1、1九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1化简 的结果是（ ）A 3 B 3 C 3 D 92下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）A B C D 3下列命题中，真命题是（ ）A 两条对角线垂直的四边形是菱形B 对角线垂直且相等的四边形是正方形C 两条对角线相等的四边形是矩形D 两条对角线相等的平行四边形是矩形4估计 +1 的值（ ）A 在3 到2 之间 B 在4 到3 之间 C 在5 之4 间 D 在6 到5 之间5关于 x 的一元二次方程 x22ax1=0（其中 a 为常数）的根的情况是（ ）A 有两个不相等的实数根 B 可能有实数根，也可能没有C 有两个相等
2、的实数根 D 没有实数根6若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是（ ）A 菱形 B 对角线互相垂直的四边形C 矩形 D 对角线相等的四边形7如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，BC=2将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后得到EDC，此时点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则 n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A 30，2 B 60，2 C 60， D 60，28如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接DE若 DE：AC=3：5，则 的值为（ ）A
3、B C D 二、填空题（每题 2 分，共 20 分）9计算： = ；（ +1） （ 1）= 10一元二次方程x 2=x 的解是 11使代数式 有意义的 x 的取值范围是 12若关于 x 的方程 x23x+k=0 的一个根是 0，则 k 值是 ，另一个根是 13一组数据 2，1，0，x，1 的极差是 5，则 x 的值是 14已知等腰梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 6，腰长为 3，则这个等腰梯形的周长为 15如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP=BC，则ACP 度数是 度16如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边，则FAB 的度数为
4、317如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去已知第一个矩形的面积为 2，则第 2013 个菱形的面积为 18如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，CD 上有一点 E，EC=2cm，AD 上有一点P，PA=6cm，过点 P 作 PFAD 交 BC 于点 F，将纸片折叠，使 P 与 E 重合，折痕交 PF 于 Q，则线段 PQ 的长是 cm三、解答题（共 20 分）19计算：（1） + ；（2） （2013） 0+ +（ ） 1 20解方程：（1）x 212x4=0；（2）3（x2） 2=x（x2） 四
5、、解答题（共 36 分）21如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AEAD 交 BD 于点 E，CFBC 交 BD 于点 F，且AE=CF求证：四边形 ABCD 是平行四边形422如图，在ABC 中，D 是边 AC 上一点，且 BD=BC，点 E、F 分别是 DC、AB 的中点求证：（1）EF= AB；（2）过 A 点作 AGEF，交 BE 的延长线于点 G，则 BE=GE23观察下列各式及其验证过程：=2 ，验证： = = =2 =3 ，验证： = = =3 （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用 a（a 为自然数，且 a2）表示
6、的等式，并给出验证；（3）用 a（a 为任意自然数，且 a2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程24如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠后得到AFE，点 F 在矩形ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G（1）猜想线段 GF 与 GC 有何数量关系？并证明你的结论；（2）若 AB=3，AD=4，求线段 GC 的长525平面直角坐标系中，有一 RtABC，且 A（1，3） ，B（3，1） ，C（3，3） ，已知A 1AC1是由ABC 旋转得到的（1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出A 1AC1顺
7、时针旋转 90、180的三角形26如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从点 D 出发沿 DA 向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿对角线 AC 向终点 C 运动过点 P 作 PEDC，交 AC 于点 E，动点 P、Q 的运动速度是每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 P 运动到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动（1）用含有 t 的代数式表示 PE= ；（2）探究：当 t 为何值时，四边形 PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点 P 和点 Q，使PQE 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 t 的值；若不存在，请说明理由6参考答案与试题解析一
8、、选择题（每题 3 分，共 24 分）1化简 的结果是（ ）A 3 B 3 C 3 D 9考点： 二次根式的性质与化简分析： 本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案解答： 解： = =3故选：A点评： 本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（3） 2的算术平方根，结果为非负数2下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）A B C D 考点： 同类二次根式分析： 运用化简根式的方法化简每个选项即可选出答案解答： 解：A、 =2 ，故 A 选项是；B、 =3 ，故 B 选项不是；C、 =2 故 C 选项不是；D、 = ，故 D 选项不是故选：A点评： 本题主要考查了同类
9、二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法3下列命题中，真命题是（ ）A 两条对角线垂直的四边形是菱形B 对角线垂直且相等的四边形是正方形C 两条对角线相等的四边形是矩形7D 两条对角线相等的平行四边形是矩形考点： 菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定分析： 本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系解答： 解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项 A 错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项 B 错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 C 错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项 D
10、正确；故选 D点评： 本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备4估计 +1 的值（ ）A 在3 到2 之间 B 在4 到3 之间 C 在5 之4 间 D 在6 到5 之间考点： 估算无理数的大小分析： 先求出 的范围，再求出 +1 的范围，即可得出选项解答： 解：3 4，3 4，2 +13，即 +1 在3 到2 之间，故选 A点评： 本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出 的范围5关于 x 的一元二次方程 x22ax1=0（其中 a 为常数）的根的情况是（ ）A 有两个不相等的实数根 B 可能有实数根，也可能没有C 有两个相等的实数根 D 没有实数根考点： 根
11、的判别式分析： 先计算=（2a） 24（1）=4a 2+4，由于 4a20，则 4a2+40，即0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可解答： 解：=（2a） 24（1）=4a 2+4，4a 20，4a 2+40，即0，方程有两个不相等的实数根故选 A点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根6若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是（ ）A 菱形 B 对角线互相垂直的四边形C 矩形 D 对角线相等的四边形8考点： 三角形中
12、位线定理；菱形的判定分析： 根据三角形的中位线定理得到 EHFG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案解答： 解：E，F，G，H 分别是边 AD，DC，CB，AB 的中点，EH= AC，EHAC，FG= AC，FGAC，EF= BD，EHFG，EF=FG，四边形 EFGH 是平行四边形，假设 AC=BD，EH= AC，EF= BD，则 EF=EH，平行四边形 EFGH 是菱形，即只有具备 AC=BD 即可推出四边形是菱形，故选：D点评： 本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键7如
13、图，在 RtABC 中，ACB=90，A=30，BC=2将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后得到EDC，此时点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 边于点 F，则 n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A 30，2 B 60，2 C 60， D 60，考点： 旋转的性质；含 30 度角的直角三角形专题： 压轴题分析： 先根据已知条件求出 AC 的长及B 的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出BCD 的形状，进而得出DCF 的度数，由直角三角形的性质可判断出DF 是ABC 的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论解答： 解：ABC 是直角三角形，ACB=90
14、，A=30，BC=2，9B=60，AC=BCcotA=2 =2 ，AB=2BC=4，EDC 是ABC 旋转而成，BC=CD=BD= AB=2，B=60，BCD 是等边三角形，BCD=60，DCF=30，DFC=90，即 DEAC，DEBC，BD= AB=2，DF 是ABC 的中位线，DF= BC= 2=1，CF= AC= 2 = ，S 阴影 = DFCF= = 故选 C点评： 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等8如图，
15、已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接DE若 DE：AC=3：5，则 的值为（ ）A B C D 考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 分析： 根据翻折的性质可得BAC=EAC，再根据矩形的对边平行可得 ABCD，根据两直线平行，内错角相等可得DAC=BCA，从而得到EAC=DAC，设 AE 与 CD 相交于 F，根据等角对等边的性质可得 AF=CF，再求出 DF=EF，从而得到ACF 和EDF 相似，根据相似三角形对应边成比例求出 = ，设 DF=3x，FC=5x，在 RtADF 中，利用勾股定理列式求出 AD，再根据矩形的对边相等求出 AB
16、，然后代入进行计算即可得解解答： 解：矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，10BAC=EAC，AE=AB=CD，矩形 ABCD 的对边 ABCD，DCA=BAC，EAC=DCA，设 AE 与 CD 相交于 F，则 AF=CF，AEAF=CDCF，即 DF=EF， = ，又AFC=EFD，ACFEDF， = = ，设 DF=3x，FC=5x，则 AF=5x，在 RtADF 中，AD= = =4x，又AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x， = = 故选 A点评： 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟
17、记各性质是解题的关键二、填空题（每题 2 分，共 20 分）9计算： = ；（ +1） （ 1）= 1 考点： 二次根式的混合运算专题： 计算题分析： 把 化简成最简二次根式，然后把 进行合并即可；利用平方差公式计算（ +1） （ 1） 解答： 解： = = ；（ +1） （ 1）=（ ） 21=21=111故答案为 ，1点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式10一元二次方程x 2=x 的解是 x 1=0，x 2=1 考点： 解一元二次方程-因式分解法分析： 先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解
18、即可解答： 解：x 2=x，x2+x=0，x（x+1）=0，x=0，x+1=0，x1=0，x 2=1，故答案为：x 1=0，x 2=1点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中11使代数式 有意义的 x 的取值范围是 x2 考点： 二次根式有意义的条件分析： 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解解答： 解：由题意得，2+x0，解得 x2故答案为：x2点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数12若关于 x 的方程 x23x+k=0 的一个根是 0，则 k 值是 0 ，另一个根是 3 考点： 一元二次方程的解专题： 计算题分析
19、： 先根据一元二次方程的解，把 x=0 代入原方程得到 k 的一次方程，解一次方程得到k 的值，然后把 k 的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一个根解答： 解：把 x=0 代入 x23x+k=0 得 k=0，所以原方程变形为 x23x=0，解得 x1=0，x 2=3，所以方程另一个根是 3故答案为 0，3点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根13一组数据 2，1，0，x，1 的极差是 5，则 x 的值是 3 或 4 考点： 极差12
20、分析： 根据极差的公式：极差=最大值最小值x 可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论解答： 解：当 x 是最大值时，则 x（1）=5，所以 x=4；当 x 是最小值时，则 2x=5，所以 x=3故答案为3 或 4点评： 本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值同时注意分类的思想的运用14已知等腰梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 6，腰长为 3，则这个等腰梯形的周长为 18 考点： 梯形中位线定理；等腰梯形的性质分析： 此题只需根据梯形的中位线定理求得梯形的两底和，即可进一步求得梯形的周长解答： 解：等腰梯形 ABCD 的中
21、位线 EF 的长为 6，AB+CD=26=12又腰 AD 的长为 3，这个等腰梯形的周长为 AB+CD+AD+BC=12+3+3=18故答案为：18点评： 本题考查的是梯形的中位线定理及等腰梯形的性质，熟知梯形中位线定理是解答此题的关键15如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP=BC，则ACP 度数是 22.5 度考点： 正方形的性质专题： 计算题分析： 根据正方形的性质可得到DBC=BCA=45又知 BP=BC，从而可求得BCP 的度数，从而就可求得ACP 的度数解答： 解：ABCD 是正方形，DBC=BCA=45，BP=BC，13BCP=BPC= （18045）
22、=67.5，ACP 度数是 67.545=22.5点评： 此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角16如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边，则FAB 的度数为 22.5 考点： 正方形的性质；菱形的性质分析： 根据正方形的性质求出BAC=45，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可解答： 解：四边形 ABCD 是正方形，BAC=45，四边形 AEFC 是菱形，FAB= BAC= 45=22.5故答案为：22.5点评： 本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键17如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到
23、第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去已知第一个矩形的面积为 2，则第 2013 个菱形的面积为 考点： 菱形的性质；规律型：图形的变化类；中点四边形分析： 首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第 n 个菱形的面积为：（ ） 2n2 ，则可求得答案解答： 解：第一个矩形的面积为 2，第一个菱形的面积为 1；第二个矩形的面积为： ，第二个菱形的面积为：（ ） 2，14第三个矩形的面积为：（ ） 3，第三个菱形的面积为（ ） 4，依此类推，第 n 个菱形的面积为：（ ） 2n2 ，第 2013 个菱形的面积
24、为：（ ） 220132 =（ ） 4024= 点评： 此题考查了菱形与矩形的性质此题难度适中，注意得到规律：第 n 个菱形的面积为：（ ） 2n2 是解此题的关键18如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，CD 上有一点 E，EC=2cm，AD 上有一点P，PA=6cm，过点 P 作 PFAD 交 BC 于点 F，将纸片折叠，使 P 与 E 重合，折痕交 PF 于 Q，则线段 PQ 的长是 cm考点： 翻折变换（折叠问题） 专题： 压轴题；探究型分析： 连接 EQ，由翻折变换的性质可知PEQ 是等腰三角形，OQ 是 PE 的垂直平分线，再由已知条件得出 PD 及 DE 的
25、长，由勾股定理得出 PE 的长，设 PQ=x，则 QF=5x，用 x 表示出 OQ 的长，根据 SPEQ +S 梯形 QFCE=S 梯形 PFCE即可得出 x 的值，进而得出结论解答： 解：连接 EQ，将纸片折叠，使 P 与 E 重合，PEQ 是等腰三角形，OQ 是 PE 的垂直平分线，矩形纸片 ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，PD=4cm，DE=3cm，在 RtDPE 中 PE= = =5OP= PE= ，设 PQ=x，则 QF=5x，OQ= =S PEQ +S 梯形 QFCE=S 梯形 PFCE，即： PEOQ+ （QF+CE）CF= （PF+CE）
26、CF，15即 5 + （5x+2）4= （5+2）4，解得 x= cm故答案为： 点评： 本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键三、解答题（共 20 分）19计算：（1） + ；（2） （2013） 0+ +（ ） 1 考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂专题： 计算题分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3 + ，然后合并即可解答： 解：（1）原式=2 +2= +2 ；（2）原式=1+3 +=1+ 点评： 本题
27、考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂、负整数指数幂20解方程：（1）x 212x4=0；（2）3（x2） 2=x（x2） 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法分析： （1）先移项，再配方，开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可16解答： 解：（1）x 212x4=0；x212x=4，配方得：x 212x+6 2=4+62，（x6） 2=40，开方得：x6= ，x1=6+2 ，x 2=62 ；（2）移项得：3（x2）
28、 2x（x2）=0，（x2）3（x2）x=0，x2=0，3（x2）x=0，x1=2，x 2=3点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中四、解答题（共 36 分）21如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AEAD 交 BD 于点 E，CFBC 交 BD 于点 F，且AE=CF求证：四边形 ABCD 是平行四边形考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质专题： 证明题分析： 由垂直得到EAD=FCB=90，根据 AAS 可证明 RtAEDRtCFB，得到 AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可解答： 证明：AEAD，CFBC，EAD=F
29、CB=90，ADBC，ADE=CBF，在 RtAED 和 RtCFB 中， ，RtAEDRtCFB（AAS） ，AD=BC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出 AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力22如图，在ABC 中，D 是边 AC 上一点，且 BD=BC，点 E、F 分别是 DC、AB 的中点求证：17（1）EF= AB；（2）过 A 点作 AGEF，交 BE 的延长线于点 G，则 BE=GE考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线专题： 证明题
30、分析： （1）连接 BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BEAC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF= AB；（2）求出 AF=EF，再根据等边对等角可得AEF=EAF，根据两直线平行，内错角相等可得AEF=EAG，从而得到EAF=EAG，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE解答： （1）证明：如图，连接 BE，BD=BC，点 E 是 CD 的中点，BEAC，点 F 是 AB 的中点，EF= AB；（2）解：AF=EF= AB，AEF=EAF，AGEF，AEF=EAG，EAF=EAG，又BEAC，BE=GE（等腰三角形三线合一） 18点评： 本题主要考查了等腰三
31、角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键23观察下列各式及其验证过程：=2 ，验证： = = =2 =3 ，验证： = = =3 （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用 a（a 为自然数，且 a2）表示的等式，并给出验证；（3）用 a（a 为任意自然数，且 a2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程考点： 二次根式的性质与化简专题： 规律型分析： （1）利用已知，观察 =2 ， =3 ，可得 的值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；（3）利用已知可得出三次根式的类
32、似规律，进而验证即可解答： 解：（1） =2 ， =3 ， =4 =4 = ，验证： = = ，正确；（2）由（1）中的规律可知 3=221，8=3 21，15=4 21， =a ，验证： = =a ；正确；（3） =a （a 为任意自然数，且 a2） ，验证： = = =a 19点评： 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键24如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠后得到AFE，点 F 在矩形ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G（1）猜想线段 GF 与 GC 有何数量关系？并证明你的结论；（2）若 AB=3，A
33、D=4，求线段 GC 的长考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题） 分析： （1）连接 GE，根据点 E 是 BC 的中点以及翻折的性质可以求出 BE=EF=EC，然后利用“HL”证明GFE 和GCE 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）设 GC=x，表示出 AG、DG，然后在 RtADG 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解解答： 解：（1）GF=GC理由如下：连接 GE，E 是 BC 的中点，BE=EC，ABE 沿 AE 折叠后得到AFE，BE=EF，EF=EC，在矩形 ABCD 中，C=90，EFG=90，在 RtGFE 和 RtGCE 中，R
34、tGFERtGCE（HL） ，GF=GC；（2）设 GC=x，则 AG=3+x，DG=3x，在 RtADG 中，4 2+（3x） 2=（3+x） 2，解得 x= 20点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件 EF=EC 是解题的关键25平面直角坐标系中，有一 RtABC，且 A（1，3） ，B（3，1） ，C（3，3） ，已知A 1AC1是由ABC 旋转得到的（1）请写出旋转中心的坐标是 （0，0） ，旋转角是 90 度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出A 1AC1顺时针旋转 90、180的三角形考点： 作图-旋
35、转变换专题： 作图题分析： （1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；（2）根据网格结构分别找出找出A 1AC1顺时针旋转 90、180后的对应点的位置，然后顺次连接即可解答： 解：（1）旋转中心的坐标是（0，0） ，旋转角是 90 度；（2）如图所示，A 1A2C2是A 1AC1以 O 为旋转中心，顺时针旋转 90的三角形，A 2C3B 是A 1AC1以 O 为旋转中心，顺时针旋转 180的三角形21点评： 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键26如图，
36、在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从点 D 出发沿 DA 向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿对角线 AC 向终点 C 运动过点 P 作 PEDC，交 AC 于点 E，动点 P、Q 的运动速度是每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 P 运动到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动（1）用含有 t 的代数式表示 PE= t+3 ；（2）探究：当 t 为何值时，四边形 PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点 P 和点 Q，使PQE 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 t 的值；若不存在，请说明理由考点： 四边形综合题分析： （1）由四边形 ABCD
37、为矩形，得到D 为直角，对边相等，可得三角形 ADC 为直角三角形，由 AD 与 DC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，再由 PE 平行于 CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形 APE 与三角形 ADC 相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到 y 与 x 的关系式；（2）若 QB 与 PE 平行，得到四边形 PQBE 为矩形，不合题意，故 QB 与 PE 不平行，当 PQ与 BE 平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由 AD 与BC 平行，得到一对内错角相等，可得出三角形 APQ 与三角形 BEC 相似，由相似得比例列出关于 x 的方程
38、，求出方程的解即可得到四边形 PQBE 为梯形时 x 的值；（3）存在这样的点 P 和点 Q，使 P、Q、E 为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当 Q 在 AE 上时，由 AEAQ 表示出 QE，再根据 PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE 三种情况，分别列出关于 x 的方程，求出方程的解即可得到满足题意 x 的值；当 Q 在 EC 上时，由 AQAE 表示出 QE，此时三角形为钝角三角形，只能 PE=QE 列出关于 x 的方程，求出方程的解得到满足题意 x 的值，综上，得到所有满足题意的 x 的值解答： 解：（1）四边形 ABCD 是矩形，D=90，AB=DC=3，AD=BC=4，在
39、 RtACD 中，利用勾股定理得：AC= =5，PECD，APE=ADC，AEP=ACD，APEADC，又PD=t，AD=4，AP=ADPD=4t，AC=5，DC=3，22 = = ，即 = = ，PE= t+3故答案为： t+3；（2）若 QBPE，四边形 PQBE 是矩形，非梯形，故 QB 与 PE 不平行，当 QPBE 时，PQE=BEQ，AQP=CEB，ADBC，PAQ=BCE，PAQBCE，由（1）得：AE= t+5，PA=4t，BC=4，AQ=t， = = ，即 = = ，整理得：5（4t）=16，解得：t= ，当 t= 时，QPBE，而 QB 与 PE 不平行，此时四边形 PQB
40、E 是梯形；（3）存在分两种情况：当 Q 在线段 AE 上时：QE=AEAQ= t+5t=5 t，（i）当 QE=PE 时，5 t= t+3，解得：x= ；（ii）当 QP=QE 时，QPE=QEP，APQ+QPE=90，PAQ+QEP=90，APQ=PAQ，AQ=QP=QE，t=5 t，解得，t= ；（iii）当 QP=PE 时，过 P 作 PFQE 于 F（如图 1） ，23可得：FE= QE= （5 t）= ，PEDC，AEP=ACD，cosAEP=cosACD= = ，cosAEP= = = ，解得 t= ；当点 Q 在线段 EC 上时，PQE 只能是钝角三角形，如图 2 所示：PE=EQ=AQAE，AQ=t，AE= t+5，PE= t+3， t+3=t（ t+5） ，解得 nt= 综上，当 t= 或 t= 或 t= 或 t= 时，PQE 为等腰三角形点评： 此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面
