数 2 8 14 10 6(1)在图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分6满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解析 (1)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大记 CA表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意” ； CB表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6， P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大
