1、2015-2016 学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )Ax+3=5 B2x 3y=4 C Dx 22x3=02已知 OA=3cm，以 O 为圆心，3cm 为半径作 O，则点 A 与O 的位置关系是( )A点 A 在O 上 B点 A 在O 内 C点 A 在O 外 D不确定3方程 x2=2x 的解是( )Ax=2 Bx=0 Cx 1=2，x 2=0 Dx 1= ，x 2=04如图，AB 为 O 的直径，点 C 在O 上，A=30 ，则 B 的度数为( )A15 B30 C45 D605判断一元二次方
2、程 x22x+1=0 的根的情况是( )A只有一个实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根6三角形的外心是三角形中( )A三条高的交点 B三条中线的交点C三条角平分线的交点 D三边垂直平分线的交点7正六边形的每个内角为( )A135 B120 C100 D908把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2） ， （4，6） ， （8，10，12） ，（14，16，18，20） ，现有等式 Am=（i，j ）表示正偶数 m 是第 i 组第 j 个数（从左往右数） 如 A2=（1，1） ，A 10=（3，2） ，A 18=（4，3） ，则 A2016 可表示为( )A
3、（45，18） B （45，19 ） C （44，18） D （44，19）二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）9使二次根式 有意义的 x 的取值范围是_10已知反比例函数 的图象经过点（2，3） ，则 m=_11若将一元二次方程 x2+4x7=0 化为（x+2） 2=k，则 k=_12如图，将直角三角板 45的角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，C 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合） ，则ACB 的度数是_13已知分式 的值为 0，则 x=_14如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若 D=100，则ABC 的度数
4、是_15为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的 60 元降至48.6 元，则平均每次降价的百分率为_%16已知O 的直径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 5，直线 l 与O 的位置关系是_17如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则切线 PQ 的最小值为_18如图，直线 y= x+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，现将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转一周，则线段 AB 扫过的面积为_三、解答题（共 10 小题，满分 96 分）19解方程（1） （
5、x2） 2=9（2）x 26x5=020如图，AB、CD 是 O 的直径，弦 CEAB，弧 CE 的度数为 40，求 AOC 的度数21已知关于 x 的方程 x2（ k+2）x+2k=0（1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有实数根；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值22如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上，DAB=45，以 AB、AD 为邻边作平行四边形 ABCD（1）判断直线 CD 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 23先化简，再求值： （1 ） ，其中 x 是方程（x+2 ） （x+1）=0 的一个根24如
6、图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DEAF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G，若 BF=FC=2，试求 的长25商场某种新商品每件进价是 40 元，在试销期间发现，当每件商品售价 50 元时，每天可销售 500 件，当每件商品售价高于 50 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 10 件据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为 55 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上 述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到 8000
7、元？26在长方形 ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动如果P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动设运动时间为 t秒（1）填空：BQ= _，PB=_（用含 t 的代数式表示） ；（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5cm？（3）是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由27如图 1，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，
8、AD BC，垂足为 D， = ，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G（1）判断FAG 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若点 E 和点 A 在 BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点 G，AD 的延长线交BE 于点 F，其余条件不变， （1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若 BG=10，BDDF=1，求 AB 的长28 【问题情境】如图 1，P 是O 外的一点，直线 PO 分别交 O 于点 A、B小明认为线段 PA 是点 P 到O 上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在O 上任意取一个不同于点 A 的点 C，连接 OC、CP，则有 OPOC+PC ，即 O
9、POCPC，由OA=OC 得 OPOAPC，即 PAPC ，从而得出线段 PA 是点 P 到O 上各点的距离中最短的线段小红认为在图 1 中，线段 PB 是点 P 到O 上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】如图 3，在 RtABC 中， ACB=90，AC=BC=2 ，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，P 是上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是_【构造运用】如图 4，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A=60 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到A MN，连接 AC，请求出 AC 长度的
10、最小值解：由折叠知 AM=AM，又 M 是 AD 的中点，可得 MA=MA=MD，做点 A在以 AD 为直径的圆上，如图 5，以点 M 为圆心，MA 为半径画 M，过 M 作 MHCD，垂足为 H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图 6，ABC、EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线AG、FC 相交于点 M，当EFG 绕点 D 旋转时，则线段 BM 长的最小值和最大值分别是_和_一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )Ax+3=5 B2x 3y=4 C Dx 22x3=0【考点】
11、一元二次方程的定义 【分析】只还有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是 2 次的整式方程，叫一元二次方程，根据以上定义逐个判断即可【解答】解：A、不是一元二次方程，故本选项错误；B、不是一元二次方程，故本选项错误；C、不是一元二次方程，故本选项错误；D、是一元二次方程，故本选项正确故选 D【点评】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键2已知 OA=3cm，以 O 为圆心，3cm 为半径作 O，则点 A 与O 的位置关系是( )A点 A 在O 上 B点 A 在O 内 C点 A 在O 外 D不确定【考点】点与圆的位置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得
12、出结论【解答】解：OA=3cm，O 的半径为 3cm，点 A 在圆上故选 A【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键3方程 x2=2x 的解是( )Ax=2 Bx=0 Cx 1=2，x 2=0 Dx 1= ，x 2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先移项，再提公因式，解两个一元一次方程即可【解答】解：移项得，x 22x=0，提公因式得 x（x2）=0 ，x=0 或 x2=0，x1=0，x 2=2，故选 C【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法4
13、如图，AB 为 O 的直径，点 C 在O 上，A=30 ，则 B 的度数为( )A15 B30 C45 D60【考点】圆周角定理 【分析】根据直径所对的圆周角为 90，可得C 的度数，再利用三角形内角和定理进行计算【解答】解：AB 为O 的直径，C=90，A=30，B=1809030=60故选 D【点评】此题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，题目比较简单5判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是( )A只有一个实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D没有实数根【考点】根的判别式 【分析】先计算出=（ 2） 2411=0，然后根据 的意义进行判断方程根的情况【解答】解
14、：= （2） 2411=0，方程有两个相等的实数根故选 B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根6三角形的外心是三角形中( )A三条高的交点 B三条中线的交点C三条角平分线的交点 D三边垂直平分线的交点【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】根据外心的定义即可判断【解答】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点故选 D【点评】本题是一个需要熟记的内容7正六边形的每个内角为( )A135 B120 C100 D90【考点】多边形内角与外角 【分析】先利用多
15、边形的内角和公式（n2） 180求出正六边形的内角和，然后除以 6 即可；或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算【解答】解：（62） 180=720，所以，正六边形的每个内角都是 7206=120，或：360 6=60，18060=120故选 B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便8把所有正偶数从 小到大排列，并按如下规律分组：（2） ， （4，6） ， （8，10，12） ，（14，16，18，20） ，现有等式 Am=（i，j ）表
16、示正偶数 m 是第 i 组第 j 个数（从左往右数） 如 A2=（1，1） ，A 10=（3，2） ，A 18=（4，3） ，则 A2016 可表示为( )A （45，18） B （45，19 ） C （44，18） D （44，19）【考点】规律型：数字的变化类 【分析】先计算出 2016 是第 1008 个数，然后判断第 1008 个数在第几组，进一步判断是这一组的第几个数即可【解答】解：2016 是第 1008 个数，设 2016 在第 n 组，则 1+2+3+4+n= n（n+1） ，当 n=44 时， n（n+1 ）=990；当 n=45 时， n（n+1 ）=1035；故第 100
17、8 个数在第 45 组，第 45 组的第一个数为：2 990+2=1982，则 20 16 是（ +1）=18 个数故 A2016=（45， 18） 故选：A【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规律，利用规律解决问题二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）9使二次根式 有意义的 x 的取值范围是 x3【考点】二次根式有意义的条件 【专题】计算题【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解【解答】解：根据二次根式的意义，得 x+30，解得 x3故答案为：x3【点评】用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数10已知反比例函数 的图象
18、经过点（2，3） ，则 m=6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】把点（2，3）代入双曲线 y= ，求出 m 的值【解答】解：点（2，3）在双曲线 y= 上，m=23=6，故答案为：6【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键11若将一元二次方程 x2+4x7=0 化为（x+2） 2=k，则 k=11【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 4 配方得到结果，即可确定出 k 的值【解答】解：方程 x2+4x7=0，移项得：x 2+4x=7，配方得：x 2+4x+4=11，即（x+2
19、） 2=11，则 k=11，故答案为：11【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键12如图，将直角三角板 45的角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，C 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合） ，则ACB 的度数是 22.5【考点】圆周角定理 【分析】由将直角三角板 45的角的顶点放在圆心 O 上，可得AOB=45 ，然后由圆周角定理，求得ACB 的度数【解答】解：根据题意得：AOB=45，ACB= AOB=22.5故答案为：22.5【点评】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的
20、圆心角的一半13已知分式 的值为 0，则 x=1【考点】分式的值为零的条件 【专题】计算题【分析】分式的值为 0 的条件是：（1）分子=0；（2）分母0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：由分式 的值为 0 可得，x 21=0 解得：x=1；分母 x+10，即 x1所以 x=1故答案为 1【点评】当分式的值为零时，其分子等于 0，分母不等于 0，所以在解题的过程中利用分子等于 0 解方程求出的未知数的值，一定要代入分母检验使分子等于 0，分母不等于 0 的数才是方程的解此类题型的易错点在于，求出的值没有代入分母检验，导致使方程没有意义的根出现14如图，四边形 ABCD 是O
21、 的内接四边形，若 D=100，则ABC 的度数是 80【考点】圆内接四边形的性质 【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D=100，ABC=180100=80故答案为：80【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键15为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的 60 元降至48.6 元，则平均每次降价的百分率为 10%【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】降低后的价格=降低前的价格（1降低率） ，如果设平均每次降价的百分率是 x，则第一次降低后的价格是 60
22、（1x） ，那么第二次后的价格是 60（1 x） 2，即可列出方程求解【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，依题意列方程：60（1x） 2=48.6，解方程得 x1=0.1=10%，x 2=1.9（舍去） 故平均每次降价的百分率为 10%【点评】本题比较简单，考查的是一元二次方程在实际生活中的运用，属较简单题目16已知O 的直径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 5，直线 l 与O 的位置关系是相离【考点】直线与圆的位置关系 【分析】由已知条件得出O 的半径 r=4，d=5r ，即可得出直线 l 与 O 的位置关系【解答】解：O 的直径为 8，O 的半径 r=4，圆心 O 到直线 l
23、的距离为 5，d r，直线 l 与 O 的位置关系是相离；故答案为：相离【点评】本题考查了直线与圆的位置关系；熟练掌握 dr 时直线与圆相离是解决问题的关键17如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则切线 PQ 的最小值为 2 【考点】切线的性质；等腰直角三角形 【专题】压轴题【分析】首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知 PQ2=OP2OQ2，可得当 OPAB 时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案【解答】解：连接 OP、OQPQ 是 O 的切线，OQPQ；根据勾股定理知 PQ
24、2=OP2OQ2，当 POAB 时，线段 PQ 最短，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ，AB= OA=6，OP= =3，PQ= = =2 故答案为：2 【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当 POAB 时，线段 PQ 最短是关键18如图，直线 y = x+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，现将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转一周，则线段 AB 扫过的面积为 7【考点】一次函数图象上点的坐标特征；扇形面积的计算 【分析】根据解析式求得 A、 B 的坐标，从而求得 OA=3，OB=4，利用圆的面积就可求得线段 AB
25、 扫过的面积【解答】解：由直线 y= x+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，可知 A（3，0） ，B（0，4） ，OA=3，OB=4，线段 AB 扫过的面积为： 4232=7；故答案为 7【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆的面积的计算等，求得 OA、OB 的长是解题的关键三、解答题（共 10 小题，满分 96 分）19解方程（1） （x2） 2=9（2）x 26x5=0【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程 -直接开平方法 【分析】 （1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解
26、答】解：（1）两边开方得：x2=3，解得：x 1=5，x 2=1；（2）x 26x5=0，x26x=5，x26x+9=5+9，（x3） 2=14，x3= ，x1=3+ ，x 2=3 【点评】本 题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键20如图，AB、CD 是 O 的直径，弦 CEAB，弧 CE 的度数为 40，求 AOC 的度数【考点】圆心角、弧、弦的关系 【专题】计算题【分析】连接 OE，由弧 CE 的度数为 40，得到COE=40，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出OCE= （180 40）2=70，而弦 CEAB，即可得到AOC=OCE=70
27、【解答】解：连接 OE，如图，弧 CE 的度数为 40，COE=40，OC=OE，OCE=OEC，OCE=（180 40） 2=70，弦 CEAB，AOC=OCE=70【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理21已知关于 x 的方程 x2（ k+2）x+2k=0（1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有实数根；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值【考点】根的判别式；一元二次方程的解 【分析】 （1）先计算判别式的值得到=（k 2） 2，然后根据非负数的性质得0
28、，则根据判别式的意义得到结论；（2）把 x=1 代入方程得出关于 k 的方程，求得 k 的数值即可【解答】 （1）证明：= （k+2） 242k=k24k+4=（k2） 20，无论 k 取何实数，该方程总有实数根；（2）把 x=1 代入方程 x2（k+2）x+2k=0 得1（ k+2）+2k=0，解得：k=1【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（=b 24ac）：一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根与=b 24ac 有如下关系：当 0 时 ，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根也考查了根的意义22如图，AB 是 O 的直径
29、，点 D 在 O 上，DAB=45，以 AB、AD 为邻边作平行四边形 ABCD（1）判断直线 CD 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 【考点】切线的判定；平行四边形的性质；扇形面积的计算 【分析】 （1）连结 OD，由于 OA=OD，BAD=45，所以AOD=90，根据平行四边形的性质得 ADBC，则ODC= AOD=90，于是可根据切线的判定定理判断 CD 为O 的切线；（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S 梯形 OBCDS 扇形 BOD 进行计算即可【解答】解：（1）直线 CD 与O 相切理由如下：连结 OD，
30、如图，OA=OD，DAB=45，AOD=90，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ODC=AOD=90，即 OCCD，CD 为O 的切线；（2）阴影部分的面积=S 梯形 OBCDS 扇形 BOD= （2+4）2 =6【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了平行四边形的性质和扇形面积公式23先化简，再求值： （1 ） ，其中 x 是方程（x+2 ） （x+1）=0 的一个根【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行
31、化简，再求出 x 的值代入进行计算即可【解答】解：原式= = = ，解方程（x+2） （x+1 ）=0 得， x1=1，x 2=2，当 x=1 时，原式无意义；当 x=2 时，原式= = 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键24如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DEAF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G，若 BF=FC=2，试求 的长【考点】矩形的性质；弧长的计算 【分析】 （1）根据矩形的性质得出B=90，AD=BC，ADBC ，求出DAE=AFB
32、，AED=90=B ，根据 AAS 推出ABFDEA 即可；（2）根据勾股定理求出 AB，解直角三角形求出BAF ，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=2 ， GDE=BAF=30，根据弧长公式求出即可【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，B=90，AD=BC，AD BC，DAE=AFB，DEAF，AED=90=B，在ABF 和 DEA 中ABFDEA（AAS） ，DE=AB；（2）解：BC=AD ，AD=AF，BC=AF，BF=2，ABF=90，由勾股定理得：AB= =2 ，BAF=30，ABFDEA，GDE=BAF=30，DE=AB=DG=2 ， 的长为 = 【点评】本题考
33、查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键25商场某种新商品每件进价是 40 元，在试销期间发现，当每件商品售价 50 元时，每天可销售 500 件，当每件商品售价高于 50 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 10 件据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为 55 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到 8000 元？【考点】一元二次方程的应用 【专题】应用题【分析】 （1）首先求出每天可销售商品 数量，然
34、后可求出日盈利；（2）设商场日盈利达到 8000 元时，每件商品售价为 x 元，根据每件商品的盈利销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可【解答】解：（1）当每件商品售价为 55 元时，比每件商品售价 50 元高出 5 元，即 5550=5（元） ，则每天可销售商品 450 件，即 500510=450（件） ，商场可获日盈利为（5540） 450=6750（元） 答：每天可销售 450 件商品，商场获得的日盈利是 6750 元；（2）设商场日盈利达到 8000 元时，每件商品售价为 x 元则每件商品比 50 元高出（x50）元，每件可盈利（x 40）元，每日销售商品为 50010（x50）=
35、100010x（件） 依题意得方程（100010x） （ x40）=8000 ，整理，得 x2140x+4800=0，解得 x=60 或 80答：每件商品售价为 60 或 80 元时，商场日盈利达到 8000 元【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利销售的件数=商场的日盈利，列出方程是关键26在长方形 ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动如果P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运
36、动设运动时间为 t秒（1）填空：BQ= 2tcm，PB=（5 t）cm（用含 t 的代数式表示） ；（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5cm？（3）是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何动点问题【分析】 （1）根据 P、Q 两点的运动速度可得 BQ、PB 的长度；（2）根据勾股定理可得 PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；（3）根据题意可得PBQ 的面积为长方形 ABCD 的面积减去五边形 APQCD 的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到
37、方程，再解方程即可【解答】解：（1）P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，AP=tcm，AB=5cm，PB=（5t）cm ，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动，BQ=2tcm；（2）由题意得：（5t） 2+（ 2t） 2=52，解得：t 1=0（不合题意舍去） ，t 2=2；当 t=2 秒时，PQ 的长度等于 5cm；（3）存在 t=1 秒，能够使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2理由如下：长方形 ABCD 的面积是：56=30（cm 2） ，使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2，则 PBQ 的面积为 3
38、026=4（cm 2） ，（5t）2t =4，解得：t 1=4（不合题意舍去） ，t 2=1即当 t=1 秒时，使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB 的长度27如图 1，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，AD BC，垂足为 D， = ，BE 分别交 AD、AC 于点 F、G（1）判断FAG 的形状，并说明理由；（2）如图 2，若点 E 和点 A 在 BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点 G，AD 的延长线交BE 于点 F，其余条件不变， （1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条
39、件下，若 BG=10，BDDF=1，求 AB 的长【考点】圆的综合题 【分析】 （1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到BAD+ CAD=90， C+CAD=90，从而得到BAD=C，然后利用等弧对等角等知识得到 AF=BF，从而证得 FA=FG，判定等腰三角形；（2）成立，证明方法同（1） ；（3）首先根据上题得到 AF=BF=FG，从而利用已知条件得到 FB=5，然后利用勾股定理得到 BD=4，DF=3，从而求得 AD=2，最后求得 AB=2 【解答】解：（1）等腰三角形；BC 为直径，ADBC ，BAD+CAD=90， C+CAD=90，BAD=C， = ，ABE=C，ABE=BAD，A
40、F=BF，BAD+CAD=90， ABE+AGB=90，DAC=AGB，FA=FG，FAG 是等腰三角形；（2）成立；BC 为直径，ADBC ，BAD+CAD=90， C+CAD=90，BAD=C， = ，ABE=C，ABE=BAD，AF=BF，BAD+CAD=90， ABE+AGB=90，DAC=AGB，FA=FG，FAG 是等腰三角形；（3）由（2）得：AF=BF=FG，BG=10，FB=5， ，解得：BD=4， DF=3，AD=2，AB= =2 【点评】本题考查了圆的综合知识及垂径定理、勾股定理等知识，解题的过程中注意等腰三角形的判定与圆的知识的结合，难度不大28 【问题情境】如图 1，
41、P 是O 外的一点，直线 PO 分别交 O 于点 A、B小明认为线段 PA 是点 P 到O 上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在O 上任意取一个不同于点 A 的点 C，连接 OC、CP，则有 OP OC+PC，即 OPOCPC，由OA=OC 得 OPOAPC，即 PAPC ，从而得出线段 PA 是点 P 到O 上各点的距离中最短的线段小红认为在图 1 中，线段 PB 是点 P 到O 上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】如图 3，在 RtABC 中， ACB=90，AC=BC=2 ，以 BC 为直径的半圆交 AB 于 D，P 是上的一个动点，连接 AP
42、，则 AP 的最小值是 1【构造运用】如图 4，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，A=60 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到A MN，连接 AC，请求出 AC 长度的最小值解：由折叠知 AM=AM，又 M 是 AD 的中点，可得 MA=MA=MD，做点 A在以 AD 为直径的圆上，如图 5，以点 M 为圆心，MA 为半径画 M，过 M 作 MHCD，垂足为 H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图 6，ABC、EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线AG、FC 相交于点 M，当EFG 绕点
43、 D 旋转时，则线段 BM 长的最小值和最大值分别是 22 和 2 +2【考点】圆的综合题 【分析】 【问题情境】根据“三角形的两边之和大于第三边 ”进行证明；【直接运用】找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接AP1，EP 1，可见，AP 1+EP1AE，即 AP2 是 AP 的最小值，再根据勾股定理求出 AE 的长，然后减掉半径即可；【构造运用】根据题意得出 A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 AC 的长即可；【深度运用】取 AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如图，易证DAGDCF，则有DAG=DCF，从而可得 A、D 、C、M 四点共圆
44、，根据两点之间线段最短可得BOBM+OM，即 BMBOOM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，只需求出 BO、OM 的值，就可解决问题【解答】解：【问题情境】如答图 1，在圆 O 上任意取一个不同于点 B 的点 C，连接OC、OP则有 OP+OCPC由 OB=OC 得到：OP+OBPC，即 PBPC 从而得出线段 PB 是点 P 到圆 O 上各点的距离中最长的线段；【直接运用】如答图 2，找到 BC 的中点 E，连接 AE，交半圆于 P2，在半圆上取 P1，连接AP1，EP 1，可见，AP 1+EP1AE，即 AP2 是 AP 的最小值，AE= = ，P 2E=1，AP
45、2= 1故答案为： 1【构造运用】如答图 3 所示：MA是定值，A C 长度取最小值时，即 A在 MC 上时，过点 M 作 MHDC 于点 F，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A=60，M 为 AD 中点，2MD=AD=CD=4， HDM=60，HMD=30，HD= MD=1，HM=DMcos30= ，MC= =2 ，AC=MCMA=2 1；【深度运用】设 AC 的中点 O，连接 AD、DG、BO、OM，如答图 4ABC，EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，ADBC，GDEF ，DA=DG，DC=DF ，ADG=90CDG=FDC， = ，DAGDCF
46、，DAG=DCFA、 D、 C、M 四点共圆根据两点之间线段最短可得：BO BM+OM，即 BMBOOM，当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小，此时，BO= = =2 ，OM= AC=2，则 BM=BOOM=2 2根据两点之间线段最短可得：BMBO+OM ，当 M 在线段 BO 延长线与该圆的交点处时，线段 BM 最长，此时，BO= = =2 ，OM= AC=2，则 BM=BO+OM=2 +2故答案是：2 2；2 +2【点评】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系及圆的性质， 【构造运用】中确定出 DH 最小时点 H 的位置是解题关键， 【深度运用】中
