1、规律探究问题【题型特征】 规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题, 因其独特的规律性和探究性, 对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中, 不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2) 图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】 解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括 ,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应
2、用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证, 然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容; 式的变化规律通常给定一些代数式, 等式或者不等式, 猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系 )或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系), 找出各部分的特征 ,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规
3、律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别, 用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力 .(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一 数式规律型【技法梳理】 对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律, 然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反
4、三1. (2015山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1 第 1 行22 第 2 行3 5 62 3 2 第 3 行7 2 10 11 34 3 2 第 4 行13 14 15 17 2 19 5根据数阵的规律,第 n(n 是整数,且 n3)行从左到右数第 n-2 个数是 (用含 n 的代数式表示). 2. (2015山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x 2),猜想(1-x)(1+x+x 2+xn)的结果是( ). A. 1-xn+1 B. 1+xn+1 C. 1-xn D. 1+xn【小结】 此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律 ,一般是由特
5、殊到一般,得出一般规律 .比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积, 分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二 图形变化规律型典例 2 (2015四川内江)如图 ,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第 2015 个图形是 . 【解析】 根据图象规律得出每 6 个数为一周期, 用 2015 先减 2 再除以 6,根据余数来决定第 2015 个图形.因为(2015-2)6=3352, 故第 2015 个图形与第 2 个图象相同,故答案是正方形.【全解】 正方形【技法梳理】 本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些
6、部分发生了变化,是按照什么规律变化的, 解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为 2,宽为 1,依此类推,摆放 2015 个时,实线部分长为 . (1)(2)(3)(第 3 题)4. (2015珠海)如图,在等腰 RtOAA 1 中, OAA 1=90,OA=1,以 OA1 为直角边作等腰 RtOA1A2,以 OA2 为直角边作等腰 RtOA 2A3,则 OA4 的长度为 . (第 4 题)5. (2015湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从 2013 到 2015 再到 2015,箭头的方向是
7、以下图示中的( ). (第 5 题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题, 关键是根据题目中给出的图形 ,通过观察思考, 归纳总结出规律,再利用规律解决问题, 难度一般偏大,属于难题 .类型三 坐标变化规律型典例 3 (2015广东梅州)如图 ,弹性小球从点 P(0,3)出发 ,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1,第 2 次碰到矩形的边时的点为 P2,第 n 次碰到矩形的边时的点为 Pn,则点 P3 的坐标是 ;点 P2 014
8、 的坐标是 . 【解析】 如图,经过 6 次反弹后动点回到出发点(0,3),当点 P 第 3 次碰到矩形的边时, 点 P 的坐标为(8,3), 20156=3354, 当点 P 第 2015 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹.点 P 的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3) (5,0)【技法梳理】 根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每 6 次反弹为一个循环组依次循环,用 2015 除以 6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015湖北荆门)如图,在第 1 个A 1BC 中, B= 30,A1B=CB;在边 A
9、1B 上任取一点 D,延长 CA1 到 A2,使 A1A2=A1D,得到第 2 个A 1A2D;在边 A2D 上任取一点 E,延长 A1A2 到 A3,使A2A3=A2E,得到第 3 个A 2A3E,按此做法继续下去,则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是( ). (第 6 题)7. (2015山东潍坊)如图,已知正方形 ABCD,顶点 A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD 先沿 x 轴翻折,再向左平移 1 个单位”为一次变换 ,如此这样, 连续经过 2015 次变换后,正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为( ). (第 7 题)A. (-201
10、2,2) B. (-2012,-2)C. (-2013,-2) D. (-2013,2)【小结】 此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四 数形结合规律型典例 4 (2015山东泰安)如图 ,在平面直角坐标系中,将ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1 的位置,点 B,O 分别落在点 B1,C1 处,点 B1 在 x 轴上, 再将AB 1C1 绕点 B1 顺时针旋转到A 1B1C2 的位置,点 C2 在 x 轴上,将A 1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到 A 2B2C2 的位置,点A2 在 x 轴上, 依次进行下去. 若点 ,B
11、(0,4),则点 B2015 的横坐标为 . 故答案为 10070.【全解】10070【技法梳理】 首先利用勾股定理得出 AB 的长,进而得出三角形的周长 ,进而求出B2,B4 的横坐标, 进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015四川内江)如图,已知 A1,A2,A3,An,An+1 是 x 轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1,分别过点 A1,A2,A3,An,An+1 作 x 轴的垂线交直线 y=2x 于点B1,B2,B3,Bn,Bn+1,连接 A1B2,B1A2,B2A3,AnBn+1,BnAn+1,依次相交于点 P1,P2,P3,Pn.A1B1P1,
12、A 2B2P2,A nBnPn 的面积依次记为 S1,S2,S3,Sn,则 Sn 为( ). (第 8 题)9. (2015山东威海)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,Rt OA 1C1,RtOA 2C2,RtOA 3C3,RtOA4C4的斜边都在坐标轴上,A 1OC1=A 2OC2=A 3OC3=A 4OC4=30.若点 A1 的坐标为(3,0),OA 1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4,则依此规律,点 A2015 的纵坐标为( ). (第 9 题)【小结】 此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.
13、类型一 1. (2015山东烟台)将一组数 , ,3,2 , ,3 ,按下面的方式进行排列:3 6 3 15 10, ,3,2 , ;3 6 3 153 , ,2 ,3 , ;2 21 6 3 30若 2 的位置记为(1,4),2 的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为( ). 3 6A. (5,2) B. (5,3)C. (6,2) D. (6,5)2. (2015湖北咸宁)观察分析下列数据:0,- , ,-3,2 ,- ,3 ,根据数据排列的规3 6 3 15 2律得到第 16 个数据应是 .(结果需化简) 3. (2015贵州铜仁)一列数:0,-1,3,- 6,10,-1
14、5,21,按此规律第 n 个数为 . 4. (2015甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,猜想 13+23+33+103= . 类型二 5. (2015湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第 1 个图中共有 4 个点, 第 2 个图中共有 10 个点, 第 3 个图中共有 19 个点按此规律第 5 个图中共有点的个数是( ). (第 5 题)A. 31 B. 46 C. 51 D. 666. (2015湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第 1 个图案由 4 个组成, 第 2 个图案由7 个组成,第 3 个图案由 1
15、0 个组成,第 4 个图案由 13 个组成,则第 n(n 为正整数)个图案由 个组成. (第 6 题)7. (2015广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第 5 个图形中所有正三角形的个数有 . (第 7 题)类型三 8. (2015湖南邵阳)如图,A 点的初始位置位于数轴上的原点 ,现对 A 点做如下移动:第 1次从原点向右移动 1 个单位长度至 B 点,第 2 次从 B 点向左移动 3 个单位长度至 C 点,第 3 次从 C 点向右移动 6 个单位长度至 D 点, 第 4 次从 D 点向左移动 9 个单位长度至 E点, ,依此类推,这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于
16、 41. (第 8 题)9. (2015甘肃天水)如图,一段抛物线 y=-x(x-1)(0x1)记为 m1,它与 x 轴交点为 O,A1,顶点为 P1;将 m1 绕点 A1 旋转 180得 m2,交 x 轴于点 A2,顶点为 P2;将 m2 绕点 A2 旋转 180得 m3,交 x 轴于点 A3,顶点为 P3,如此进行下去, 直至得 m10,顶点为 P10,则 P10 的坐标为( ). (第 9 题)类型四 10. (2015四川遂宁)已知:如图,在ABC 中,点 A1,B1,C1 分别是 BC,AC,AB 的中点,A 2,B2,C2分别是 B1C1,A1C1,A1B1 的中点,依此类推. 若
17、ABC 的周长为 1,则A nBnCn 的周长为 . (1)(2)(3)(第 10 题)11. (2015江苏淮安)如图, 顺次连接边长为 1 的正方形 ABCD 四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形 A1B1C1D1 的中点, 得到四边形 A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2 四边的中点,得到四边形 A3B3C3D3,按此方法得到的四边形 A8B8C8D8 的周长为 . (第 11 题)12. (2015广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;要求根据图(1)写出已知、求证、证明; 在证明过程中,至少有两处写出
18、推理依据(“已知”除外)(2)如图 (2),在ABCD 中,对角线焦点为 O,A1,B1,C1,D1 分别是 OA,OB,OC,OD 的中点,A2,B2,C2,D2 分别是 OA1,OB1,OC1,OD1 的中点,以此类推. 若ABCD 的周长为 1,直接用算式表示各四边形的周长之和 l;(3)借助图形 (3)反映的规律,猜猜 l 可能是多少?(1)(2)(3)(第 12 题)参考答案【真题精讲】2. A 解析 :(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,依此类推(1-x)(1+x+x 2+xn)=1-xn+1.3. 方法一: 由图形可
19、得出:摆放一个矩形实线长为 3,摆放 2 个矩形实线长为 5,摆放 3 个矩形实线长为 8,摆放 4 个矩形实线长为 10,摆放 5 个矩形实线长为 13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加 2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加 3, 摆放 2015 个时 ,相等于在第 1 个的基础上加 1007 个 2,1006 个 3, 摆放 2015 个时 ,实线部分长为 3+10072+10063=5035.故答案为 5035.方法二:第 个图实线部分长 3,第 个图实线部分长 3+2,第 个图实线部分长 3+2+3,第 个图实线部分长 3+2+3+2,第 个图实线部分长 3+2+3+2+
20、3,第 个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,从上述规律可以看到,对于第 n 个图形,当 n 为奇数时,第 n 个图形实线部分长度为4. 8 解析: OAA1 为等腰直角三角形,OA=1, AA1=OA=1,OA1= OA= .2 2 OA 1A2 为等腰直角三角形, A1A2=OA1= ,OA2= OA1=2.2 2 OA 2A3 为等腰直角三角形, A2A3=OA2=2,OA3= OA2=2 .2 2 OA 3A4 为等腰直角三角形, A3A4=OA3=2 ,OA4= OA3=4.2 2故答案为 4.5. D 解析 :由图可知, 每 4 个数为一个循环组依次循环,20134=5031,
21、2013 是第 504 个循环组的第 2 个数. 从 2013 到 2015 再到 2015,箭头的方向是 .故选 D.7. A 解析 : 正方形 ABCD,点 A(1,3),B(1,1),C(3,1), M 的坐标变为(2,2). 根据题意得,第 1 次变换后的点 M 的对应点的坐标为(2 -1,-2),即(1, -2),第 2 次变换后的点 M 的对应点的坐标为 (2-2,2),即(0,2),第 3 次变换后的点 M 的对应点的坐标为 (2-3,-2),即( -1,-2),第 2015 次变换后的点 M 的对应点的坐标为(2 -2015,2),即(-2012,2).故答案为 A.8. D
22、解析 :本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出 B 点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点 B1,B2,B3,Bn,Bn+1 各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出 S1,S2,S3,Sn,进而得出答案9. D 解析 : A 2OC2=30,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C 2. -3 54. 552 解析:本题的规律为 :从 1 开始,连续 n 个数的立方和=(1+2 +3+n)2.5. B 6. 3n+17. 485 解析:本题考查图形的变化规律. 由图可以看出:第一个图形中 5 个正三角形,第二个图形中 53+2=17 个正三角形
23、 ,第三个图形中 173+2=53 个正三角形,由此得出第四个图形中 533+2=161 个正三角形,第五个图形中 1613+2=485 个正三角形.8. 28 9. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,证明:如图,延长 DE 至 F,使 EF=DE,(第 12 题) E 是 AC 的中点, AE=CE.在ADE 和CFE 中, ADECFE(SAS). AD=CF(全等三角形对应边相等 ),A= ECF(全等三角形对应角相等) . ADCF. 点 D 是 AB 的中点, AD=BD. BD=CF 且 BDCF. 四边形 BCFD 是平行四边形( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). DFBC 且 DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).
