1、1专题 26 平面向量的数量积及应用本专题特别注意：1.平面向量数量积的模夹角公式的应用2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的 数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题【方法总结】1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量
2、数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：( ab)c a(bc)；消去律：ab ac b c； ab0 a0 或 b0，但满足交换律和分配律.2.公式 ab| a|b|cos ； ab x1x2 y1y2；| a|2 a2 x2 y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.ab x1y2 x2y10 与 a bx1x2 y1y20 要 区分清楚.【高考模拟】：一、单选题1已知 a， b， e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量
3、a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则2|ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】分析:先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结 MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最
4、终结果.详解：如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则 ，由题意可知：， ，3结合数量积的运算法则可得：.本题选择 C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用3如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐
5、标系，则 ， ， ， ，4点 在 上，则 ，设 ，则：，即 ，据此可得： ，且：， ，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得： ，结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的 几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的 应用4设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N 两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立
6、方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.5点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也 可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果 .5已知向量 ， 满足 ， ，则A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详
7、解：因为所以选 B.点睛：向量加减乘： 6已知平面向量 ， ，当 时， 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，在 OB 上取 ，在 AB 上取动点 C，使 ，则，则即可所求答案.详解：如图，在 中，已知 ， ，6在 OB 上取点 D，使得 ，在 AB 上有动点 C，使 （ ） ，则 ，.故选：C.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力.7设平面向量 ，则与 垂直的向量可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计
8、算能力8已知平面向量 ， 且 ，则 在 上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据平面向量垂直的条件（数量积为 0）求出 ，再利用平面向量的投影的概念进行求解7详解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，即 ，则 在 上的投影为点睛：本题考查平面向量垂直的判定、平面向量数量积的几何意义等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力9已知平面向量 ，满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得 ，然后求解向量的模即可.详解：由题意可得： ，且： ，即 ， ， ，由平面向量模的计算公式可得：.本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查平面向
9、量数量积的运算法则，平面向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10向量 ，对 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：将条件 平方可变形为 ，再由 ，可得。因为对 ，所以对 恒成立。由一元二次方程根与系数的关系可得 ，变形得 ，进而得 。因为 ，可变形为 ，进而得 。可得8。详解：由 可得 整理可得 。因为 ，所以 。因为对 ，所以对 恒成立。所以 ，即 。所以 。因为 ，所以 ，所以 。所以 。故选 C。 点睛：本题考查平面向量数量积公式及一元二次方程根与系数的关系。对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法由两种：一是对于未知量不做限制的题型，可以选
10、择直接运用判别式解答；二是未知量在区间上的题型，一般采取不等式组（开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值的正负）的方法解答。11设 ，向量 ， ， 且 ， 则 ( )A. 0 B. 1 C. 2 D. -2【答案】A【解析】分析：根据 的垂直关系，可求出 ；根据 的平行关系，可求出 ，进而求出 的值。点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。12已知两个非零向量 与 的夹角为锐角，则（ ）9A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据向量数量积可得结果.详解：因为 ，两个非零向量 与 的夹角为锐角，所以 ,选 A.点睛：求平面向量数量积有三
11、种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是利用数量积的几何意义.13在平面直角坐标系中,已知三点 , 为坐标原点若向量 与 在向量 方向上的投影相等,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先确定点 的轨迹方程，然后结合目标函数的几何意义即可求得最终结果.详解：因为向 量 与 在向量 方向上的投影相同,所以 ，即： ,整理可得 .即点 在直线 上.的最小值为原点到直线 的距离 的平方,因为 ，所以 的最小值为 .本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查平面向量投影的概念，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14命题 若向量 ，
12、则 与 的夹角为钝角；命题 若 ，则 .下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：命题 p：若向量 ，则 与 的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题 q：若coscos=1，则 cos=cos=1，因此 =2k 1，=2k 2，或 =（2k 11），=（2k 21），k 1，k 2N *可得 sin（+）=0即可判断出真假详解：命题 p：若向量 ，则 与 的夹角为钝角或平角，因此为假命题；10命题 q：若 coscos=1，则 cos=cos=1，因此 =2k 1，=2k 2，或 =（2k 11），=（2k 21），k 1，k 2N *则 sin（+）=0为真
13、命题下列命题为真命题的是 pq，其余为假命题故答案为：D点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量 ，则非零向量 与非零向量 的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时， ，不能说非零向量 与非零向量 的夹角为钝角.15已知平面向量 , 满足 , , 与 的夹角为 ,若 ,则实数 的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由 ，可得（ +m ） =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出详解: | |=3，| |=2， 与 的夹角为 120， = cos
14、120= =3（ +mb ） ，（ +m ） = =323m=0，解得 m=3故选：D点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题16在直角坐标系中,已知三点 , 为坐标原点,若向量 与 在向量 方向上的投影相等,且,则 =( )A. 6 B. -6 C. -5 D. 5【答案】D【解析】分析：由向量 与 在向量 方向的投影相等，可得 ， ，再利用,可得 ，两式联立可得结果.11点睛：本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解） ；（2）求投影
15、， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量的模（平方后需求 ）.17设向量 足 ， ， ，则 与 的夹角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先利用向量的数量积的运算律，化简求得 ，利用向量夹角余弦公式，求得对应角的余弦值，求得结果.详解：向量 满足 ， ，可得 ，所以 ，可求得 ，所以 ，因为向量夹角的取值范围是 ，所以 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关向量的夹角的大小问题，在求解的过程中，需要先求出向量夹角的余弦值，通过余弦值来确定角的大小，利用题的条件，求得向量的数量积，之后应用公式求得结果.1218已知向量 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D点
16、睛：点本题主要考查了向量的坐标表示及向量的数量积的运算和夹角的运算，其中熟记向量的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.19 外接圆的半径等于 1，其圆心 满足 ，则向量 在 方向上的投影等于（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】分析：由ABC 外接圆圆心 O 满足 ，可得点 O 在 BC 上由于 可得OAC是等边三角形可得 ，进而得到向量 在 方向上的投影= 详解：ABC 外接圆半径等于 1，其圆心 O 满足 ，点 O 在 BC 上，BAC=90OAC 是等边三角形ACB=60 = 向量 在 方向上的投影= = 故答案为：C13点睛：（1）本题主 要考查三角形的外接圆的
17、性质，考查向量的投影，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在 方向上的投影为20已知平面向量 ，满足 且 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：由满足 可得 ，再由 ，两边同时乘以 ，可得 ，则 = 即可得出答案.详解:由题可得 可得 ，故 = ，将两边同时乘以 ，可得 ，故 = = 故点睛：考查向量的几何关系，本题关键在于要理解 表示 的单位向量，再借助函数的思维求最值即可，属于中档题.21已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A14点睛：本题主要考查了向量的模的计算，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，熟
18、记向量的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力22已知向量 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析: 先根据向量夹角公式求解 ，即得结果.详解：因为 ，所以因此 等于 ，选 D.点睛：求平面向量夹角方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是几何方法，从图形判断角的大小.23已知 中， ， ， ， 为线段 上任意一点，则 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：建立平面直角坐标系，然后根据条件即可求出 A， C 点的坐标，表示 ，利用二次函数的图象与性质求值域即可.详解：以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴建系，则 ,，设 ,所以 ，故选：
19、D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是利15用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.24设平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）A. 是 的充分不必要条件 B. 与 的夹角为C. D. 与 的夹角为【答案】D【解析】分析：由平面向量 ，且 ，解得 ，此时 ，进而可判断选项，得到答案.详解：由题意，平面向量 ，且 ，所以 ，解得 ，此时所以 是 垂直的充要条件，所以选项 A 不正确；，所以 C 不正确；由 ，则 ，所以向量 与 的夹角为 ，则 ，所以 ，
20、故选 D.点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.25在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 是 和 的等差中项， ， ，则 周长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由 得 B 角是钝角，由等差中项定义得 A 为 60，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围详解： 是 和 的等差中项， ， ，又 ，则 ，从而 ， ，16 ， ，所以 的周长为 ，又 ， ， ， 故选 B点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把
21、三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围解题易错的是向量 的夹角是 B 角的外角，而不是 B 角，要特别注意向量夹角的定义26已知变量 ， 满足条件 则目标函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析： 画出可行域，将目标函数转化为向量 与 的夹角的余弦值，结合可行域可得结果.详解：作出 表示的可行域，如图变形目标函数，其中 为向量 与 的夹角，由图可知， 时 有最小值 ，17在 直线 上时， 有最大值 ，即 ， ，目标函数 的最大值为 ，故选 C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值
22、的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.27已知向量 与 为单位向量，若 也是单位向量，则向量 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：把 的长度为 1 用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得.详解：由题意 ， ， ，故选 A.点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础.向量数量积的定义： ；性质: ， .28已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在 方向
23、上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求 和 的夹角，再求向量 在 方向上的投影.详解:因为 ，所以所以所以向量 在 方向上的投影= 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 在 方向上的投影=29 中， ， ， ， 是 边上的一点（包括端点） ，则 的取值范围是（ 18）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用三点共线和平面向量基本定表示数量积，再利用一次函数的性质进行求解.详解：设 ，则，,则，因为 ，所以 ，即 的取值范围是 .点睛：本题考查平面向量基本定理、平面向量的数量积等知
24、识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.30等边 的边长为 1， 是边 的两个三等分点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先 为基底，把 用基底表示后再进行数量积的运算.详解：由已知 ，故选 A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.31已知两个向量 和 的夹角为 ， ，则向量 在 方向上的正射影的数量为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析: 根据向量数量积定义计算 ，结合向量投影的定义进行求解即可详解:19两个向量 和 的夹角为 ， ， ，向
25、量 在向量 方向上的正射影为 =故选：D点睛: 本题主要考查向量数量积的应用，利用向量投影的定义是解决本题的关键，属于基础题.32已知向量 、 、 为平面向量， ，且 使得 与 所成夹角为 .则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先由坐标结合几何意义确定向量 对应的轨迹，然后利用圆的性质整理计算即可求得最终结果.详解：设向量 与 的夹角为 ，由题意可得： ，则 ，如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，不妨认为 ， ，延长 到 ，使得 ，则 ，点 为平面直角坐标系中的点， ，则 ， ，则满足题意时， ，结合 为定点，且 ，由正弦定理： 可得 ，则点 C 的轨迹为以
26、 为圆心， 为半径的优弧上，当点 三点共线，即点 位于图中点 的位置时， 取得最大值，其最大值为 .本题选择 A 选项.20点睛：本题的核心是考查数量积的坐标运算和数形结合的数学思想.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用33向量 ， ， 满足： ， ， ，则 最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到 的夹角和 的夹角，再利用圆的性质进行求解详解：因为 ， ，所以 的夹角为 ，因为 ，所以 的夹角为 ；作 （如图 1、图 2 所示） ，
27、则 ，由图象，得 的最大值为 421图 1 图 2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定 的夹角和 的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解34已知向量 ， ， ，若满足 ， ，则向量 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据向量平行可得 ，根据向量垂直可得 ，解方程组即可得结果.详解： ，解得 ，故选 D.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用 解答.35设 ， ， .若 ，则实数 的值等于（ ）A. B.
28、 C. D. 【答案】C点睛：（1）本题主要考查平面向量的运算和向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 设 = , = ，则 | （斜乘相减等于零）.2236已知平面向量 与 的夹角为 ，若 ， ，则 （ ）A. 3 B. 4 C. D. 2【答案】A【解析】分析：根据题设条件 ，平方化简，得到关于 的方程，即可求解结果.详解：由题意， 且向量 与 的夹角为 ，由 ，则 ，整理得 ，解得 ，故选 A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.37已知向量 ， 满足 ， ， ，
29、则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据向量的模求向量 ， 数量积，再根据向量模的性质求 .详解：因为 ，所以因此选 A.点睛：平面向量数量的模求法：（1） （2） .38已知 中， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意， ，可得点 为 的重心，所以 ，利用向量的运算，即可求解 .详解：由题意， ，可得点 为 的重心，所以 ，所以 ，23所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点 为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.39已知向量 ，则 的夹
30、角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.40记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin 若平面向量 a， b， c 满足| a | b | ab c(a2 b2 c)2 则（ ）A. |a c|max B. |a c|maxC. |a c|min D. |a c|min【答案】A【解析】分析：由条件可设 ， ，由向量数量积的坐标表示可得 C 在以圆心 ，半径为的圆上运动，根据向量模长的几何意义以及圆的性质，运用最大值为 ，计算可得所求详解：根据题意，建立平
31、面直角坐标系，不妨取 ， ，则 ，设 ，由，得 ，即 对应点在以圆心为 ，半径为 的圆周上，且表示点 A 与点 C的距离，则 ，故选 A.24点睛：此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.二、填空题41在平面直角坐标系 中， A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根
32、据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设 ，则由圆心 为 中点得 易得 ，与 联立解得点 D 的横坐标 所以 .所以 ，由 得 或 ，因为 ，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.42设向量 a=（1,0） ， b=（1, m）,若 ，则 m=_.【答案】【解析】分析：根据 坐标表示出 ，再根据 ，得坐标关系，解方程即可.详解： ，由 得： ，即 .点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时
33、，常常用到以下：设 ，则； .43已知向量 ， ， ，若向量 与 共线，则向量 在向量 方向上的投影为_【答案】 . 25【解析】试题分析：根据向量共线求出 ，计算 ，代入投影公式即可详解：向量 =（1，） ， =（3，1） ，向量 2 =（1，21） ，向量 2 与 =（1，2）共线，21=2，即 = 向量 =（1， ） ，向量 在向量 方向上的投影为| |cos ， = 故答案为：0点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。44已
34、知点 为单位圆 上的动点，点 为坐标原点，点 在直线 上，则 的最小值为_【答案】2.【解析】分析：题设的 都是动点，故可设 ， ，从而 可表示关于 的函数，求出函数的最小值即可26点睛：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量45平行四边形 中， ， 是平行四边形 内一点
35、，且 ，若，则 的最大值为_【答案】2.【解析】分析：根据 ，利用 ，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出 的最大值.详解：因为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时， 取得最大值 2，故答案是 2.点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用.2746已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 _【答案】【解析】分析：把 平方即可.解析：根据题意，平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 .，则有 .故答案为： .点睛：求向量的模的方法（1）公
36、式法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运算（2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解47已知 ，设 与 的夹角为 ，则 等于_【答案】【解析】分析：根据向量数量积的定义以及向量夹角公式进行求解即可.详解：由 ，得 ，即 ，则 ，则 ，故答案为 .点睛：本题主要考查向量数量积的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，先求出的值，利用夹角公式求解即可.（此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则;(4)求向量 的模（平方
37、后需求 ）.48已知向量 ， ， ，若 ，则 的夹角大小为_.【答案】12028【解析】分析：先设 与 的夹角为 ，根据题意，易得 ，将其代入 中易得 ，进而由数量积的运算，可得 的值，从而可得答案.解析：设 与 的夹角为 ，则 ，.，。.故答案为： .点睛：要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的49在 中，三顶点的坐标分别为 ， ， 为以 为直角顶点的直角三角形，则_【答案】3点睛：（1）本题主要考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力.(2)本题是一道易错题，容易填 t=3，解答出双答案后，一定要注意检验，看是否与已知的每一个条件都相符.50已知向量 ，若 ，则 _29【答案】【解析】分析：利用向量共线定理即可得出详解： ， ，1-2（1+m）=0，解得 m= 则 .故答案为：点睛：（1）本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.(2) 如果 = , = ，则 | 的充要条件是 .
