1、高三年级第一学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 ，则集合 中元素的个数为 A1 B2 C3 D4 2下列函数中为偶函数的是 3在ABC中， 的值为A1 B1 C D 2124数列 的前n项和为 ，则 的值为A1 B3 C5 D6 5已知函数 ，下列结论错误的是 A B函数 的图象关于直线x0对称 C 的最小正周期为 D 的值域为6“x0 ”是“ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7如图，点O为坐标原点，点 A（1,1）若函数 且）的图象与线段OA分别交于点M，N ，且M，N恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b满足 8 已知函数 函数 若函数 恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 910在ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c若 c4， 则 11已知等差数列 的公差 ，且 若 0 ，则n 39108aa12已知向量 ，点A （3,0） ，点B为直线y2x 上的一个动点若 ，则点B的坐Aa标为 13已知函数 ，若 的图象向左平移 个单位所得的图象与 的图象向右平移 个单
3、位所得的图象重合，则 的最小值为 14对于数列 ，都有 为常数）成立，则称数列具有性质 若数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则t的最大值为 ； 若数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实数a的取值范围是 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知等比数列 的公比 ，其n前项和为（）求公比q和a 5的值； （）求证：16（本小题满分13分）已 知函数（）求 的值； （）求函数 的最小正周期和单调递增区间 17（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB8，BC3，CD5，（）求BD 的长；（）求证：18（本小题满分13分）已知函数 ，曲
4、线 在点（0,1）处的切线为l（）若直线l的斜率为3，求函数 的单调区间；（）若函数是 区间2，a上的单调函数，求a的取值范围19（本小题满分14分） 已知由整数组成的数列 各项均不为0，其前n项和为 ，且（）求 的值； （）求 的通项公式； （）若=15时，Sn 取得最小值，求a的值20（本小题满分14分） 已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x) ，若存在 ，使得 ，则称函数 函数（）判断函数 是否是 函数；（只需写出结论） （）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为 T，若f(x)不是 函数，求T的最小值 （）若函数 是 函数，求 a 的取值范围数 学
5、（理科） 2015.11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 3 10. 11. 5 12. 2;15(3,6)13. 1 4. 2； 43,)说明；第 10，14 题第一空 3 分，第二空 2 分三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分. 15解：（）法一：因为 为等比数列， 且 ，na324a所以
6、，所以 ， 2343因为 ，所以 . 214aq2q因为 ，所以 ，即 -3 分0n所以 . -6 分4516aq法二：因为 为等比数列，且 ，n324a所以 ，所以 ，所以 , 241aq2qq因为 ，所以 ，即 -3 分0n所以 . -6 分4516aq（）法一：因为 ，所以 , - 分212na因为 , -10 分1()21nnaqS所以 ,11nna因为 ，所以 . -13 分102n12nnSa法二：因为 ，所以 , - 分q1nq所以 , -10 分1()2naS所以 ，所以 . -13 分10nna2nSa法三：因为 ，所以 , - 分2q1nq所以 . -10 分1()2nna
7、S要证 ，只需 ， 只需nanSa21nn上式显然成立，得证. -13 分16.解：（）因为 ,()3sin(2)cos(2)3fxxx所以 ,()i()()666f. -4 分2313sin()cos()2（）因为 ,()i()()3fxxx所以 31()2sin()cos(2)f2cosin()sinco(2)6363xx-7 分2sin()x, -9 分co所以周期 . -11 分2T令 ， -12 分kxk解得 ， ，Z所以 的单调递增区间为 . -13()fx(,)2kkZ分法二：因为 ,()3sin()cos()3fxxx所以 -7 分22in(cos2sin2)3xx113(si
8、ncos)(i)xx-9 分2co所以周期 . -11 分T令 ， -12 分2kxk解得 ， , Z所以 的单调递增区间为 . -13 分()fx(,)2kkZ17解：（）法一：在 中，因为 ， ,ABD1cos7AB(0)D所以 , -3 分43sin7根据正弦定理，有 , -6 分 siniADB代入 8,3AB解得 . -7 分7D法二：作 于 .E因为 ，所以在 中， . -3 分8,3ABABDsin43EAB在 中，因为 ， ，1cos7(0,)所以 , - -6 分4sinD所以 . -7 分7siBE（）法一：在 中，根据余弦定理 , -10 分CD22cosBCD代入 ，得
9、 ，3,5B1,所以 . -12(0)23分所以 ，而在四边形 中 ACABCD+2ABCD所以 . -13 分BD法二：在 中， 所以 ， 1cos,453sin14， 所以 . -8 分7ABi7ADB在 中， 所以 ,BCD1cos,4C53sin14， 所以 . -9 分3BDiAB所以 ， coscs()A-11 分23ossini98CDC， csc()DCB-12 分sssiiAAB 即 , 所以 . -13 分coscoBC18解（）因为 ，所以曲线 经过点 ,(0)1f()yfx(01)又 , -2 分2fxa所以 , -3 分()3所以 .2fx当 变化时， ， 的变化情况
10、如下表:()ffx-5 分所以函数 的单调递增区间为 ， ,()fx(,3)(1+)单调递减区间为 . -7 分（）因为函数 在区间 上单调, ()fx2a当函数 在区间 上单调递减时， 对 成立， , ()0fx2,a即 对 成立，2()0fx2,xa根据二次函数的性质，只需要 ， 解得 . ()0f30a又 ，所以 . -9 分2a2a当函数 在区间 上单调递增时， 对 成立，()fx,()fx2,a只要 在 上的最小值大于等于 0 即可，2,因为函数 的对称轴为 ，()0fxa1xx,3(3,1)1(1+)，()f0 0()fxA极大值 A极小值A当 时， 在 上的最小值为 ， 21a(
11、)fx2,a()fa解 ，得 或 ，所以此种情形不成立. -11 分 ()=30f3当 时， 在 上的最小值为 ，()fx2,a(1)f解 得 ，所以 ，(1)f1综上，实数 的取值范围是 或 . -13 分 a019解：（）因为 ，所以 ，即 , 12nSa12Sa12a因为 ，所以 , - -2 分102（）因为 ， 所以 ，两式相减，1nSa1(2)nnSa得到 ， -4 分2()n因为 ，所以 ，0na12a所以 都是公差为 的等差数列，21,kk当 时， , -6 分n12()1nakna当 时， , 2k所以 -8 分1, nan为 奇 数 ,为 偶 数 .（）法一：因为 ，由（
12、）知道 12nSa1, nan为 奇 数 ,为 偶 数所以 -10 分()(, 1 ,2nan为 奇 数 ,为 偶 数注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，当 为偶数时， ，所以此时 ，n0n1nS所以 为最小值 等价于 ， -12 分15S13517,SS所以 ，4670, 0aa所以 ，a解得 . -13 分328因为数列 是由整数组成的，所以 .na32,10,928又因为 ，所以对所有的奇数 ， ，0na所以 不能取偶数，所以 . -14 分a31, 29a法二：因为 ， 由（）知道 12nSa1, nan为 奇 数 ,为 偶 数所以 -10
13、 分()(, 1 ,2nna为 奇 数 ,为 偶 数因为 为最小值，此时 为奇数，15Sn当 时， ， n为 奇 数 1()(12a根据二次函数的性质知道，有 ，解得 ， -12 分 462328a因为数列 是由整数组成的，所以 . na,10,9a又因为 ，所以对所有的奇数 ， ， 0n所以 不能取偶数，所以 . -13 分a31, 29a经检验，此时 为最小值，所以 . -14分nS,a20. 解：（） 是 函数， -2 分21()3fx不是 函数. -4 分sing（） 的最小值为 1. -6 分T因为 是以 为最小正周期的周期函数，所以 . ()fx ()0fTf假设 ，则 ，所以 ，
14、矛盾. -8 分1T0()(0fTf所以必有 ， 而函数 的周期为 1，且显然不是是 函数，()lx综上， 的最小值为 1. -9 分T（） 当函数 是 函数时，()afx若 ，则 显然不是 函数，矛盾. -10 分0a若 ，则 ，2()10afx所以 在 上单调递增， ()f,)此时不存在 ，使得 ，(,0m()fmf同理不存在 ，使得 ，,)又注意到 ，即不会出现 的情形，00所以此时 不是 函数. -11 分()afx当 时，设 ，所以 ，所以有 ，其中 ，0a()fmf amam0当 时，因为 ，所以 ，12(1)所以 . -12 分2()ma当 时， ，0因为 ，所以 ，12(1)mm所以 . -13 分2()ma记 , 综上，我们可以得到k“ 且 且 ”. -14 分0a*2,akN(1)
