1、2015-2016 学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题 2 分，共 12 分）1方程 x2=x 的解是( )Ax=1 Bx=0 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=02一组数据 5，2，5，3，2.5，5，5，5.5，这 7 个数据的众数和中位数分别是( )A5.5，5 B5，5 C5， 4 D5，33沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到80 万元设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为( )A20（1+2x） =80 B220（1+x ）=80 C20（1+x 2）=80 D20（1+x） 2=804有一组数
2、据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差是( )A B2 C D105如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知 BOD=100，则 BCD 的度数为( )A130 B100 C80 D506如图，O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E，F， E=，F= ，则A=( )A+ B C180 D二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）7写出一个解为 1 和 2 的一元二次方程：_8已知O 的半径是 3，OP=2 ，则点 P 与 O 的位置关系是：点 P 在 O_9如果关于 x 的一元二次方程 x2+4xm=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是
3、_10小明上学期平时成绩为 90 分，其中成绩为 88 分，期末成绩为 94 分，若平时、期中、期末的成绩按 3：3：4 计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为_分11已知一元二次方程 x26x5=0 的两根为 m，n，则 m2mn+n2=_12已知A 的半径是 6，点 A 的坐标是（ 3，4） ，那么A 与 x 轴的位置关系是_13将圆心角为 90，面积为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为_14如图，AB 为 O 直径，点 C，D 在O 上，若 DCB=30，则DBA= _15将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点 O 在半圆上，点 B 在半圆上
4、，边 AB，AO 分别交半圆于点 C，D ，点 B，C ，D 对应的读数分别为 160、52、40，则A=_16同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是_三、解答题17 （1）解方程：x26x4=0x212x+27=0（2）直接写出方程（x 26x4） （x 212x+27）=0 的解为_18为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，对这两名运动员进行测试，他们10 次射击命中的环数如下：甲 7 9 8 6 10 7 9 8 6 10乙 7 8 9 8 8 6 8 9 7 10根据测试成绩，你认为选择哪一名运动员参赛更好？为什么？19已知ABC， C=90，AC=4，BC=3 （1）用尺规
5、在图 1 中作出ABC 的外接圆，在图 2 中作出 ABC 的内切圆（2）ABC 的外接圆半径为_，内切圆半径为_20已知关于 x 的方程 kx2+（2k+1）x+2=0（1）若方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_；（2）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根21如图，四边形 ABCD 内接于O ， DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，且 AD 平分CAE求证：DB=DC22如图，O 是ABC 的外接圆，半径为 4，直线 l 与O 相切，切点为 P，lBC，l 与BC 间的距离为 7（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，
6、不写画法） （2）求弦 BC 的长23如图，在ABC 中，AB=AC ，ABC=30，点 O 在边 BC 上，O 经过点 A，B，且与 BC 相交于点 D（1）求证：CA 是 O 的切线；（2）若 AB=2，请直接写出阴影部分的面积24某水产店每天购进一种高档海鲜 500 千克，预计每千克盈利 10 元，当天可全部售完，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克当天剩余的海鲜全部以每千克盈利 5 元的价格卖给某饭店，如果该水产店要保证当天盈利 6500 元，那么每千克应涨价多少元？25某课题小组研究如下的几个问题（1）边长为 1 的等边三角形从图 1
7、 位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P 运动的路径长（直接列式计算） ；（2）边长为 1 的正方形从图 2 位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，当正方形滚动一周时，求点 P 运动的路经长（直接列式计算） （3）请你将（1） （2）中的正多边形化成一个边长为 1，边数大于 4 的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）26要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹篱笆围成如果篱笆的总长为 40m，设养鸡场垂直于墙的一边长为 xm，求养鸡场的长和宽2
8、7如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的表达式是 y=x+1，长度为 2 的线段 AB 在 y 轴上移动，设点 A 的坐标为（ 0，a） （1）当以 A 为圆心，AB 为半径的圆与直线 l 相切时，求 a 的值；（2）直线 l 上若存在点 C，使得ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，则 a 的取值范围为_；（3）直线 l 上是否存在点 C，使得ACB=90？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由一、选择题（每小题 2 分，共 12 分）1方程 x2=x 的解是( )Ax=1 Bx=0 Cx 1=1，x 2=0 Dx 1=1，x 2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计
9、算题【分析】利用因式分解法解方程【解答】解：x 2x=0，x（x1） =0，x=0 或 x1=0，所以 x1=0，x 2=1故选 C【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样 也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 2一组数据 5，2，5，3，2.5，5，5，5.5，这 7 个数据的众数和中位数分别是( )A5.5，5 B5，5 C5， 4 D5，3【考点】众数；中位数 【分析】根据众数和中位数的概念求解
10、【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2.5，3，5，5，5，5，5.5，众数为：5，中位数为： =5故选 B【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到80 万元设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为( )A20（1+2x） =80 B220（1+x ）=80 C20（1+x
11、 2）=80 D20（1+x） 2=80【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题【分析】根据第一年的销售额（1+平均年增长率） 2=第三年的销售额，列出方程即可【解答】解：设增长率为 x，根据题意得 20（1+x） 2=80，故选 D【点评】本题考查一元二次方程的应用求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b （当增长时中间的“”号选“ +”，当下降时中间的 “”号选“”） 4有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差是( )A B2 C D10【考点】方差；算术平
12、均数 【专题】计算题【分析】先根据平均数的定义求出 a=5，然后根据方差公式计算即可【解答】解：根据题意得 3+a+4+6+7=55，解得 a=5，方差 S2= （35） 2+（45） 2+（5 5） 2+（65） 2+（75） 2=2故选 B【点评】本题考查方差：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立5如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知 BOD=100，则 BCD 的度数为( )A130 B100 C80 D50【考点】圆周角定理
13、；圆内接四边形的性质 【分析】根据圆周角定理求出A ，根据圆内接四边形性质得出 BCD+A=180，代入求出即可【解答】解：BOD=100 ，A= BOD=50，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD+A=180，BCD=130，故选 A【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质的应用，能求出A 的度数和得出BCD+A=180是解此题的关键6如图，O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E，F， E=，F= ，则A=( )A+ B C180 D【考点】圆内接四边形的性质 【分析】连结 EF，如图，根 据圆内接四边形的性质得ECD= A，再根据三角形外角性质得ECD=1
14、+2，则 A=1+2，然后根据三角形内角和定理有A+1+ 2+E+F=18 0，即 2A+=180，再解方程即可【解答】连结 EF，如图，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，ECD=A，ECD=1+2，A=1+2，A+1+2+E+F=180，2A+=180，A= 故选 D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）7写出一个解为 1 和 2 的一元二次方程：x 23x+2=0【考点】根与系数的关系 【专题】开放型
15、【分析】先计算 1、2 的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程【解答】解：1+2=3，12=2，以 1 和 2 为根的一元二次方程可为 x23 x+2=0故答案为 x23x+2=0【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 8已知O 的半径是 3，OP=2 ，则点 P 与 O 的位置关系是：点 P 在 O 外部【考点】点与圆的位置关系 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 d
16、=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内【解答】解：OP 3，点 P 在 O 外部故答案是：外部【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr 时，点在圆内9如果关于 x 的一元二次方程 x2+4xm=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 m 4【考点】根的判别式 【分析】根据关于 x 的一元二次方程 x2+4xm=0 没有实数根，得出=164（ m）0，从而求出 m 的取值范围【解答】解：一元二次方程 x2+4xm=0 没有实数根，=164（m）0，m4 ，故答案为 m4【点评】本题
17、考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根10小明上学期平时成绩为 90 分，其中成绩为 88 分，期末成绩为 94 分，若平时、期中、期末的成绩按 3：3：4 计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为 91 分【考点】加权平均数 【分析】 利用加权平均数公式即可求解【解答】解：小明上学期学期成绩是： =91（分） 故答案是：91【点评】本题考查了加权平均数公式，理解公式是解题的关键11已知一元二次方程 x26x5=0 的两根为 m，n，则 m2mn+n2=3【
18、考点】根与系数的关系 【分析】由 m 与 n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出 m+n 与 mn 的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值【解答】解：m，n 是一元二次方程 x26x5=0 的两个根，m+n=6，mn= 5，则 m2mn+n2=（m+n） 23mn=1815=3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系为：x1+x2= ，x 1x2= 12已知A 的半径是 6，点 A 的坐标是（ 3，4） ，那么A 与 x 轴的位置关系是相交【考点
19、】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】由点 A 的坐标得出点 A 到 x 轴的距离，由 dr，即可得出结论【解答】解：点 A 的坐标是（ 3，4） ，点 A 到 x 轴的距离 d=4，A 的半径 r=6，d r，A 与 x 轴相交故答案为：相交【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质；熟练掌握坐标与图形性质，熟记 dr，d=r，dr 时直线与圆的位置关系是解决问题的关键13将圆心角为 90，面积为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为 1【考点】圆锥的计算 【专题】计算题【分析】先利用扇形的面积公式计算出扇形的半径为 4，再设圆锥的底面半径为 r，根据圆锥
20、的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到2r4=4，然后解此方程即可【解答】解：设扇形的半径为 R，则 =4，解得 R=4，设圆锥的底面半径为 r，根据题意得 2r4=4，解得 r=1，即圆锥的底面半径为 1故答案为 1【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14如图，AB 为 O 直径，点 C，D 在O 上，若 DCB=30，则DBA= 60【考点】圆周角定理 【分析】连接 AC，根据圆周角了求出ACB ，求出ACD，根据圆周角定理得出DBA=ACD，代入求出即可【解答】解：如图，连接
21、 AC，AB 为直径，ACB=90，DCB=30，ACD=9030=60，DBA=ACD=60故答案为：60【点评】本题考查了圆周角定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：直径对的圆周角是直角15将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点 O 在半圆上，点 B 在半圆上，边 AB，AO 分别交半圆于点 C，D ，点 B，C ，D 对应的读数分别为 160、52、40，则A=24【考点】圆周角定理【分析】以 EF 为直径作半圆，延长 BO 交圆于 M，连接 OC，根据已知度数求出BOA、BOF、AOB 的度数，根据圆周角定理求出 B，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：如图，
22、以 EF 为直径作半圆，延长 BO 交圆于 M，连接 OC，点 B，C ，D 对应的读数分别为 160、52、40，BOA=16040=120， BOF=180160=20，COE=52，COM=52+20=72，B= COM=36，A=180BAOB=18012036=24故答案为：24【点评】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理的应用，能求出B 的度数是解此题的关键16同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 ： 【考点】正多边形和圆 【分析】设圆的半径为 R，在正方形 ABCD 中，连接 AC，由圆周角定理得出 AC 为直径，由正方形的性质得出 AC=2R，求出 AB= R；在正三角形
23、 EFM 中，作 ONEF 于 N，连接 OF，则ONF=90 ， OFN= EFM=30，求出 ON= R，得出FN= R，FM=2FN= R，即可得出结果【解答】解：设圆的半径为 R，如图所示：在正方形 ABCD 中，连接 AC，B=90，AC 为直径，AC=2R，AB= AC= R；在正三角形 EFM 中，作 ONEF 于 N，连接 OF，则ONF=90 ， OFN= EFM =30，ON= R，FN= ON= R，FM=2FN= R，AB：FM= ： 【点评】本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、解直角三角形、三角函数；熟练掌握正方形和正三角形的性质，在直角三角形中运用三角函数计算是
24、解决问题的关键三、解答题17 （1）解方程：x26x4=0x212x+27=0（2）直接写出方程（x 26x4） （x 212x+27）=0 的解为x1=3+ ，x 2=3 ，x 3=3，x 4=9【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 【分析】 （1）按照步骤：移项，把常数项移到右边，左右两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，直接开方；将方程的左边因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即可解决问题；（2）由（x 26x4） （x 212x+27）=0，得出 x26x4=0，x 212x+27=0 把两个方程的解合并在一起即可【解答】解：（1）x 26x
25、4=0x26x=4，x26x+9=4+9，（x3） 2=13，x3= ，x1=3+ ，x 2=3 ；x212x+27=0，（x3） （ x9）=0，x3=0， x9=0，解得：x 1=3，x 2=9；方程（x 26x4） （x 212x+27）=0 的解为 x1=3+ ，x 2=3 ，x 3=3，x 4=9【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法18为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，对这两名运动员进行测试，他们10 次射击命中的环数如下：甲 7 9 8 6 10 7 9 8 6 10乙
26、 7 8 9 8 8 6 8 9 7 10根据测试成绩，你认为选择哪一名运动员参赛更好？为什么？【考点】方差；加权平均数 【专题】应用题【分析】先计算甲乙的平均数，再根据方程公式计算甲乙的方差，然后通过比较方差的大小，根据方差的意义决定选择哪一名运动员参赛更好【解答】解： = （7+9+8+6+10+7+9+8+6+10 ）=8（环） ，= （7+8+9+8+8+6+8+9+7+10 ）=8（环） ，S 甲 2= （78 ） 2+（98） 2+（8 8） 2+（6 8） 2+（108） 2+（78） 2+（98） 2+（88）2+（68 ） 2+（108） 2=2，S 乙 2= （78 ） 2
27、+（88） 2+（9 8） 2+（8 8） 2+（88） 2+（68） 2+（88） 2+（98）2+（ 78） 2+（108） 2=1.2，S 甲 2S 乙 2，乙运动员的成绩比较稳定，选择乙运动员参赛更好【点评】本题考查方差：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立也考查了平均数19已知ABC， C=90，AC=4，BC=3 （1）用尺规在图 1 中作出ABC 的外接圆，在图 2 中作出 ABC 的内切圆（2）ABC 的外接圆半径为 2.5，内
28、切圆半径为 1【考点】作图复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形 的内切圆与内心 【分析】 （1）首先作出 AC、BC 的垂直平分线，两线的 交点 O 就是外接圆圆心，再以 O为圆心 AO 长为半径画圆即可；作出A、B 的角平分线，两线的交点 M 就是内切圆圆心，再过点 M 作 BC 的垂线，交 BC 于 N，再以 M 为圆心， MN 的长为半径画圆即可；（2）利用勾股定理计算出 AB 的长，进而可得外接圆半径；设ABC 内切圆的半径为 r，由于 RtABC 的面积为 ACCB= （AB+BC+AC） r，从而求得 r 的值【解答】解：（1）如图所示：（2）C=90，AC=4 ，BC=3，AB
29、= =5，AO=BO，AO=2.5；设ABC 内切圆的半径为 r，连接 CM，由于 RtABC 的面积为 = =6，则由 RtABC 的面积为 SABM+SBMC+SAMC= （AB+BC+AC）r= （3+4+5）r，（ 3+4+5）r=6，解得 r=1故答案为：2.5；1【点评】此题主要考查了复杂作图，以及求内切圆和外接圆的半径，关键是正确确定内切圆和外接圆的圆心位置20已知关于 x 的方程 kx2+（2k+1）x+2=0（1）若方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 且 k0；（2）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根【考点】根 的判别式；一元一次方程的解 【分析】
30、（1）根据一元二次方程的定义和的意义得到 k0 且0，即（2k+1）24k20，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）分 k=0，为一元一次方程；k0，利用根的判别式整理得出答案即可【解答】 （1）解：关于 x 的方程 kx2+（2k+1 ）x+2=0 有两个不相等的实数根，k0 且=（2k+1） 24k2=（2 k1） 20，k 且 k0（2）证明：当 k=0，为 x+2=0 一元一次方程，解为 x=2；当 k0，=（2k+1 ） 24k2=（2k1） 20，无论 k 取任何实数时，方程总有实数根【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当
31、0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根21如图，四边形 ABCD 内接于O ， DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，且 AD 平分CAE求证：DB=DC【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【专题】证明题【分析】先根据圆周角定理得出DAC=DBC ，再由角平分线的性质得出EAD= DAC，根据圆内接四边形的性质得出EAD= BCD，由此可得出结论【解答】证明：DAC 与DBC 是同弧所对的圆周角，DAC=DBCAD 平分 CAE，EAD=DAC，EAD=DBC四边形 ABCD 内接于O，EAD=BCD，DBC=DCB，DB=DC【点评】本题考
32、查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解答此题的关键22如图，O 是ABC 的外接圆，半径为 4，直线 l 与O 相切，切点为 P，lBC，l 与BC 间的距离为 7（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写画法） （2）求弦 BC 的长【考点】切线的性质；作图复杂作图 【专题】计算题；作图题【分析】 （1）连结 PO 并延长交 BC 于 Q，然后连结 AQ 并延长交O 于 D，则弦 AD 为所求；（2）连结 OC，如图，根据切线的性质得 OPl，则根据平行线的性质得 PQBC，则根据垂径定理得 BQ=CQ，
33、然后在 RtOCQ 中利用勾股定理计算出 CQ，则利用 BC=2CQ 求解【解答】解：（1）如图，（2）连结 OC，如图，直线 l 与 O 相切，切点为 P，OPl，而 lBC，PQBC，BQ=CQ，PQ=7，OP=OC=4，OQ=3，在 RtOCQ 中，CQ= = = ，BC=2CQ=2 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理作图的关键是确定ABC 某一边的中点，而这个问题可利用垂径定理解决23如图，在ABC 中，AB=AC ，ABC=30，点 O 在边 BC 上，O 经过点 A，B，且与 BC 相交于点 D（1）求证：CA 是 O 的切线；（2）若 AB
34、=2，请直接写出阴影部分的面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算 【分析】 （1）连接 OA，由 AB=AC，则 C=B=30，AOC=60 ，从而得出OAC=90 ，则直线 CA 与 O 相切；（2）连接 AD，作 OEAB，根据圆周角定理得出BAD=90 ，通过解直角三角函数求得直径 BD 的长，进而得出半径的长以及 OE 的长，根据 S 阴影 =SAOB+S 扇形 求得即可【解答】解：（1）连接 OA，AB=AC ，C=B，ABC=30，C=30，OA=OB，B=OAB=30，AOC=60，OAC=90，直线 CA 与O 相切；（2）连接 AD，作 OEAB，BD 是直径，BAD=90，
35、B=30，cosB= ，BD= = ，OB=OD= ，OE= OB= ，S 阴影 =SAOB+S 扇形 = ABOE+ = 2 + = + 【点评】本题考查了切线的判定、解直角三角函数以及扇形面积的计算，要熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键24某水产店每天购进一种高档海鲜 500 千克，预计每千克盈利 10 元，当天可全部售完，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克当天剩余的海鲜全部以每千克盈利 5 元的价格卖给某饭店，如果该水产店要保证当天盈利 6500 元，那么每千克应涨价多少元？【考点】一元二次方 程的应用 【专题】销售问题【分析】设每千
36、克应涨价 x 元，根据总利润=涨价利润后的利润+剩余的销售利润列出方程探讨得出答案即可【解答】解：设每千克应涨价 x 元，由题意，得（10+x） （50020x）+520x=6500，整理，得 x220x+75=0，解得 x1=15，x 2=5答：每千克应涨价 15 元或 5 元【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出关于 x 的一元二次方程是解答此题的关键25某课题小组研究如下的几个问题（1）边长为 1 的等边三角形从图 1 位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P 运动的路径长（直接列式计算） ；（2）边长为 1 的正方形从图 2 位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，
37、当正方形滚动一周时，求点 P 运动的路经长（直接列式计算） （3）请你将（1） （2）中的正多边形化成一个边长为 1，边数大于 4 的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）【考点】圆的综合题 【分析】 （1）点 P 从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以 B 点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧，第二段是以（A ）点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧，然后根据弧长公式计算即可；（2）弧长是三段，第一段以对角线 PB 为半径，第二段以边长为半径，第三段不动，第四段以边长为半径，根据弧长公式计算后相加即可；（3
38、）选择正六边形，首先画出几何图形，连 A1A5，A 1A4，A 1A3，作 A6CA1A5，利用正六边形的性质分别计算出 A1A4=2，A 1A5=A1A3= ，而当 A1 第一次滚动到图 2 位置时，顶点 A1 所经过的路径分别是以 A6，A 5，A 4，A 3，A 2 为圆心，以 1， 1，2， ，1 为半径，圆心角都为 60的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可【解答】解：（1）ABP 为等边三角形，ABP=60，ABC 每次旋转的度数为 120，点 P 从开始到结束，所经过路径的长度= = ；（2）根据勾股定理，得 PB= 则当正方形滚动一周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长= =
39、（ +1）；（3）如图所示：连 A1A5，A 1A4，A 1A3，作 A6CA1A5，六边形 A1A2A3A4A5A6 为正六边形，A1A4=2， A1A6A5=120，CA1A6=30，A6C= ，A 1C= ，A1A5=A1A3= ，当 A1 第一次滚动到图 2 位置时，顶点 A1 所经过的路径分别是以 A6，A 5，A 4，A 3，A 2 为圆心，以 1， ，2， ，1 为半径，圆心角都为 60的五条弧，顶点 A1 所经过的路径的长 = 【点评】本题考查了正多边形和圆的、弧长的计算及旋转的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是弄清各多边形旋转一周所有可能的情况26要建一个面积为 150m2
40、 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹篱笆围成如果篱笆的总长为 40m，设养鸡场垂直于墙的一边长为 xm，求养鸡场的长和宽【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题【分析】设鸡场的宽为 xm，则长可用含 x 的代数式表示，从而这个鸡场的面积可用含 x 的代数式表示，列方程求解，然后对 a 进行讨论确定答案【解答】解：设养鸡场垂直于墙的一边长为 xm，则平行于墙的边长为（40 2x）m，由题意得x（402x ）=150，整理，得 x220x+75=0，解方程，得 x1=15，x 2=5当 x=15 时，40 2x=10；当 x=5 时，402x
41、=30答：当 a5 时，问题无解；当 5a30 时，问题有一解，即宽为 10m，长为 15m；当 a30 时，问题有两解，可建宽为 10m，长为 15m 或宽为 5m，长为 30m 的鸡场【点评】本题考查的是一元二次方程的应用注意解题时需要从实际出发，知道 a 对鸡场长度起到限制作用27如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的表达式是 y=x+1，长度为 2 的线段 AB 在 y 轴上移动，设 点 A 的坐标为（0，a） （1）当以 A 为圆心，AB 为半径的 圆与直线 l 相切时，求 a 的值；（2）直线 l 上若存在点 C，使得ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，则 a 的取值范围为2+1
42、a2 +1；（3）直线 l 上是否存在点 C，使得ACB=90？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）当A 与直线 l 相切时，设切点为 M，则 AMDE，根据ADM=45 ，OD=1，求出 AD，再减去圆的半径求出 AO，即可得出点 A 的坐标；（2）过点 A 作 ACl 于点 C，使 AC=AB=2，根据可直接得出 a，当点 A 移动到点 D的上方 A处时，过点 A作 ACl 于点 C，使 AC=AB=2，再求出 a，最后根据若使得ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，则点 A 在线段 AA上，即可得出 a 的取值范围；（3）以 AB 为
43、直径作 Q，点 Q 在点 D 下方，使Q 与直线 l 相切于点 C，则ACB=90 ，根据ODE=45求出 DQ 从而得出点 A 的纵坐标，求出 a，当点 Q 在点 D 上方的 Q点时，作 Q与直线 l 相切于点 C，则ACB=90，同理求出点 A 的纵坐标，求出 a，最后根据Q 的圆心在点 Q 与 Q之间时，ACB=90，即可求出 a 的取值范围【解答】解：（1）如图：当 A 与直线 l 相切时，设切点为 M，则 AMDE，直线 l 的表达式是 y=x+1，ADM=45， OD=1，DM=AM=2，AD=2 ，AO=2 1，点 A 的坐标为（0， 2 +1） ；（2）如图：过点 A 作 AC
44、l 于点 C，使 AC=AB=2，由得：a=2 1，当点 A 移动到点 D 的上方 A处时，过点 A作 ACl 于点 C，使 AC=AB=2，同理可得：AD=2 ，则 a=2 +1，若使得ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，则点 A 在线段 AA上，a 的取值范围为2 +1a2 +1，故答案为：2 +1a2 +1；（3）以 AB 为直径作 Q，点 Q 在点 D 下方，使Q 与直线 l 相切于点 C，则 QCl，QC=QA=1，ACB=90，ODE=45，DC=QC=1，DQ= ，AD=DQAQ= 1，点 A 的纵坐标为 1（ 1）=2 ，a=2 ，当点 Q 在点 D 上方的 Q点时，作 Q与直线 l 相切于点 C，则ACB=90 ，同理可得 DQ= ，AQ=1，AD=AQ+DQ= +1，AO=AD+OD= +1+1= +2，点 A 的纵坐标为 +2，a= +2，Q 的圆心在点 Q 与 Q之间时， ACB=90，a 的取值范围为 2 a2+ 【点评】此题考查了一次函数综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、圆周角定理、勾股定理等，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况讨论，不要漏解
