1、1专题 17 定积分与微积分基本原理本专题特别注意：1.数形结合求定积分2.分段求定积分3.定积分的几何意义4.含绝对值的定积分求法5.定积分与二项式定理的联系6.定积分与导数的联系7.分段函数定积分的求法8.定积分与概率的联系方法总结：1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案
2、.高考模拟：一、单选题1直线 过抛物线 ： 的焦点且与 轴垂直，则直线 与 所围成的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解详解：由题意，得直线 的方程为 ，将 化为 ，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为2点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力2已知二项式 的展 开式中 的系数为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B由题意得 ，解得 所以 故选 B3点睛：解答本题时注意两点：正确写出二项展开式的通项，然后解方程得到 的值；
3、求定积分时要正确得到被积函数的原函数，并准确求出函数值3设 ，则 的展开式中常数项是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得 ，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解4若函数 的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积详解：由图可知， ， ，即 . ，则 .4图中的阴影部分面积为故选 C.点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关
4、键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解定积分的计算一般有三个方法：利用微积分基本定理求原函数；利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为 0.5设 ,在区间 上随机产生 10000 个随机数，构成 5000 个数对 ，记满足的数对 的个数为 ,则 估计值约为( )A. 3333 B. 3000 C. 2000 D. 1667【答案】A【解析】分析：设事件 为“ 上随机产生数对 ，满足 ”，则总的基本事件为 ，对应的测度为正方形的面积 1，而随机事件 对应的测度为为曲边梯形 的面积，它可利用定积分来计算.详解：满足 是在曲线 、 所围成的区
5、域内（含边界） ，又该区域的面积为 ，故 的估计值为 ， ，故选 A.点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.56已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B7已知 ，在 的展开式中，记 的系数为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以，由已知有 指 的系数， 指 的系数，所以，选 A. 8已知 ， 是以 为周期的奇函数，且定义域为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】可知 的周期为，6故选9用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是A. B. C. D. 【答案】D10已知曲线 和直线 所围成图形的面积是 ，则 的展开式中
6、 项的系数为（ ）A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为 = 故答案为：D. 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项 式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还7是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.1110xdA. 2 B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】 11200 1| 02xdxx.故选 A.12已知函数 fx在 R上可导，且 3410fxff，则 1fxd（ ）A. 1 B. C. 394 D. 【答案】C13已知物体运动的速度与事件
7、的关系式为 49vt，则落体从 0t到 5所走的路程为（ ）A. 1 B. 5 C. 104 D. 2【答案】B【解析】由积分的物理意义可知运动从 t=0 到 t=5 所走的路程为 5250049|4tdt，故选：B14定积分 102xd的值为( )8A. 4 B. 2 C. D. 2【答案】A【解析】 2,1yxxy表示以 1,0为圆心，以 1为半径的圆， 定积分102xd等于该圆的面积的四分之一， 定积分 024xd，故选 A.15设函数 f(x)= 2,0x1, 则定积分20f(x)dx 等于( )A. 83 B. 2 C. 43 D. 【答案】C【解析】 21231200014|fxd
8、dx，故选 C.16如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC中任取一点 P，则点 恰好取自阴影部的概率（ ）A. 15 B. 3 C. 14 D. 6【答案】C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何 概型求解9(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率17若 的展开式中含有常数项，且 的最小值为 ，则A. B. C.
9、D. 【答案】C【解析】 展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以 ，即 为整数，故 n 的最小值为 5所以 .故选 C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.18若 120fxfxd,则 10fx（ ）A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B考点：定积分1019已知 ，则 展开式中 的系数为（ ）A. 24 B. 32 C. 44 D. 56【答案】A【解析】 , 中 系数为 .故选 .20
10、如图所示，若程序框图输出的所有实数对 所对应的点都在函数 的图象上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B1121如图，在由 0x， y， 2x，及 cosyx围成区域内任取一点，则该点落在 0x， sinyx及cosy围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A. 21 B. 1 C. 32 D. 21【答案】D12故选：D. 22已知函数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， 的几何意义是以原点为圆心，半径为 的圆的面积的 ，故 ，故选 D.二、填空题23已知定义在 上的函数 与 ，若函数 为偶函数，函数 为奇函数，且 ，则_【答案】12.【解析】分析：根据定积分
11、的几何意义和函数的奇偶性求解详解：函数 为偶函数，函数 为奇函数，13函数 的图象关于 y 轴对称，函数 的图象关于原点对称 ， ， 点睛：定积分 的几何意义是表示曲线 以下、x 轴以上和直线 之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负24若 ，则在 的展开式中， 的系数是_ (用数字作答）【答案】84点睛：本题考 点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开 式特殊项问题的方法25已知椭圆的焦点为 ， ，其中 ，直线 与椭圆相切于第一象限的点 ，且与 ，轴分别交于点 ， ，设 为坐标原点，当 的面积最小时， ，则此椭圆的方程为_【答案】【解析】分析：先根据定积分
12、求出 c ，由题意，切线方程为 利用基本不等式，结合 （ 为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出14，问题得以解决详解：由椭圆的焦点为 ，可设椭圆的方程为 直线与椭圆相切，则切线方程为 点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题26已知 展开式中的常数项为 60，则 _【答案】4.15【解析】分析： 的通项公式为 ，令 ， ，于是，利用微积分定理求解即可.详解： 的通项公式为 ，令 ， ，故答案为 .点睛：本题主要考查定积分以及二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是
13、高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.27已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为_【答案】-160点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能16力和基本运算能力.28若 （其中 ） ，则 的展开式中 的系数为_【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得 ，可得二项展开式通项为 令得 进而可得结果.详解：因为 ，所以 ， 展开式的通项为令 得所以，
14、的展开式中 的系数为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.29已知抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线 与直线 所围成的封闭图形的面积为_【答案】30已知 ，则二项式 展开式中的常数项是_ _【答案】17【解析】 ，展开式通项为 ，令 ， ，常数项为 故答案为 24031已知函数 是定义在 上的奇函数，则 _【答案】【解
15、析】 32欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺 让人叹为观止.若铜钱是直径为 02sinbxdcm的圆面，中间有边长为1204axd的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为 0.2 的球）正好落入孔中的概率是_【答案】 14【解析】因为直径为 002sindcos|4bxx的圆中有边长为12044d1ax的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为2SP正 方 形圆.33已知函数 21,0 xxf，则 1fxd_【答案】 431218点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1
16、）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为 034若 2sin18axd，则 a_【答案】3【解析】 332 2sincos18aaxxd ， 327a ，则 3a.35若126tam，且 201mmxx，则220211a 的值为_【答案】119点睛：求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为 1，1.36如图所示，在平面直角坐标系内，四边形 ABCD为正方形且点 坐标为 ,2.抛物线 的顶点
17、在原点，关于 x轴对称，且过点 C.在正方形 内随机取一点 M，则点 在阴影区域内的概率为_【答案】 23【解析】由抛物线 的顶点在原点，关于 x轴对称，且过点 1,2C，所以抛物线方程为 214yx，阴影区域的面积为132012d| 0x，正方形的面积为 1，点 M在阴影区域内的概率为 .故答案为： 32037计算20sinxd_【答案】4【解析】由题意得， 20sinxdcos0cos24 38如图，在长方形 OABC内任取一点 P，则点 落在阴影部分内的概率为_【答案】 312e 【解析】将 ,代入 xya ，得 e ，所以阴影部分面积为10312xede， 矩形面积为 e ，所以点 P
18、 落在阴影部分内的概率为321e，故答案为 31e .39如图所示，由直线 ,(0)xa， 2yx及 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即 122ad类比之，若对 nN，不等式 1412kknn kknn恒成立，则实数 k等于_21【答案】240已知函数 2sin1fxx，则 1fxd_；【答案】 2【解析】 11112 2sinsinfxdxdxxd，而11sinco|0， 12表示半圆 20y的面积，即12xd，则1112ifxdxdx.点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法：(1)利用微积分基本定理求解，即找出函数 fx的原函数 Fx
19、进行求解，即|bbaafxdFFa；(2)利用函数的几何意义进行求解，主要涉及 222,xa的定积分，如 2axd表示2yax，即半圆 220xya的面积. 41 _【答案】2242已知实数 ,xy满足不等式组205 xy且 zxy的最大值为 a，则 20cosxd_【答案】 3【解析】作出可行域，目标函数可变为 2yxz，令 0，作出 2yx，由平移可知直线过 4,2时 z取最大值，则max6z则 2 000cos3cos3sin|3dd故本题应填 343我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积， “势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何
20、体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系 xOy平面内，若函数21,0xfcos的图象与 x轴围成一个封闭的区域 A，将区域 沿 z轴的正方向平移 4 个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域 的面积相等，则此圆柱的体积为23_【答案】 4【解析】由题可得：底面面积为2011+cos44Sxd圆，所以圆柱得体积为： 1444若正实数 ,mn满足22，则 2logmn的最小值为_.【答案】2【解析】因为22044arcsin|20xxd，所以22201()x d，即 1mn，所以14
21、22nmnmn，故 22loglog4，应填答案 2。45若 41ax的展开式中 x项的系数为 4，则 21aedx_【答案】 ln5点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 1r项，再由特定项的特点求出 r值即可.24(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 1r项，由特定项得出 r值，最后求出其参数.46如图，圆 2:16Oxy内的正弦曲线 sinyx, ,与 x轴围成的区域记为 M（图中阴影部分） ，随机向圆 内投一个点 A，则点 落在区域 M外的概率是_【答案】 14【解析】阴影部分的面积= 002sin
22、cos|4xdx，圆的面积为 16，所以点 A落在区域 M外的概率是1614点睛：本题的关键是利用定积分求出阴影区域的面积， 然后根据几何概型的计算公式求解即可三、解答题47设点 在曲线 上，从原点向 移动，如果直线 ，曲线 及直线 所围成的两个阴影部分的面积分别记为 ， ，如图所示.（1）当 时，求点 的坐标；（2）当 有最小值时，求点 的坐标.【答案】(1) ；(2) .25点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力48如图，函数 （其中 ）的图像与坐标轴的三个交点为 ，且 ,， 为 的中点，且 的纵坐标为 .（1）
23、求 的解析式；（2）求线段 与函数 图像围成的图中阴影部分的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由 ，则周期 ,26又 ，则 ，故 ，从而可得结果；（2）将阴影部分的面积分成两部分，分别利用定积分的几何意义求的曲边形的面积，求和即可. 详解：（1）由 ，则周期又点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质以及定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于 轴、曲线 以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条
24、曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.49已知二次函数 ，直线 ，直线 （其中 ， 为常数） ，若直线与函数的图象以及 轴与函数 的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示27（1）求 的值；（2）求阴影面积 关于 的函数 的解析式【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由图象可知函数图象过点 ，并且 的最大值为 ，分别代入解析式可得关于 的方程组，即可解得 的值；（2）先求出直线 （其中 为常数）与 拋物线的交点横坐标（用 表示） ，再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可.试题解析：（1）由图形可知二次函数的图象过点 ， ，并且 的最大值为 ，则，解得 ，函数 的解析
25、式为 50抛物线 y2=x 与直线 x-2y-3=0 的两个交点分别为 P、Q，点 M 在抛物线上从 P 向 Q 运动（点 M 不同于点 P、Q） ，28（）求由抛物线 y2=x 与直线 x-2y-3=0 所围成的封闭图形面积；（）求使MPQ 的面积为最大时 M 点的坐标。【答案】(1) （2）P 点的坐标为(1,1)时，PAB 的面积最大【解析】试题分析：（1）先求直线与抛物线交点，确定上下函数，分两种情况求定积分，即得面积（2）过点M 的切线与直线 x-2y-3=0 平行时MPQ 的面积为最大，利用导数几何意义求出切点 M 坐标试题解析：解： 方法二 若选取积分变量为 y，则两个函数分别为
26、 x=y2,x=2y+3.由方法一知上限为 3，下限为-1.S= dy=（y 2+3y- y3) =(9+9-9)-(1-3+ )= .()设点 M 的坐标为（a, b）,要使MPQ 的面积最大即使点 M 到直线 x-2y-3=0 的距离最大 ,故过点 M 的切线与直线 x-2y-3=0 平行,故过点 M 的切线斜率为 K=1/2, a=1，b=1，P 点的坐标为(1,1)时，PAB 的面积最大。 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论
