1、2015-2016 学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )Ax 2+ =0 Bx 2+3x=x21 C （x 1） （x2）=2 D3x 22y=02下列性质中正方形具有而菱形没有的是( )A对角线互相平分 B对角线相等C对角线互相垂直 D一条对角线平分一组对角3投掷一枚质地均匀的正方体骰子 600 次，朝上一面的点数为 3 的次数大约是( )A100 次 B200 次 C300 次 D400 次4若 ，则 的值为( )A B C D5若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值是(
2、 )Am1 Bm 1 Cm 1 Dm16如图，矩形 ABCD 中，E 在 AD 上，且 EFEC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为 16，则 AE 的长是( )A3 B4 C5 D77某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加 4100 米接力比赛，其中丁跑第一棒，丙跑第二棒的概率是( )A B C D8如图，要判断ADE 与 ACB 相似，添加一个条件，不正确的是( )AADE=C BAED= B CAE：DE=AB：BC DAE ：AD=AB：AC9如图，DEF 与ABC 是位似图形，点 O 是位似中心， D、E、F 分别是 OA、OB、OC的中点，则DEF 与ABC 的面积比是 ( )A
3、1：6 B1：5 C1：4 D1：210某商店以每件 16 元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过 30%，若毎件商品售价定为 x 元，则可卖出（1705x）件，商店预期要盈利 280 元， 那么每件商品的售价应定为( )A20 B20.8 C20 或 30 D30二、填空题（本大题有 8 小题，每题 3 分，共 24 分）11若 x1=1 是关于 x 的方程 x2+mx5=0 的一个根，则方程的另一个根x2=_，m= _12如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE 丄 AB 于点 E，PF 丄 AD 于点 F，PF=6cm，则 P 点到 AB 的距离是_13一水塘里
4、有鲤鱼、鲢鱼共 10000 尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为 0.36，则水塘有鲢鱼_尾14如图，ABCDEF，如果 AC：CE=2 ：3，BF=10，那么线段 DF 的长为_15已知 x2+8x+m2 是完全平方式，则 m 的值是_16如图，ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件_（只添一个即可） ，使ABCD 是矩形17已知两个相似三角形的周长比为 2：5，则它们的对应边上的中线之比为_18如果 m 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，n 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，那么关于 x 的一元二次方程 x22mx+n2=0 有实数根的概率为_三、解
5、答题（本题共 66 分）19用适当的方法解下列方程（1）x 24x+1=0（2）x（x3） 2=x3920如图，ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DEBC，DE=2，BC=5，S ABC=40，求 S 四边形 BCED21已知：如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE， 延长 DE 到点F，使得 EF=BE，连接 CF求证：四边形 BCFE 是菱 形22已知关于 x 的一元二次方程 2x2+ax+a3=0（1）证明无论 a 为何值该方程都有两个不相等的实根（2）若两实数根的平方和为 4 ，求 a 的值23如图，正方形 ABCD，动点 E 在 AC 上，
6、AFAC，垂足为 A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点 E 运动到 AC 中点时（其他条件都保持不变） ，问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由24甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘 A、B 平均分成 2 份和 3 份，并在每一份内标有数 字如图游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由25如图，巳知 AB 丄 BD，CD 丄 BD（1）若 AB=9，CD
7、=4 ，BD=10，请问在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在请说明理由；（2）若 AB=9，CD=4 ，BD=12，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为頂点的三角形相似？并求 BP 的长一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )Ax 2+ =0 Bx 2+3x=x21 C （x 1） （x2）=2 D3x 22y=0【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题【分析】利用一元二次
8、方程的定义判断即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程的 是（x1） （x2）=2故选 C【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键2下列性质中正方形具有而菱形没有的是( )A对角线互相平分 B对角线相等C对角线互相垂直 D一条对角线平分一组对角【考点】正方形的性质；菱形的性质 【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分【解答】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的故选 B【 点评】本题考查菱形的性质和正方形的性质，要熟记菱形和正方形的性质3投掷一枚质地均匀的正方
9、体骰子 600 次，朝上一面的点数为 3 的次数大约是( )A10 0 次 B200 次 C300 次 D400 次【考点】概率公式 【分析】由投掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为 3 的概率为： ，利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为 3 的概率为： ，投掷一枚质地均匀的正方体骰子 600 次，朝上一面的点数为 3 的次数大约是：600 =100（次） 故选 A【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4若 ，则 的值为( )A B C D【考点】比例的性质 【专题】计算题【分析】根据比例的性质，
10、由 可得出， = = 【解答】解：根据比例的性质，由 得， = = 故选 A【点评】本题考查了比例的合比性质，学生熟练掌握比例的几个性质，是正确解答的基础5若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值是( )Am1 Bm 1 Cm 1 Dm1【考点】根的判别式 【专题】判别式法【分析】方程没有实数根，则0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围【解答】解：由题意知，=4 4m0，m1故选：C【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6如图，矩形 ABCD 中，
11、E 在 AD 上，且 EFEC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为 16，则 AE 的长是( )A3 B4 C5 D7【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】计算题【分析】根据矩形的性质和 EFEC，EF=EC 求证AEFDCE，可得 AE=CD，再利用矩形的周长为 16，即可求出 AD，然后用 AD 减 DE 即可得出答案【解答】解：矩形 ABCD 中， EFEC，DE C+DCE=90， DEC+AEF=90AEF=DCE，又 EF=EC，AEFDCE，AE=CD，矩形的周长为 16，即 2CD+2AD=16，CD+AD=8，AD2+AD=8，AD=5，AE=ADDE=52=3
12、故选 A【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证AEFDCE7某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加 4100 米接力比赛，其中丁跑第一棒，丙跑第二棒的概率是( )A B C D【考点】列表法与树状图法 【分析】列举出所有情况，看乙跑第二棒的情况数占总情况数的多少即可【解答】解：画树状图得：甲跑第一棒有 6 种情况，同理，乙丙丁跑第一棒也各有 6 种情况，共有 24 种情况，其中甲跑第一棒，乙跑第二棒的情况数有 2 种，所以概率为 = 故选 B【点评】本题考查了概率的求法；得到所求的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与
13、总情况数之比8如图，要判断ADE 与 ACB 相似，添加一个条件，不正确的是( )AADE=C BAED= B CAE：DE=AB：BC DAE ：AD=AB：AC【考点】相似三角形的判定 【分析】本题中已知A 是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断【解答】解：由图得：A=A当 ADE=C 或 ADE=B 或 AE：AD=AB：AC 时，ADE 与ACB 相似；C 选项中 A 不是成比例的两边的夹角，不能判定 ADE 与ACB 相似故选：C【点评】此题考 查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则
14、两个三角形相似9如图，DEF 与ABC 是位似图形，点 O 是位似中心， D、E、F 分别是 OA、OB、OC的中点，则DEF 与ABC 的面积比是 ( )A1：6 B1：5 C1：4 D1：2【考点】位似变换【专题】计算题【分析】根据两三角形为位似图形，且点 O 是位似中心，D 、E、F 分别是 OA、OB、OC的中点，求出两三角形的位似比，根据面积之比等于位似比的平方即可求出面积之比【解答】解：DEF 与ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，D、E、F 分别是OA、OB、OC 的中点，两图形的位似之比为 1：2，则DEF 与 ABC 的面积比是 1：4故选 C【点评】此题考查了位似变换，
15、位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方10某商店以每件 16 元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过 30%，若 毎件商品售价定为 x 元，则可卖出（ 1705x）件，商店预期要盈利 280 元，那么每件商品的售价应定为( )A20 B20.8 C20 或 30 D30【考点】一元二次方程的应用 【分析】设每件商品的售价应定为 x 元，则利润为（x16） ，根据要盈利 280元，列方程求解【解答】解：设每件商品的售价应定为 x 元，则利润为（x16） ，由题意得， （1705x） （x 16） =280，解得：x 1=20，x 2=30，每件商
16、品的利润不得超过 30%，x=30 不合题意，舍去故选 A【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解二、填空题（本大题有 8 小题，每题 3 分，共 24 分）11若 x1=1 是关于 x 的方程 x2+mx5=0 的一个根，则方程的另一个根 x2=5，m= 4【考点】一元二次方程的解 【分析】首先将方程的一个根代入方程求得 m 的值，然后利用两根之积求得另一根即可【解答】解：根据题意，得1m5=0，解得，m=4；由韦达定理，知x1x2=5；解得 x2=5故答案是：5，4【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系在利用
17、根与系数的关系x1+x2= 、x 1x2= 来计算时，要弄清楚 a、b、c 的意义12如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE 丄 AB 于点 E，PF 丄 AD 于点 F，PF=6cm，则 P 点到 AB 的距离是 6cm【考点】菱形的性质；角平分线的性质 【分析】先根据菱形的性质得出 AC 是DAB 的平分线，再根据角平分线的性质即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，P 为菱形 ABCD 的对角线上的一点，AC 是DAB 的平分线，PEAD，PF AB，PF=6cm，PE=PF=6cm故答案为 6cm【点评】本题考查了菱形的性质以及角平分线的性质，熟记即角的平分线上的点
18、到角的两边的距离相等是解题关键13一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共 10000 尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为 0.36，则水塘有鲢鱼 6400 尾【考点】利用频率估计概率 【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共 10000 尾，而鲤鱼出现的频率为 31%，由此得到水塘有鲢鱼的频率，然后乘以总数即可得到水塘有鲢鱼又多少尾【解答】解：水塘里有鲤鱼、鲢鱼共 10000 尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为 0.36，鲤鱼出现的频率为 64%，水塘有鲢鱼有 1000064%=6400 尾故答案为：6400【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的思想，首先通过实验得到事件的频率，然后
19、即可估计事件的概率14如图，ABCDEF，如果 AC：CE=2 ：3，BF=10，那么线段 DF 的长为 6【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出 = = ，再根据 DF=BF 代入计算即可【解答】解：AB CDEF， = = ，BF=10，DF=10 =6；故答案为；6【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式15已知 x2+8x+m2 是完全平方式，则 m 的值是4【考点】完全平方式 【专题】计算题【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值【解答】解：x 2+8x+m2 是完全平
20、方式，m2=16，则 m=4，故答案为：4【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键16如图，ABCD 的对角线相交于点 O，请你添加一个条件 AC=BD（只添一个即可） ，使ABCD 是矩形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质 【专题】开放型【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可【解答】解：添加的条件是 AC=BD，理由是：AC=BD ，四边形 ABCD 是平行四边形，平行四边形 ABCD 是矩形，故答案为：AC=BD【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一17已知两个相似
21、三角形的周长比为 2：5，则它们的对应边上的中线之比为 2：5【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形的周长比求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到答案【解答】解：两个相似三角形的周长比为 2：5，两个相似三角形的相似比为 2：5，它们的对应边上的中线之比为 2：5，故答案为：2：5【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比18如果 m 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，n 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，那么关于 x 的一元二次方程 x22mx+n2=0
22、 有实数根的概率为 【考点】概率公式；根的判别式 【专题】压轴题【分析】从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数， 从 0，1，2 三个数中任取的一个数则共有 12 种结果，且每种结果出现的机会相同，关于 x 的一元二次方程 x22mx+n2=0 有实数根的条件是：4（m 2n2）0，在上面得到的数对中共有 9 个满足【解答】解：从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，从 0，1，2 三个数中任取的一个数则共有：43=12 种结果，满足关于 x 的一元二次方程 x22mx+n2=0 有实数根，则 =（2m） 24n2=4（m 2n2）0，符合的有 9 个，关于 x 的一元二次方程 x22mx
23、+n2=0 有实数根的概率为 【点评】本题是概率与一元二次方程的根的判别式相结合的题目正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程有根的条件是关键三、解答题（本题共 66 分）19用适当的方法解下列方程（1）x 24x+1=0（2）x（x3） 2=x39【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 【专题】计算题【分析】 （1）方程移项后，利用配方法求出解即可；（2）方程移项整理后，利用公式法求出解即可【解答】解：（1）方程移项得：x 24x=1，配方得：x 24x+4=3，即（x2） 2=3，开方得：x2= ，解得：x 1=2+ ，x 2=2 ；（2）方程整理得：x 36x2+
24、9x=x39，整理得：2x 23x3=0，这里 a=2，b= 3，c=3，=9+24=33，x= 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法与公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键20如图，ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DEBC，DE=2，BC=5，S ABC=40，求 S 四边形 BCED【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的性质，可得 ，根据面积的和差，可得答案【解答】解：DEBC， = = ，SADE= SABC= 40=6.4，S 四边形 BCED=SABCSADE=406.4=33.6【点评】本题考查了 相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质：面
25、积的比是相似比的平方21已知：如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点F，使得 EF=BE，连接 CF求证：四边形 BCFE 是菱形【考点】菱形的判定 【专题】证明题【分析】由题意易得，EF 与 BC 平行且相等， 四边形 BCFE 是平行四边形又EF=BE，四边形 BCFE 是菱形【解答】解：BE=2DE，EF=BE，EF=2DED、 E 分别是 AB、AC 的中点，BC=2DE 且 DEBCEF=BC又 EFBC，四边形 BCFE 是平行四边形又 EF=BE，四边形 BCFE 是菱形【点评】此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判
26、定22已知关于 x 的一元二次方程 2x2+ax+a3=0（1）证明无论 a 为何值该方程都有两个不相等的实根（2）若两实数根的平方和为 4 ，求 a 的值【考点】根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （1）先根据根与系数的关系求出“”，再根据“”的值推出即可；（2）设方程的两个根为 x1，x 2，根据根与系数的关系得出 x1+x2= ，x 1x2= ，根据两实数根的平方和为 4 得出关于 a 的方程，求出方程的解即可【解答】 （1）证明：=a 242（a 3）=a 28a+24=（a4） 2+8，因为不论 a 为何值， （a 4） 2+80，所以0，所以无论 a 为何值该方程都有两个不相等的
27、实根；（2）解：设方程的两个根为 x1，x 2，根据根与系数的关系得：x 1+x2= ，x 1x2= ，两实数根的平方和为 4 ，x12+x22=4 ，x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=（ ） 22 =4 ，即 a24a5=0，解得：a 1=5，a 2=1，即 a 的值是 5 或1【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中23如图，正方形 ABCD，动点 E 在 AC 上，AFAC，垂足为 A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点 E 运动到 AC 中点时（其他条件都保持不变） ，问四边形 AFBE 是什
28、么特殊四边形？说明理由【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据正方形的性质判定ADEABF 后即可得到 BF=DE；（2）利用正方形的判定方法判定四边形 AFBE 为正方形即可【解答】 （1）证明：正方形 ABCD，AB=AD，BAD=90，AFAC，EAF=90，BAF=EAD，在ADE 和 ABF 中ADEABF（SAS ） ，BF=DE；（2）解：当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形，理由：点 E 运动到 AC 的中点，AB=BC，BEAC，BE=AE= AC，AF=AE，BE=AF=AE，又 BEAC， FAE=BEC=90，BEA
29、F，BE=AF，得平行四边形 AFBE，FAE=90，AF=AE，四边形 AFBE 是正方形【点评】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质24甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘 A、B 平均分成 2 份和 3 份，并在每一份内标有数 字如图游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （1）首先根据题意画出
30、树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为偶数情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）分别求得甲、乙两人获胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平【解答】解：（1）画树状图得：共有 6 种等可能的结果，两数之和为偶数的有 2 种情况；甲获胜的概率为： = ；（2）不公平理由：数字之和为奇数的有 4 种情况，P（乙获胜）= = ，P（甲）P（乙） ，这个游戏规则对甲、乙双方不公平【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平25如图，巳知 AB 丄 BD，CD 丄 BD（1）若 AB=9，CD=4 ，BD=10，
31、请问在 BD 上是否存在 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在请说明理由；（2）若 AB=9，CD=4 ，BD=12，请问在 BD 上存在多少个 P 点，使以 P、A 、B 三点为顶点的三角形与以 P、C 、D 三点为頂点的三角形相似？并求 BP 的长【考点】相似三角形的判定 【专题】计算题【分析】 （1）设 BP=x，则 PD=10x，由于B=D ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当 = 时，ABPPDC，即 = ，当 = 时，ABPCDP，即 = ，然后分别解方程求出 x 的值即可
32、得到 BP 的长；（2）设 BP=x，则 PD=12x，与（1）解答一样，易得 = 或 = ，然后分别解方程求出 x 的值即可得到 BP 的长【解答】解：（1）存在设 BP=x，则 PD=10x，B=D，当 = 时， ABPPDC，即 = ，整理得 x210x+36=0，此方程没有实数解；当 = 时，ABPCDP，即 = ，即解得 x= ，即 BP 的长为 ；（2）存在 2 个 P 点设 BP=x，则 PD=12x，B=D，当 = 时， ABPPDC，即 = ，整理得 x212x+36=0，解得 x1=x2=6；当 = 时，ABPCDP，即 = ，即解得 x= ，即 BP 的长为 6 或 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似注意分类讨论思想的运用
