1、1专题 27 平面向量的应用本专题特别注意：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题 5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解
2、决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积 ab0，尽
3、量用坐标运算.【高考模拟】：一、单选题1在直角梯形 中， ，同一平面内的两个动点 满足 ，则 的取值范围2为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意 ，得点 是以点 为圆心，半径为 1 的圆上的一个动点，点 是 的中点，取 的中点 ，连接 ，利用三点共线时取得最值，即可求解.当点 在 之间时， 取最大值， ，从而的 的取值范围是 ，故选 B.点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把 ，得点 是以点 为圆心，半径为 1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.2在 ABC中， 边上的中线 AD
4、的长为 2，点 P是 ABC所在平面上的任意一点，则P的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点 D 在原点处，点 A 在 y 轴上，则 0,23设点 P 的坐标为 ,xy，则 ,2,PAxyPOxy，故 2ABCB221xy，当且仅当 0,1xy时等号成立所以 P的最小值为 2选 C3设 A、 B、 C、 D是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 0ABC， 0AD， 0，用 1S、 2、 3分别表示 AB、 D、 的面积，则 123S的最大值是（ ）A. 12 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】设 ABa
5、， Cb， ADc 0， 0， 0B ， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即 224abcR 1S、 2、 3分别表示 AC、 、 A的面积 221abcabc，当且仅当 abc时取等号 123的最大值是 2故选 B点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键4已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是( )4A. 2 B. C. D. 1【答案】B【解析】分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.详解：建立
6、如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 ，设 ，则 ，则 ，当 时，取得最小值 .故选：B.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义5已知 是 内部一点， ， 且 ，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 可知点 O 是 的重心， ， ，所以， = ，选 A.【点睛】在 中，给出 ，即已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点） ，重心分中线为比 2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积。6已知 ,ABC是圆 2:1Oxy上的动点，且 ACB，若点 M的坐标是 1,，则 AMBC的最大值为5A. 3 B.
7、 4 C. 321 D. 321【答案】D【点睛】本题考查圆的标准方程、圆的性质、向量的模、两直线的垂直关系，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型. 首先由 ACB 可得 为圆的直径，再由圆的性质等价转化为MOAMBC2OM2C ，当 M与过圆心 O 时最大，此时 为 2,， 11， 3217设数列 nx的各项都为正数且 1x. 内的点 *nPN均满足 nPAB与 n的面积比为 :，若 120nnPABPC，则 4的值为( )A. 15 B. 17 C. 29 D. 31【答案】A【解析】由 1210nnnPAx
8、BxPC得 1212nnnAxPCxB，设 D以线段 n、 作出平行四边形 nED ，如图，6则 11,22nnnnPEPADExB，1PnAEBSx， 1nnCAx ,12PnACnDEnSx 则 PnAnB 即 1122nnnxx， （ ） ， 则 1nx 构成以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以346，所以 45； 故选 A8若 O为 ABC所在平面内任一点，且满足 0OBCOA，则 BC的形状为（ ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】由题 22 0OBCOACBABCABC则A三角形为等腰三角形故本题答案选 9已知在三角
9、形 A中， ,90，边 ,的长分别为方程21340xx的两个实数根，若斜边 B上有异于端点的 ,EF两点，且 1,EAF，则tan的取值范围为 （ ）A. ,31 B. 3,9 C. 34,91 D. 32,91【答案】C【解析】有题可知 22AC3, 4BBAC， .建立如图所示的坐标系，有点 0,03.设 31(,44BFE，则 332 ,2,FE.7所以 2332 ,2,4 313AEFA22116436,984.因为点 A到 BC边的距离 d3ABC，所以 EF的面积 1S2AEF为定值.所以 12AEFsintacoA，故 2343,91AEFStn，故选 C.10如图，正方形 BC
10、D中， M、 N分别是 BC、 D的 中点，若 CMBN，则 （ ）A. 2 B. 83 C. 65 D. 8【答案】D【解析】试题分析：取向量 ,ABC作为一组基底，则有1122AMBNBCA，所以 12C BC 又 ，所以 1,12，即 68,55.11已知对任意平面向量 ABxy，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量cosin,scosAPxy，叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 P.设平面内曲线 C上8的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 4后得到点的轨迹是曲线 2xy，则原来曲线 C的方程是（ ）A. 1xy B. 1xy C. 2yx D. 1【答案】A12若四边形 满足
11、则该四边形一定是（ ）A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 直角梯形【答案】A【解析】分析：首先由 得到四边形为平行四边形，再由 得到四边形为菱形.详解：因为 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形；又因为 ，所以 ，所以所以平行四边形 为菱形.点睛：本题考查平面向量的应用等知识，意在考查学生的理解、分析能力.13平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知（ 20BDCABC，则ABC 的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定【答案】C点睛：根据向量条件判断三角形的性质问题，一般都是转化为垂直，相等，角平分线等信息，进而判断形状，9当三角形中涉及的向量
12、较多时，可以都统一用一组基底表示，简化运算.14已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足,0,P，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC的（ ）A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【答案】D【解析】 AB、 C分别表示向量 AB、 C方向上的单位向量， + 的方向与BAC 的角平分线重合，又 ABCOP可得到 OP A=（ B+ AC）向量的方向与BAC 的角平分线重合，一定通过ABC 的内心故选：D15已知 O是平面内一点，且 22OABC，则 O一定是 ABC的（ ）A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心【答案】B【解析】若 22ABC，
13、则 22|， O，则 O 是ABC 的外心.本题选择 B 选项.16已知正三角形 ABC 的边长为 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 |1A， PMC，则 2|B的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：如图可得 120, 2ADCBCDABC.以 D为 原点，直线DA为 x轴建立平面直角坐标系，则 2,0,3.设 ,Pxy由已知 1AP，得1021xy，又 1313,22xyxyPMCBM22213|4xyBM，它表示圆 21xy上的点 ,xy与点 1,3的距离的平方的 14，222max 491，故选 B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛
14、】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量 模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 120ADCBC，且2DABC，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 ,的坐标，同时动点 P的轨迹是圆，则2134xyM，因此可用圆的性质得出最值因此本题又考查了数形结合的数学思想17如图，矩形 ABCD中， 2， 1A， P是对角线 AC上一点， 25PAC，过点 的直线分别交D的延长线， , 于 NE,.若 DmM， nN)0,(m，则 n3的最小值是（ ）A 56 B 12 C 54 D 58【答案】C11【解析】试题分析：2325
15、5APCDAC,设 DPxMyN,则 1xy，又 DPmxAynC,所以33, 1mxnymn，因此29419422()()()(2)555nmnm，当且仅当 3n时取等号，选 C.考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18平面向量的集合 A到 的映射 f由 ()2()xa确定，其中 a为常向量若映射 f满足()xyf对任意 x、 y恒成立，则 的坐标可能是A 51,2B 2(,)4
16、 C 31(,)4 D 3(,)2【答案】 D考点：向量的运算【方法点睛】本题考查了向量的运算和任意性的问题，属于中档题型，如果给了一个抽象的式子，并且是对任意实数都成立时，那么就要考虑赋值法了，有时令其中一个变量为特殊值，或是本题，令 xy，这样就达到减少变量的目的了，代入条件后就是一道向量运算的问题了，当然向量的数量积运算也要过关.19已知 O是 ABC所在平面上一点，满足 222|OABCA，则点 O ( )A. 在过点 与 垂直的直线上 B. 在 的平分线所在直线上C. 在过点 边 的中线所在直线上 D. 以上都不对12【答案】A【解析】由 222|OABCA得， 222|OBCA，2
17、()()B()()()BC 20AOCOAAOB AOC故选 A.点睛：（1）向量的加法运算，有两个运算法则，一个是三角形法则，一个是平行四边形法则，三角形法则是要求首尾相接，起点指向终点即可；平行四边形法则要求两向量共起点；（2）向量的减法运算要求，共起点，连终点，箭头指被减.20在 中，角 所对的边分别为 ， 为 的外心， 为 边上的中点， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】D 是 BC 的中点， ，即 ， =（ ） = + =6，又 =（ ）（ ）= （ ）= （b 216） ，6= （b 216） ，解得 b=2，sinC+sinA4sinB=0，c+a4b=0
18、，a=4bc=4，由余弦定理得 cosA= = 故选 C点睛：本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合13到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，利用这个性质很多问题都可以迎刃而解.21若向量 (1,2)(,)(4,2)abc，则下列说法中错误的是（ ）A b B向量与向量 c的夹角为 09 C /D对同一平面内的任意向量 d，都存在一对实数 12,k，使得 12dkbc【答案】D【解析】试题分析： 12()0ab，A 正确； 1(4)2()0ac，B 正确； 2cb，C 正确；因此 D 错误，故选 D考点：向量的垂直，向量的共 线，平面向量基本
19、定理22设 M为平行四边形 BC对角线的交点， O为平行四边形 ACD所在平面内任意一点，则OAB等于( )A. B. 2 C. 3MD. 4【答案】D【解析】试题分析：由题可知 2,2OBDAOCM， 4AOBCDM考点：平面向量的加法23已知 OA与 不共线,若点 C满足 B,点 的轨迹是（ ）A直线 B圆 C抛物线 D以上都不对【答案】A【解析】试题分析：不妨设 ,OAB是两个相互垂直的单位向量，设 ,0,1,0CxyOAB，由2C，得 2xy，消去参数得 2，故轨迹为直线.考点：向量运算、圆锥曲线定义24已知圆 2:1x，点 0(,)Px是直线 :340lxy上的动点，若在圆 C上总存
20、在两个不同的点14,AB，使 OP，则 0x的取值范围是A 24(0)13 B 24(,)13 C 13(,)24 D 13(0,)2【答案】A【解析】试题分析：如图， OABP； O与 AB互相垂直平分；圆心到直线 AB的距离 120yx； 420yx；又 04230yx； 023xy，代入得： 423020x；解得 340； 0的取值范围是 (,)1故选：A考点：平面向量的基本定理及其意义.【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式 的解法，属中档题；根据条件可画出图形，根据图形便可看出 OP的中点在圆内，从而可得到圆心到直线
21、的距离小于半径即 120yx，这样联立 04230yx，转化为关于 0x的一元二次不等式，即可得出 0x的取值范围25点 在 所在平面内，且分别满足 ， ,则点 依次是 的（ ）A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，垂心，内心【答案】B15【解析】分析：由三角形五心的性质即可判断出答案详解：因为,取 AB 的中点 D， ,C，O，D 三点共线，即 O 为ABC 的中线 CD 上的点，且0C=20DO 为ABC 的重心因为 ，所以 PA=PB=PC,故 P 为外心.因为 ，同理可得：MABC,MCAB，所以为垂心.故选 B.点睛：本题考查了三角形五心
22、的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题26如图，在空间四边形 中， 分别是 的中点，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：考点：向量加法的三角形法则二、填空题27已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上一点，若 的延长线交 轴的正半轴于点 ，交抛物线 的准线 于点 ，且 ，则 =_【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可详解：画出图形如下图所示由题意得抛物线的焦点 ，准线为 16设抛物线的准线与 y 轴的交点为 ，过 M 作准线的垂线，垂足为 ，交 x 轴于点 由题意得 ，又 ，即 为 的中点， ， ， 又 ，即 ，解得 点睛：解
23、答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果28已知在直角梯形 中， ， ，若点 在线段 上，则 的取值范围为_【答案】【解析】分析：建立平面直角坐标系，把问题代数化，利用二次函数的图象与性质求范围即可.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ,设 ，则 ，故 ，则 ，17当 时， 取得最大值为 ，当 时， 取得最小值为 ，故答案为：点睛：处理平面向量问题常用手段有：（1）建立平面坐标系，转化为代数问题；（2）利用平面向量的几何意义即几何法处理问题；（3）利用基底思想处
24、理问题.29已知腰长为 2 的等腰直角 中， 为斜边 的中点，点 为该平面内一动点，若 ，则的最小值为_【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系， ,，当 sin 时，得到最小值为故答案为：30设双曲线 C： 21(0,)xyab的左焦点为 1F，过 的左焦点作 x 轴的垂线交双曲线 C 于 M， N 两点，其中 M 位于第二象限， B（0，b） ，若 MN是锐角，则双曲线 C 的离心率的取值范围是_.【答案】 2,【解析】由题意得22,caa，22,0,bbMBcN 是锐角，18220bMBNa，整理得 222cbaea故双曲线 C 的离心率的取值范围是 ,答案： 2,点睛：求双曲线的离心率时
25、，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 ,abc的方程或不等式，利用22bca 和 ce转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围31已知| |=|b|=2， a与 的夹角为 60，则 a+b在 方向上的投影为 _ 【答案】3【解析】| |=| |=2， 与 b的夹角为 60 cos602ab 2a a+b在 方向上的投影为 3b，故答案为 332设 1,2OAB， 0OA， POAB，且 1，则 OA在 P上的投影的取值范围是 .【答案】 5,【解析】试题分析：设 OA在 P上的投影为2222, 4OAPAOBx 22258441.当 0时 ；当 0
26、时 214851x，故当191时， x取最小值为 ，即 1x， 01x；当 0时， 2214851x45， ；综上可得 5,.考点：平面向量数量积的运算.【易错点睛】由条件可得 的值，可得 OA在 P上的投影为 ，分类讨论，求得的范围，要得 的取值范围.本题的考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是关键，是中档题.33在 ABC中， 3,2,60A， AGmBC，则 AG的最小值为_ ， 又若G，则 m_.【答案】 1634已知 O为 ABC的外心，且 OBAC.若 90，则 _；若 6，则 的最大值为_【答案】 12 3【解
27、析】若 90C，则 O为 AB边的中点, 12OBA,即 1,02,故填 12; 设 ABC的三边长分别为 a,b,c,因为 为 的外心，且 C,所以 2,即20221caca,化简得: 12cac,解得: 23ac, 则4433ca,故填 3.35如图，在直角梯形 中， ，若 分别是线段 和 上的动点，则 的取值范围是 _【答案】【解析】以 AB 为 x 轴，BC 为 y 轴建立直角坐标系，则 A(-3,0),C(0,2),设 F(0,m)，E(n，2)故 =2m-3n-4，由图可知： ，所以 2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据
28、题意范围求解结果36已知单位向量 满足 ，向量 使得 ，则 的最小值为_， 的最大值为_【答案】 【解析】分析：建立平面直角坐标系，利用数形结合将问题转化为数的运算来处理详解：设 ，建立如图所示的平面直角坐标系，则点 A,B 的坐标分别为 设 ，则 ，21整理得 ，点 C 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆 表示圆上的点到原点的距离， 的最小值为 又 ，表示圆上的点的横坐标，结合图形可得 的最大值为 故答案为 ， 点睛：数量积的运算有两种方式，一是用定义运算，二是用坐标运算向量的坐标运算实质上就是数的运算，同时借助数形结合使运算变得简单、直观形象，这点要通过建立平面直角坐标系来实现37已知椭圆
29、， 为其左、右焦点, 为椭圆 上除长轴端点外的任一点， 为 内一点，满足 , 的内心为 ，且有 （其中 为实数） ，则椭圆 的离心率 =_【答案】【解析】分析：由题意得 为 的重心，设 ，由重心坐标公式可得 的纵坐标，由 可得内心 的纵坐标与 相同，然后利用 的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立 的等式，从而可得离心率详解：设 ， ， ， G 为 的重心， G 点坐标为 ， 轴，22 I 的纵坐标为 在 中， ， 又 I 为 的内心， I 的纵坐标 即为内切圆半径由于 I 把 分为三个底分别为 的三边，高为内切圆半径 的小三角形， ，即 ， ，椭圆 C 的离心率 点睛：解答本题
30、时注意两点：（1）读懂向量式的含义，正确地将向量式转化为几何关系，这是解题的基础 （2）求椭圆的离心率时，要把条件中给出的几何关系转化为关于 的 等式或不等式，通过解方程或不等式可得离心率或其范围38已知向量 满足 ， ， ， ，则的最大值是_.【答案】23点睛：此题主要考查向量数量积、加减法则及其几何意，以及坐标法、数形结合法在解决此类问题中的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类 问题中，根据所给条件，建立合理科学的平面直角坐标系，将向量问题转化为解析几何问题，通坐标的运算，再将结论翻译为向量结果，从而问题可得解.39若点 O 在 ABC内，且满足 2690B
31、ACO，设 BOCS为 的面积， ABCS为 的面积，则 BCAS_.【答案】 29【解析】由 690OC，可得： 2OAB6CO92A4OB3C延长 OA，OB，OC，使 OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC，如图所示：2 OA+3 B+4 C=0， DEF，24即 O 是DEF 的重心，故DOE ，EOF，DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为 1，则AOB 的面积为 8，BOC 的面积为 12，AOC 的面积为 16，故三角形AOB，BOC，AOC 的面积之比依次为： 8： 2： =3：2：4，29BOCAS.故答案为： 点睛：本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平
32、面向量在几何中的应用，注意重要结论：点 O 在 ABC内，且满足 OAnBt0mC， nt0m， ， 则三角形AOB，BOC，AOC 的面积之比依次为： t： ： .40有下列命题：等比数列 中，前 n 项和为 ，公比为 ，则 ， ， 仍然是等比数列,其公比为 ；一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm，则球的体积是 cm3；若数列 是正项数列，且 ，则 ；在 中， D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，则 的取值范围是 .其中正确命题的序号是_（填番号）【答案】【解析】错, , ,不符合等比数列. ,= . 中 n 用 n-1 代得 ,两式做差得 , ,符合. ,所以 .如下图建立
33、平面直角坐标系25, , , ,所以 ,符合.填.41已知 1 0 1 OABxyOAB， ， ， ， ， .若 012时， 0 xyzmn， 的最大值为 2，则 mn的最小值为 .【答案】56【解析】试题分析： (,),xyOABxy，所以 012xy，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线xyzmn斜率小于零知直线zmn过点 (3,2)取最大值，即3mn，因此32()1321325(5)(5)6mn，当且仅当2时取等号考点：线性规划，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的
34、另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.42在下列五个命题中：已知大小分别为 1N与 2的两个力，要使合力大小恰为 6N，则它们的夹角为 3;已知 5， 7，则 sinco；若 A,B,C 是斜 ABC的三个内角，则恒有 tantatnatABCAB成立； 001sin13ta2计 算 式 子 的 结 果 是 ；已知 3coix（ ） x且 （ ， ） ，则 x的大小为 3;其中错误的命题有_.（写出所有错误命题的序号）【答案】【解析】由三角形法则 11422F，不符。5coscsinsi7不符。 tantan1BCA，所以26tanABtanCAtaBn
35、成立，对。 00sin513tan 0 00 00si61co66isi5si5coco= 0 00 0 0inssin1i insc，错。23coicos,3ta2xxx或 os2，所以 23x或 ，错 。填。43如图，在 中， 为线段 上靠近 点的四等分点，若 ，则 ABCNACBCAmP10)(m【答案】 35【解析】试题分析：由已知, , ,又 ，所以14ANC4BANABBCAmP10)(，由于 三点共线，所以 12()()05APmBm 23,5m考点：1向量减法；2平面向量基本定理；3三点共线的条件【易错点晴】本题主要考查了平面向量基本定理,三点共线的条件,属于中档题由已知条件得
36、出 ,14ANC代入已知式子 ,化简得 ,根据三点共线的条件:若 三点为BCAP10)( 25APBN,B直线 上的点,点 为直线 外一点，且 ,则 这样得出 lOlOmn12315m44设 为单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是_ab， c|()|ab|c【答案】 227考点：1、平面向量模的运算性质；2、平面向量的运算45已知圆 ： 分别交 轴正半轴及 轴负半轴于 、 两点，点 为圆 上任意一点，则 的最大值为_【答案】【解析】分析：利用向量的数量积及三角函数性质的应用，即可求解.详解：令 ，得 ，解得 ，取 ，令 ，得 ，解得 ，取 ，设点 ，则，当 时，此时 取得最大值，最大值为
37、.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角函数性质的应用，解答中根据向量的数量积的运算，得到向量数量积的表达式，再利用三角函数的基本性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.46已知命题：“平面内 OA与 B是一组不平行向量，且 1,OABO，则任一非零向量 OP，1212,OPR，若点 P在过点 （不与 重合）的直线 l上，则 12k（定值） ，反之也成立，我们称直线 l为以 A与 B为基底的等商线，其中定值 k为直线 l的等商比 ”为真命题，则下列结论中成立的是_ _（填上所有真命题的序号） 当 1k时，直线 l经过线段 中点；当 时，直线 与 的延长线相交；当 时，直线 l与 AB平行； 12l时，对应的等商比满足 12k；28直线 1l与 2的夹角记为 2对应的等商比为 1k、 2，则 12tank；【答案】【解析】试题分析：等商比的意义为该直线斜率的倒数，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，由此可知 :1,(0),1AByxB，直线 ly： 经过线段 AB中点1(,)2；当1k时，直线 l与 的延长线相交;当 k时，直线 x： 与 平行； 1l时，对应的等商比满足 12k；由直线夹角公式得1212tank考点：新定义
