1、中考数学一模试卷一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1计算（5） +3 的结果等于（ ）A 2 B 2 C 8 D 822sin60 的值等于（ ）A B 2 C 1 D 3下列标志中，不是中心对称的是（ ）A B C D 4在“ 百度 ”搜索引擎中输入“ 雾霾天气形成的原因”，搜索的相关结果约为 6430000，将数字 6430000 用科学记数法表示为（ ）A 6.43105 B 0.643107 C 64.3105 D 6.431065甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差S2 如下表所示：甲 乙 丙 丁8 9 9 8S2 1.
2、2 1 1.2 1若要选出一个成绩较好状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）A 甲 B 乙 C 丙 D 丁6一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（ ）A B C D 7估计 的值是（ ）A 在 3 与 4 之间 B 在 4 与 5 之间 C 在 5 与 6 之间 D 在 6 与 7 之间8如图，已知在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DEBC，EF AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB 等于（ ）A 5：8 B 3：8 C 3：5 D 2：59已知反比例函数 y= ，下列结论中不正确的是（ ）A 图象经过点（1，1）B 当 x0 时，y
3、随着 x 的增大而减小C 当 x0 时，0y1D 图象位于第一、三象限10正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）A B C D 11商品原价 389 元，经连续两次降价后售价为 279 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ）A 389（1x） 2=279 B 279（1x） 2=389 C 389（1 2x）=279 D 279（1 2x）=38912已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b24ac0； abc0； 8a+c0； 9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题（共 6 小题，每小题
4、3 分，满分 18 分）13计算 a3a5 的结果等于 14一次函数的图象过点（0，5） ，且与正比例函数 y=2x 的图象平行，则这个一次函数的解析式为 15将二次函数 y=x2+2x3 配方化为形如 y=a（x+h） 2+k 的形式是 16从一副没有“大小王” 的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5” 的概率是 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm ，点 E 在 BC 上，且 AE=CE，若将纸片沿 AE折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B1 重合，则 AC= cm18如图，已知四边形纸片 ABCD，现将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能
5、否做到： （用“能” 或“不能” 填空） 若“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“ 不能” ，请简要说明理由方法或理由： 三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答：（1）解不等式，得 ；（2）解不等式，得 ；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 20 “今天你光盘了吗？” 这是国家倡导“ 厉行节约，反对浪费” 以来的时尚流行语某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取的学生人数为 ；（2）
6、将两幅统计图补充完整；（3）请你估计该校 1200 名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数21 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，AB 是O 的直径，经过圆上点 D 的直线 CD 恰使ADC=B（1）求证：直线 CD 是 O 的切线；（2）过点 A 作直线 AB 的垂线交 BD 的延长线于点 E，且 AB=5，BD=2，求线段 AE 的长22 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B的仰角为 30，测得旗杆底部 C 的俯角为 60，已知点 A 距地面的高 AD 为 12m，求旗杆的高度 （ =1.414， =1.732，结果保留整数
7、）23 （10 分） （2009 乌鲁木齐）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；（2）若此单位恰好花费 7500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？24 （10 分） （2015 蓟县一模）如图 1，在 ABC 中，ACB=90，经过点 B
8、 的直线 l（l 不与直线 AB 重合）与直线 BC 的夹角的大小等于ABC，分别过点 C、A 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D、E（1）写出线段 AE、CD 之间的数量关系，并加以证明；（2）当ABC 的位置旋转到图 2 或图 3 时，设直线 CE、 AB 交于点 F，且 = ，CD=4，请你在图 2 和图 3 中任选一种情况，求此时 BD 的长25 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+8（a0）的图象与 x 轴交于点 A（2，0） ，B ，与 y 轴交于点 C，tanABC=2（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x
9、轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得经过点 P的直线 PM 垂直于直线 CD，且与直线 OP 的夹角为 75？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1计算（5） +3 的结果等于（ ）A 2 B 2 C 8 D 8考点： 有理数的加法 分析： 依据有理数的加法法则计算即可解答： 解：（5）+3=（5 3）=2故选：B点评：
10、 本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键22sin60 的值等于（ ）A B 2 C 1 D 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 根据特殊角三角函数值，可得答案解答： 解：2sin60=2 = ，故选：A点评： 本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值3下列标志中，不是中心对称的是（ ）A B C D 考点： 中心对称图形 分析： 根据中心对称图形的概念求解解答： 解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，故本选项错误故选：C点评： 本题考查了中心对称
11、图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合4在“ 百度 ”搜索引擎中输入“ 雾霾天气形成的原因”，搜索的相关结果约为 6430000，将数字 6430000 用科学记数法表示为（ ）A 6.43105 B 0.643107 C 64.3105 D 6.43106考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：6430000=6.431
12、0 6，故选：D点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差S2 如下表所示：甲 乙 丙 丁8 9 9 8S2 1.2 1 1.2 1若要选出一个成绩较好状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）A 甲 B 乙 C 丙 D 丁考点： 方差；算术平均数 分析： 根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度解答： 解：乙、丙射击成绩的平均环数较大，乙、丙成绩较好，乙的方差丙的方差，乙比较稳定，成绩较好状态
13、稳定的运动员是乙，故选：B点评： 本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键6一个几何体如图所示，则该几何体的三视图正确的是（ ）A B C D 考点： 简单几何体的三视图 分析： 根据几何体的形状，从三个角度得到其三视图，即可得出答案解答： 解：从正面看应该是实线分成的三个矩形，左视图应该是个矩形，俯视图是一个梯形故选 D点评： 此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形7估计 的值是（ ）A 在 3 与 4 之间 B 在 4 与 5 之间 C 在
14、5 与 6 之间 D 在 6 与 7 之间考点： 估算无理数的大小 分析： 利用“夹逼法” 得到：253236，然后开方即可得到答案解答： 解：253236，5 6， 的值在 5 与 6 之间故选：C点评： 本题考查了估算无理数的大小注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力， “夹逼法” 是估算的一般方法，也是常用方法8如图，已知在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DEBC，EF AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB 等于（ ）A 5：8 B 3：8 C 3：5 D 2：5考点： 平行线分线段成
15、比例 分析： 先由 AD：DB=3 ：5，求得 BD：AB 的比，再由 DEBC，根据平行线分线段成比例定理，可得 CE：AC=BD：AB，然后由 EFAB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE ： AC，则可求得答案解答： 解：AD：DB=3 ：5，BD：AB=5：8，DEBC，CE：AC=BD：AB=5 ：8，EFAB，CF：CB=CE：AC=5：8故选 A点评： 此题考查了平行线分线段成比例定理此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键9已知反比例函数 y= ，下列结论中不正确的是（ ）A 图象经过点（1，1）B 当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小C 当 x
16、0 时，0y1D 图象位于第一、三象限考点： 反比例函数的性质 分析： 根据反比例函数的性质，利用排除法求解解答： 解：A、x=1 ，y= =1，图象经过点（1，1） ，正确；B、k=10，当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小，正确C、k=10，图象在第一象限内 y 随 x 的增大而减小， 当 x1 时，0y1，错误；D、 k=10，图象在第一、三象限，正确；故选 C点评： 本题主要考查反比例函数的性质，当 k0 时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 的值随 x 的值的增大而减小10正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）A B C D 考点： 正多边形和圆 分析： 作出正三角形
17、的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形解直角三角形即可解答： 解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径，所以内切圆面积与外接圆面积之比=（sin60） 2= 故选：D点评： 本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以分六个全等等边三角形进而得出是解题关键11商品原价 389 元，经连续两次降价后售价为 279 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ）A 389（1x） 2=279 B 279（1x） 2=389 C 389（1 2x）=279 D 279（1
18、2x）=389考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 增长率问题分析： 增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为 x，可以用 x 表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程解答： 解：根据题意可得两次降价后售价为 389（1x） 2，方程为 389（1 x） 2=279故选：A点评： 本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式 a（1+x）2=c，其中 a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率12已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论
19、：b24ac0； abc0； 8a+c0； 9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4考点： 二次函数图象与系数的关系 专题： 压轴题分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解：由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b 24ac0，故正确；抛物线开口向上，得：a 0；抛物线的对称轴为 x= =1，b=2a，故 b0；抛物线交 y 轴于负半轴，得：c0；所以 abc0；故正确；根据可将抛物线的解析式化为：y=ax 2
20、2ax+c（a0） ；由函数的图象知：当 x=2 时，y0；即 4a（4a）+c=8a+c0，故正确；根据抛物线的对称轴方程可知：（ 1，0）关于对称轴的对称点是（3，0） ；当 x=1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确；所以这四个结论都正确故选：D点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13计算 a3a5 的结果等于 a 2 考点： 同底数幂的乘法；负整数指数幂 分析： 根据同底数幂的乘法底数不变指
21、数相加，可得答案解答： 解：a 3a5=a3+5=a2，故答案为：a 2点评： 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加14一次函数的图象过点（0，5） ，且与正比例函数 y=2x 的图象平行，则这个一次函数的解析式为 y=2x+5 考点： 两条直线相交或平行问题 分析： 先利用 y=2x 确定一次函数解析式为 y=2x+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答： 解：因为一次函数的图象过点（0，5） ，与正比例函数 y=2x 的图象平行，可设一次函数的解析式为 y=2x+b，把（0，5）代入解析式可得：b=5，所以解析式为：y= 2x+5，故答案为：y=2x+5点评： 本题
22、考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即 k 值相同也考查了待定系数法求一次函数解析式15将二次函数 y=x2+2x3 配方化为形如 y=a（x+h） 2+k 的形式是 y=（x 1） 22 考点： 二次函数的三种形式 分析： 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式解答： 解：y= x2+2x3=（x 22x+1）+1 3=（x1） 22点评： 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c（a0，
23、a 、b、c 为常数） ；（2）顶点式：y=a（xh） 2+k；（3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx 1） （x x2） 16从一副没有“大小王” 的扑克牌中随机地抽取一张，点数为“5” 的概率是 考点： 概率公式 分析： 随机地抽取一张，总共有 52 种情况，其中点数是 5 有四种情况根据概率公式进行求解解答： 解：点数为“5” 的概率是 点评： 如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm ，点 E 在 BC 上，且 AE=CE，若将纸片沿 AE折叠，点 B 恰好
24、与 AC 上的点 B1 重合，则 AC= 12 cm考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 由翻折的性质可知；AB 1=AB， AB1E=90，然后由等腰三角形的性质可知AB1=CB1，从而可求得 AC 的长解答： 解：ABCD 为矩形，ABC=90由翻折的性质可知：AB 1E=ABE=90，AB 1=AB=6EB1AC又 AE=CE，AB1=B1C，AC=2AB1=26=12故答案为：12点评： 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质证得AB1=B1C 是解题的关键18如图，已知四边形纸片 ABCD，现将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多
25、有两条，能否做到： 能 （用“能” 或“不能” 填空） 若“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由方法或理由： 取四边形纸片 ABCD 各边的中点 E、F、G、H ，连接 EG、FH，则 EG、FH 为裁剪线，将 2绕 H 旋转 180、4 绕 G 旋转 180，4 沿 BD 方向平移，使 B 与 D 重合 考点： 图形的剪拼 分析： 取四边形纸片 ABCD 各边的中点 E、F、G、H ，连接 EG、FH，则 EG、FH 为裁剪线把四边形分成四部分，根据平移、旋转的性质和平行四边形的判定剪拼即可解答： 解：能做到，方法如下：如图，取四边形纸片 ABCD 各边的中
26、点 E、F、G、H ，连接 EG、FH ，则 EG、FH 为裁剪线，将 2 绕 H 旋转 180、4 绕 G 旋转 180，4 沿 BD 方向平移，是 B 与 D 重合，拼成的四边形满足条件故答案为：能；如图，取四边形纸片 ABCD 各边的中点 E、F、G、H，连接 EG、FH，则EG、FH 为裁剪线，将 2 绕 H 旋转 180、4 绕 G 旋转 180，4 沿 BD 方向平移，使 B 与 D重合点评： 本题考查的是图形的剪拼，掌握平行四边形的判定定理和图形的旋转、平移是解题的关键三、解答题（共 7 小题，满分 66 分）19解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答：（1）解不等式，得 x
27、 2 ；（2）解不等式，得 x 1 ；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 1x 2 考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 分析： 首先计算出两个不等式的解集，然后再根据两个不等式的解集在数轴上表示出来，最后根据数轴再确定不等式组的解集解答： 解：（1）解不等式，得 x2；（2）解不等式，得 x1；（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为1 x 2点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到用数轴表示不等式的解集时，要注意“
28、两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点20 “今天你光盘了吗？” 这是国家倡导“ 厉行节约，反对浪费” 以来的时尚流行语某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取的学生人数为 200 ；（2）将两幅统计图补充完整；（3）请你估计该校 1200 名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析： （1）根据扇形统计图所给的数据，求出赞成的所占的
29、百分比，再根据赞成的人数，即可求出总人数；（2）根据总人数和所占的百分比，即可补全统计图；（3）用赞成所占的百分比乘以总人数，即可得出该校 1200 名学生中对“光盘行动” 持赞成态度的人数解答： 解：（1）赞成的所占的百分比是 130%10%=60%，抽取的学生人数为：120 60%=200（人） ；故答案为：200（2）根据题意得：无所谓的人数是：200 30%=60（人） ，反对的人数是：200 10%=20（人） ，补图如下：（3）根据题意得：120060%=720（人） ，答：该校 1200 名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数有 720 人点评： 此题考查了条形统计图和扇形统计图
30、，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，AB 是O 的直径，经过圆上点 D 的直线 CD 恰使ADC=B（1）求证：直线 CD 是 O 的切线；（2）过点 A 作直线 AB 的垂线交 BD 的延长线于点 E，且 AB=5，BD=2，求线段 AE 的长考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质 专题： 证明题分析： （1）连结 OD，由 OD=OB 得ODB=B，而ADC=B，则ODB=ADC ；再根据圆周角定理得ADB=90，则ADO+ ADC=9
31、0，即ODC=90 ，然后根据切线的判定定理即可得到直线 CD 是 O 的切线；（2）先根据勾股定理计算出 DA= ，再根据三角形相似的判定方法证明EABADB，然后利用相似比即可计算出 AE 的长解答： （1）证明：连结 OD，如图，OD=OB，ODB=B，ADC=B，ODB=ADC；AB 是O 的直径，ADB=ADO+ODB=90，ADO+ADC=90，即ODC=90 ，ODCD，直线 CD 是O 的切线；（2）解：在 RtABD 中，AB=5，BD=2，DA= = ，AEAB，EAB=90，ABE=DBA，EABADB， = ，即 =AE= 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外
32、端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质22 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，小明在楼上点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B的仰角为 30，测得旗杆底部 C 的俯角为 60，已知点 A 距地面的高 AD 为 12m，求旗杆的高度 （ =1.414， =1.732，结果保留整数）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 过 A 作 AEBC 于 E，在 RtACE 中，已知了 CE 的长，可利用俯角CAE 的正切函数求出 AE 的值；进而在 RtABE 中，利用仰角BAE 的正切函数求出 BE 的长；BC=BE+CE解答： 解：过 A
33、作 AEBC 于 EADCE，RtACE 中， CE=AD=12m， CAE=60，AE=CEtan60=4 RtAEB 中，AE=4 ，BAE=30，BE=AEtan30=4BC=BE+CE=4+12=16 米答：旗杆高 16 米点评： 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形23 （10 分） （2009 乌鲁木齐）有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减
34、 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；（2）若此单位恰好花费 7500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？考点： 一元二次方程的应用 专题： 优选方案问题分析： （1）把数量 6 分别代入甲乙两公司的计算方法即可求出到哪家公司购买花费较少；可以利用等式总花费=单价数量；（2）把总价 7500 代入甲乙两公司的计算方法，看哪个适合题意解答： 解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 6（800206）=4080（元
35、） ，在乙公司购买需要用 75%8006=3600（元）4080（元） ，应去乙公司购买；（2）设该单位买 x 台，若在甲公司购买则需要花费 x（80020x）元；若在乙公司购买则需要花费 75%800x=600x 元；若该单位是在甲公司花费 7500 元购买的图形计算器，则有 x（80020x ）=7500，解之得 x1=15，x 2=25当 x1=15 时，每台单价为 8002015=500440，符合题意；当 x2=25 时，每台单价为 8002025=300440，不符合题意，舍去若该单位是在乙公司花费 7500 元购买的图形计算器，则有 600x=7500，解之得 x=12.5，不符
36、合题意，舍去答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台点评： 本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题只要把握住总花费=单价数量，这一等量关系，解决此题就会比较容易注意不要忽视了单价不低于 440 元这个条件24 （10 分） （2015 蓟县一模）如图 1，在 ABC 中，ACB=90，经过点 B 的直线 l（l 不与直线 AB 重合）与直线 BC 的夹角的大小等于ABC，分别过点 C、A 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D、E（1）写出线段 AE、CD 之间的数量关系，并加以证明；（2）当ABC 的位置旋转到图 2 或图 3 时，设直线 CE、 AB 交于点 F，且 = ，C
37、D=4，请你在图 2 和图 3 中任选一种情况，求此时 BD 的长考点： 相似形综合题 分析： （1）根据GCDGAE 后即可证明猜想正确（2）分当点 F 在线段 AB 上时和点 F 在线段 BA 的延长线上时利用 AGHAEB 求得线段 BD 的长即可解答： （1）线段 AE、CD 之间的数量关系为 AE=2CD证明：如图 1，延长 AC 与直线 l 交于点 G依题意，可得1=2ACB=90，3=4BA=BGCA=CGAEl，CD l，CDAEGCDGAE， ，AE=2CD（2）解：当点 F 在线段 AB 上时，如图 2，过点 C 作 CGl 交 AE 于点 H，交 AB 于点 G2=HCB
38、1=2，1=HCBCH=BHACB=90，3+1=HCB+4=903=4CH=AH=BHCGl，FCGFEB ，设 CH=5x，BE=6x，则 AB=10x在 AEB 中， AEB=90，AE=8x由（2）得，AE=2CDCD=4，AE=8x=1AB=10，BE=6，CH=5 CGl，AGHAEB ，HG=3CG=CH+HG=8CGl， CDAE，四边形 CDEG 为平行四边形DE=CG=8BD=DEBE=2，当点 F 在线段 BA 的延长线上时，如图 3，同理可得 CH=5，GH=3，BE=6DE=CG=CHHG=2BD=DE+BE=8BD=2 或 8点评： 本题考查了相似形综合知识的应用，
39、题目中还涉及到了相似三角形的判定与性质及解直角三角形的知识，难度较大，此类题目应重点掌握辅助线的做法25 （10 分） （2015 蓟县一模）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+8（a0）的图象与 x 轴交于点 A（2，0） ，B ，与 y 轴交于点 C，tanABC=2（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得经过点 P的直线 PM 垂直于直线 CD，且与直线 OP 的夹角为 75？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对
40、称轴向上平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题；数形结合分析： （1）易知点 C 的坐标，那么在 RtBOC 中，根据 tanABC 的值即可得到点 B 的坐标然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，通过对解析式进行配方能得到顶点 D 的坐标；（2）首先确定直线 CD 的解析式以及点 E 的坐标，易得出EOC 是等腰直角三角形的结论，那么在四边形 ENPM（以解答图为参考）中，根据四边形内角和可以求出OPN 的度数，那么 PN 的长就可以在 RtOPN 中求出，以此求得点 P 的坐标；（3）若抛物线向上平移，首先
41、表示出平移后的函数解析式；当 x=8 时（与点 E 横坐标相同） ，求出新函数的函数值，若抛物线与线段 EF 有公共点，那么该函数值应不大于点 E 的纵坐标当 x=4 时（与点 F 的横坐标相同） ，方法同上，结合上述两种情况，即可得到函数图象的最大平移单位解答： 解：（1）由抛物线的解析式知，点 C（0，8） ，即 OC=8；RtOBC 中，OB=OC tanABC=8 =4，则 点 B（4，0） 将 A、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得 ，抛物线的解析式：y= x2+2x+8=（x 1） 2+9，顶点 D（1，9） ；（2）设直线 CD 的解析式为：y=kx+8，将点 D 坐标代
42、入上式，得： k=1；直线 CD：y=x+8，点 E（8 ，0） OC=OE=8，CEB=45在四边形 EMPN 中（如右图） ，MPN=180CEB=135（ PME、PNO 都是直角） ，当 OPM=75时， OPN=13575=60；在 RtOPN 中，ON= OB=2，PN= ；当 OPQ=75时， OPN=135+75180=30，在 RtOPN 中，ON= OB=2，PN=2 ；综上，存在符合条件的 P 点，且坐标为 （2， ）或（2，2 ） ；（3）由（2）的直线 CD 解析式，可得：E（8，0） ，F（ 4，12） 设抛物线向上平移 m 个单位长度（ m0） ，则抛物线的解析式为： y=（x1） 2+9+m；当 x=8 时，y=m72，当 x=4 时，y=m，m720 或 m12，0 m72，抛物线最多向上平移 72 个单位点评： 本题考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、四边形的内角和、解直角三角形等综合知识最后一个小题要结合图形来进行解答，若题目没有明确“向上平移” ，该题就需要进行分类讨论，要注意解题方法的总结和拓展
