（全国版）2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何（课件+学案+练习）（打包28套）.zip

板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.直线 x＋ y＋1＝0 的倾斜角是( )3A. B. C. D.π 6 π 3 2π3 5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率 k＝－ ，设倾斜角为 α ，则 tanα ＝－ ，所以33 33α ＝ .5π62.[2018·沈阳模拟]直线 ax＋ by＋ c＝0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a， b， c 应满足( )A.ab0， bc0， bc0C.ab0 D． ab0，故 ab0， bc0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________．答案 16解析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，xa yb故 ＋ ＝1，所以－2( a＋ b)＝ ab.又 ab0，故 a0， b0)，则 ＋ ＝1.xa yb 2a 1b又∵ ＋ ≥2 ⇒ ab≥4，当且仅当 ＝ ＝ ，即 a＝4， b＝2 时，△ AOB 面积 S＝ ab2a 1b 2ab 12 2a 1b 12 12有最小值为 4.此时，直线 l 的方程是 ＋ ＝1，即 x＋2 y－4＝0.x4 y2(2)解法一：∵ A ， B(0,1－2 k)(k0)，(2k－ 1k ， 0)∴截距之和为 ＋1－2 k＝3－2 k－ ≥3＋2 ＝3＋2 .2k－ 1k 1k  － 2k ·(－ 1k) 2当且仅当－2 k＝－ ，即 k＝－ 时，等号成立．1k 22故截距之和最小值为 3＋2 ，此时 l 的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x＋2 y－2－2222 2＝ 0.2解法二：∵ ＋ ＝1，2a 1b∴截距之和 a＋ b＝( a＋ b) ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 .(2a＋ 1b) 2ba ab 2ba·ab 2此时 ＝ ，求得 b＝ ＋1， a＝2＋ .2ba ab 2 2此时，直线 l 的方程为 ＋ ＝1，x2＋ 2 y2＋ 1即 x＋2 y－2－2 ＝0.2 2(3)解法一：∵ A ， B(0,1－2 k)(k0)，(2k－ 1k ， 0)6∴| PA|·|PB|＝ · ＝1k2＋ 1 4＋ 4k2 4k2＋ 4k2＋ 8≥ ＝4.2·4k2·4k2＋ 8当且仅当 ＝4 k2，即 k＝－1 时上式等号成立，故| PA|·|PB|最小值为 4，此时，直线4k2l 的方程为 x＋ y－3＝0.解法二：设∠ OAB＝ θ ，则| PA|＝ ，| PB|＝ ＝ ，1sinθ 2sin 90°－ θ  2cosθ∴| PA|·|PB|＝ ＝ ，当 sin2θ ＝1， θ ＝ 时，| PA|·|PB|取得最小2sinθ cosθ 4sin2θ π 4值 4，此时直线 l 的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为 x＋ y－3＝0.1第 1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义： x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.(2)倾斜角的范围为 0°≤ α 0，1＋ 2kk∴ k0.故 S＝ |OA||OB|＝ × ×(1＋2 k)＝ ≥ (4＋4)＝4，12 12 1＋ 2kk 12(4k＋ 1k＋ 4) 12当且仅当 4k＝ ，即 k＝ 时，取等号．故 S的最小值为 4，此时直线 l的方程为1k 12x－2 y＋4＝0.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中 x， y的关系，将问题转化为关于 x(或 y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练 3】 已知直线 l过点 M(1,1)，且与 x轴， y轴的正半轴分别相交于 A， B两点， O为坐标原点．求：(1)当| OA|＋| OB|取得最小值时，直线 l的方程；(2)当| MA|2＋| MB|2取得最小值时，直线 l的方程．解 (1)设 A(a,0)， B(0， b)(a0， b0)．8设直线 l的方程为 ＋ ＝1，则 ＋ ＝1，xa yb 1a 1b所以| OA|＋| OB|＝ a＋ b＝( a＋ b) ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当(1a＋ 1b) ab ba ab·ba“a＝ b＝2”时取等号，此时直线 l的方程为 x＋ y－2＝0.(2)设直线 l的斜率为 k，则 k0， bc0， bc0C.ab0 D． ab0，故 ab0， bc0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(－2，－2)三点共线，则 ab的最小值为________．答案 16解析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，xa yb故 ＋ ＝1，所以－2( a＋ b)＝ ab.又 ab0，故 a0， b0)，则 ＋ ＝1.xa yb 2a 1b又∵ ＋ ≥2 ⇒ ab≥4，当且仅当 ＝ ＝ ，即 a＝4， b＝2 时，△ AOB面积 S＝ ab2a 1b 2ab 12 2a 1b 12 12有最小值为 4.此时，直线 l的方程是 ＋ ＝1，即 x＋2 y－4＝0.x4 y2(2)解法一：∵ A ， B(0,1－2 k)(k0)，(2k－ 1k ， 0)∴截距之和为 ＋1－2 k＝3－2 k－ ≥3＋2 ＝3＋2 .2k－ 1k 1k － 2k·(－ 1k) 2当且仅当－2 k＝－ ，即 k＝－ 时，等号成立．1k 22故截距之和最小值为 3＋2 ，此时 l的方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x＋2 y－2－2222 2＝ 0.2解法二：∵ ＋ ＝1，2a 1b∴截距之和 a＋ b＝( a＋ b) ＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3＋2 .(2a＋ 1b) 2ba ab 2ba·ab 2此时 ＝ ，求得 b＝ ＋1， a＝2＋ .2ba ab 2 2此时，直线 l的方程为 ＋ ＝1，x2＋ 2 y2＋ 1即 x＋2 y－2－2 ＝0.2 2(3)解法一：∵ A ， B(0,1－2 k)(k0)，(2k－ 1k ， 0)∴| PA|·|PB|＝ · ＝1k2＋ 1 4＋ 4k2 4k2＋ 4k2＋ 8≥ ＝4.2·4k2·4k2＋ 8当且仅当 ＝4 k2，即 k＝－1 时上式等号成立，故| PA|·|PB|最小值为 4，此时，直线4k2l的方程为 x＋ y－3＝0.解法二：设∠ OAB＝ θ ，则| PA|＝ ，| PB|＝ ＝ ，1sinθ 2sin90°－ θ  2cosθ∴| PA|·|PB|＝ ＝ ，当 sin2θ ＝1， θ ＝ 时，| PA|·|PB|取得最2sinθ cosθ 4sin2θ π4小值 4，此时直线 l的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为 x＋ y－3＝0. 第 8章 平面解析几何第 1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 2讲 两直线的位置关系板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1.[2018·四川模拟]设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线l2： x＋( a＋1) y＋4＝0 平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则 a(a＋1)＝2，即 a2＋ a－2＝0，∴ a＝1 或－2，故 a＝1 是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线 mx＋4 y－2＝0 与直线 2x－5 y＋ n＝0 垂直，垂足为(1， p)，则实数 n的值为( )A.－12 B．－2 C．0 D．10答案 A解析 由 2m－20＝0 得 m＝10.由垂足(1， p)在直线 mx＋4 y－2＝0 上，得10＋4 p－2＝0，∴ p＝－2.又垂足(1，－2)在直线 2x－5 y＋ n＝0 上，则解得 n＝－12.3.[2018·启东模拟]不论 m为何值时，直线( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5 恒过定点( )A. B．(－2,0)(1， －12)C.(2,3) D．(9，－4)答案 D解析 由( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5，得( x＋2 y－1) m－( x＋ y－5)＝0，由Error!得定点坐标为(9，－4)，故选 D.4.P点在直线 3x＋ y－5＝0 上，且点 P到直线 x－ y－1＝0 的距离为 ，则 P点坐标为( )2A.(1,2) B．(2,1)C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设 P(x,5－3 x)，则 d＝ ＝ ，化简得|4 x－6|＝2，即|x－ 5＋ 3x－ 1|12＋  － 1 2 24x－6＝±2，解得 x＝1 或 x＝2，故点 P的坐标为(1,2)或(2，－1).5.[2018·绵阳模拟]若 P， Q分别为直线 3x＋4 y－12＝0 与 6x＋8 y＋5＝0 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B. C. D.95 185 2910 295答案 C解析 因为 ＝ ≠ ，所以两直线平行，由题意可知| PQ|的最小值为这两条平行直线36 48 － 1252间的距离，即 ＝ ，所以| PQ| 的最小值为 .|－ 24－ 5|62＋ 82 2910 29106.[2018·合肥模拟]已知直线 l： x－ y－1＝0， l1：2 x－ y－2＝0.若直线 l2与 l1关于l对称，则 l2的方程是( )A.x－2 y＋1＝0 B． x－2 y－1＝0C.x＋ y－1＝0 D． x＋2 y－1＝0答案 B解析 因为 l1与 l2关于 l对称，所以 l1上任一点关于 l的对称点都在 l2上，故 l与l1的交点(1,0)在 l2上．又易知(0，－2)为 l1上一点，设它关于 l的对称点为( x， y)，则Error!解得 Error!即(1,0)，(－1，－1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x－2 y－1＝0.7.若动点 A， B分别在直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 上移动，则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为( )A.3 B．2 C．3 D． 42 2 3 2答案 A解析 ∵ l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 是平行直线，∴可判断 AB所在直线过原点且与直线 l1， l2垂直时，中点 M到原点的距离最小．∵直线l1： x＋ y－7＝0， l2： x＋ y－5＝0，∴两直线的距离为 ＝ ，又原点到直线 l2的距|7－ 5|12＋ 12 2离为 ，∴ AB的中点 M到原点的距离的最小值为 ＋ ＝3 .故选 A.522 522 22 28.设点 A(－1,0)， B(1,0)，直线 2x＋ y－ b＝0 与线段 AB相交，则 b的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b为直线 y＝－2 x＋ b在 y轴上的截距，如图，当直线 y＝－2 x＋ b过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时， b分别取得最小值和最大值．∴ b的取值范围是[－2,2].9.已知直线 l1： ax－ y＋2 a＝0， l2：(2 a－1) x＋ ay＋ a＝0 互相垂直，则实数 a的值是________．答案 0 或 1解析 因为直线 l1： ax－ y＋2 a＝0， l2：(2 a－1) x＋ ay＋ a＝0 互相垂直，故有 a(2a－1)＋ a(－1)＝0，可知 a的值为 0或 1.310.[2018·银川模拟]点 P(2,1)到直线 l： mx－ y－3＝0( m∈R)的最大距离是________．答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0，－3)，如图所示．由图知，当 PQ⊥ l时，点 P(2,1)到直线l的距离取得最大值| PQ|＝ ＝2 ，所以点 P(2，1)到直线 l的最 2－ 0 2＋  1＋ 3 2 5大距离为 2 .5[B级 知能提升]1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点 A(a－1， a＋1)， B(a， a)关于直线l对称，那么直线 l的方程为( )A.x－ y＋1＝0 B． x＋ y＋1＝0C.x－ y－1＝0 D． x＋ y－1＝0答案 A解析 因为直线 AB的斜率为 ＝－1，所以直线 l的斜率为 1，设直线 l的方程a＋ 1－ aa－ 1－ a为 y＝ x＋ b，由题意知直线 l过点 ，所以 ＝ ＋ b，解得 b＝1，所(2a－ 12 ， 2a＋ 12 ) 2a＋ 12 2a－ 12以直线 l的方程为 y＝ x＋1，即 x－ y＋1＝0.故选 A.2.[2018·宜春统考]已知直线 l过点 P(3,4)且与点 A(－2，2)， B(4，－2)等距离，则直线 l的方程为( )A.2x＋3 y－18＝0B.2x－ y－2＝0C.3x－2 y＋18＝0 或 x＋2 y＋2＝0D.2x＋3 y－18＝0 或 2x－ y－2＝0答案 D解析 依题意，设直线 l： y－4＝ k(x－3)，即 kx－ y＋4－3 k＝0，则有 ＝ ，|－ 5k＋ 2|k2＋ 1 |k＋ 6|k2＋ 1因此－5 k＋2＝ k＋6 或－5 k＋2＝－( k＋6)，解得 k＝－ 或 k＝2，23故直线 l的方程为 2x＋3 y－18＝0 或 2x－ y－2＝0.43.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l： x－ y＋3＝0 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6 x－ y－6＝0解析 设点 M(－3,4)关于直线 l： x－ y＋3＝0 的对称点为 M′( a， b)，则反射光线所在直线过点 M′，所以Error! 解得 a＝1， b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ＝ ，即 6x－ y－6＝0.y－ 06－ 0 x－ 12－ 14.已知两条直线 l1： ax－ by＋4＝0 和 l2：( a－1) x＋ y＋ b＝0，求满足下列条件的 a， b的值：(1)l1⊥ l2，且 l1过点(－3，－1)；(2)l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k2＝1－ a.若 k2＝0，则 1－ a＝0， a＝1.∵ l1⊥ l2，∴直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b＝0.又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋4＝0，即 a＝ (矛盾)，43∴此种情况不存在，∴ k2≠0，即 k1， k2都存在．∵ k2＝1－ a， k1＝ ， l1⊥ l2，ab∴ k1k2＝－1，即 (1－ a)＝－1.①ab又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋ b＋4＝0.②由①②联立，解得 a＝2， b＝2.(2)∵ l2的斜率存在且 l1∥ l2，∴直线 l1的斜率存在，k1＝ k2，即 ＝1－ a.③ab又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1∥ l2，∴ l1， l2在 y轴上的截距互为相反数，即 ＝ b，④4b联立③④，解得Error!或Error!∴ a＝2， b＝－2 或 a＝ ， b＝2.235.[2018·合肥模拟]已知直线 l：2 x－3 y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求：(1)点 A关于直线 l的对称点 A′的坐标；(2)直线 m：3 x－2 y－6＝0 关于直线 l的对称直线 m′的方程；(3)直线 l关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．解 (1)设 A′( x， y)，由已知条件得5Error!解得 Error!∴ A′ .(－3313， 413)(2)在直线 m上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l的对称点 M′必在直线 m′上．设对称点 M′( a， b)，则Error!得 M′ .(613， 3013)设直线 m与直线 l的交点为 N，则由Error!得 N(4,3)．又∵ m′经过点 N(4,3)，∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46 y＋102＝0.(3)解法一：在 l：2 x－3 y＋1＝0 上任取两点，如 M(1,1)， N(4,3)，则 M， N关于点 A(－1，－2)的对称点 M′， N′均在直线 l′上，易得 M′(－3，－5)， N′(－6，－7)，再由两点式可得 l′的方程为 2x－3 y－9＝0.解法二：∵ l∥ l′，∴设 l′的方程为 2x－3 y＋ C＝0( C≠1)．∵点 A(－1，－2)到两直线 l， l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得＝ ，解得 C＝－9，|－ 2＋ 6＋ C|22＋ 32 |－ 2＋ 6＋ 1|22＋ 32∴ l′的方程为 2x－3 y－9＝0.解法三：设 P(x， y)为 l′上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(－1，－2)的对称点为P′(－2－ x，－4－ y)．∵点 P′在直线 l上，∴2(－2－ x)－3(－4－ y)＋1＝0，即 2x－3 y－9＝0.1第 2讲 两直线的位置关系板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线 l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x＋ b2，若其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1∥ l2⇔k1＝ k2， b1≠ b2.②当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1∥ l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1、 k2，则有 l1⊥ l2⇔k1k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0时， l1⊥ l2.2.两条直线的交点直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组Error!的解．考点 2 三种距离公式1.两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 | P1P2|＝ .x1－ x22＋ y1－ y222.点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 的距离 d＝ .|Ax0＋ By0＋ C|A2＋ B223.两条平行线 Ax＋ By＋ C1＝0 与 Ax＋ By＋ C2＝0(其中 C1≠ C2)间的距离 d＝ .|C1－ C2|A2＋ B2[必会结论]1.与直线 Ax＋ By＋ C＝0( A2＋ B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直： Bx－ Ay＋ m＝0；(2)平行： Ax＋ By＋ n＝0.2.与对称问题相关的两个结论：(1)点 P(x0， y0)关于 A(a， b)的对称点为 P′(2 a－ x0,2b－ y0)．(2)设点 P(x0， y0)关于直线 y＝ kx＋ b的对称点为 P′( x′， y′)，则有Error!可求出 x′， y′.[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )(2)点 P(x0， y0)到直线 y＝ kx＋ b的距离为 .( )|kx0＋ b|1＋ k2(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )(5)若点 A， B关于直线 l： y＝ kx＋ b(k≠0)对称，则直线 AB的斜率等于－ ，且线段1kAB的中点在直线 l上．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.[课本改编]过点(1,0)且与直线 x－2 y－2＝0 平行的直线方程是( )A.x－2 y－1＝0 B． x－2 y＋1＝0C.2x＋ y－2＝0 D． x＋2 y－1＝0答案 A解析 设直线方程为 x－2 y＋ c＝0，又经过点(1,0)，故 c＝－1，所求方程为x－2 y－1＝0.3.[2018·重庆模拟]若直线 ax＋2 y＋1＝0 与直线 x＋ y－2＝0 互相垂直，那么 a的值等于( )A.1 B．－ C．－ D．－213 23答案 D解析 由 a·1＋2·1＝0 得 a＝－2，故选 D.4.[课本改编]已知点( a,2)(a0)到直线 l： x－ y＋3＝0 的距离为 1，则 a等于( )A. B．2－2 2C. －1 D. ＋12 2答案 C3解析 由题意知 ＝1，∴| a＋1|＝ ，又 a0，∴ a＝ －1.|a－ 2＋ 3|2 2 25.[课本改编]平行线 3x＋4 y－9＝0 和 6x＋8 y＋2＝0 的距离是( )A. B．2 C. D.85 115 75答案 B解析 依题意得，所求的距离等于 ＝2.|－ 18－ 2|62＋ 826.[2018·南宁模拟]直线 x－2 y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是( )A.x＋2 y－1＝0 B．2 x＋ y－1＝0C.2x＋ y－3＝0 D． x＋2 y－3＝0答案 D解析 设所求直线上任一点( x， y)，则它关于直线 x＝1 的对称点(2－ x， y)在直线x－2 y＋1＝0 上，即 2－ x－2 y＋1＝0，化简得 x＋2 y－3＝0.板块二 典例探究·考向突破考向 平行与垂直问题 例 1 (1)直线 2x＋ y＋ m＝0 和 x＋2 y＋ n＝0 的位置关系是( )A.平行 B．垂直C.相交但不垂直 D．不能确定答案 C解析 由Error!可得 3x＋2 m－ n＝0，由于 3x＋2 m－ n＝0 有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－ ，斜率之积不等于－1，故不垂直.12(2)[2018·金华十校模拟]“直线 ax－ y＝0 与直线 x－ ay＝1 平行”是“ a＝1”成立的( )A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 由直线 ax－ y＝0 与 x－ ay＝1 平行，得 a2＝1，即 a＝±1，所以“直线ax－ y＝0 与 x－ ay＝1 平行”是“ a＝1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和 l2， l1∥ l2⇔k1＝ k2， l1⊥ l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，4那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．(2)设 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0， l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0，则 l1⊥ l2⇔A1A2＋ B1B2＝0.【变式训练 1】 (1)“ m＝3”是“直线 l1：2( m＋1) x＋( m－3) y＋7－5 m＝0 与直线l2：( m－3) x＋2 y－5＝0 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1⊥ l2，得 2(m＋1)( m－3)＋2( m－3)＝0，∴ m＝3 或 m＝－2，∴ m＝3 是 l1⊥ l2的充分不必要条件.(2)[2018·宁夏模拟]若直线 l1： x＋2 my－1＝0 与 l2：(3 m－1) x－ my－1＝0 平行，则实数 m的值为________．答案 0 或16解析 因为直线 l1： x＋2 my－1＝0 与 l2：(3 m－1) x－ my－1＝0 平行，则斜率相等或者斜率不存在，－ ＝ 或者 m＝0，∴ m＝ 或 0.12m 3m－ 1m 16考向 距离公式的应用例 2 [2018·潍坊模拟]已知点 P(2，－1)．(1)求过点 P且与原点的距离为 2的直线 l的方程；(2)求过点 P且与原点的距离最大的直线 l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P且与原点的距离为 6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过点 P的直线 l与原点的距离为 2，而点 P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于 x轴的直线满足条件，此时 l的斜率不存在，其方程为 x＝2.若斜率存在，设 l的方程为 y＋1＝ k(x－2)，即 kx－ y－2 k－1＝0.由已知得 ＝2，解得 k＝ ，|－ 2k－ 1|k2＋ 1 34此时 l的方程为 3x－4 y－10＝0.综上，可得直线 l的方程为 x＝2 或 3x－4 y－10＝0.(2)作图可得过点 P与原点 O的距离最大的直线是过点 P且与 PO垂直的直线，如图．5由 l⊥ OP，得 klkOP＝－1，所以 kl＝－ ＝2.1kOP由直线方程的点斜式得 y＋1＝2( x－2)，即 2x－ y－5＝0.所以直线 2x－ y－5＝0 是过点 P且与原点 O的距离最大的直线，最大距离为 ＝ .|－ 5|5 5(3)由(2)可知，过点 P不存在到原点的距离超过 的直线，因此不存在过点 P且到原5点的距离为 6的直线.触类旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离．(2)已知距离求参数值．列方程求出参数．(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.【变式训练 2】 (1)若直线 l1： x－2 y＋ m＝0( m0)与直线 l2： x＋ ny－3＝0 之间的距离是 ，则 m＋ n＝( )5A.0 B．1 C．－1 D．2答案 A解析 ∵直线 l1： x－2 y＋ m＝0( m0)与直线 l2： x＋ ny－3＝0 之间的距离为 ，5∴Error!∴ n＝－ 2， m＝2(负值舍去)，∴ m＋ n＝0.(2)已知点 A(－3，－4)， B(6,3)到直线 l： ax＋ y＋1＝0 的距离相等，则实数 a的值为________．答案 － 或－13 79解析 由题意及点到直线的距离公式得 ＝ ，解得 a＝－ 或－|－ 3a－ 4＋ 1|a2＋ 1 |6a＋ 3＋ 1|a2＋ 1 13.79考向 对称问题命题角度 1 点关于点的对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l使它被直线 l1：2 x＋ y－8＝0 和 l2： x－3 y＋10＝0 截得的6线段被点 P平分，求直线 l的方程．解 设 l1与 l的交点为 A(a,8－2 a)，则由题意知，点 A关于点 P的对称点 B(－ a,2a－6)在 l2上，代入 l2的方程得－ a－3(2 a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l上，所以由两点式得直线 l的方程为 x＋4 y－4＝0.命题角度 2 点关于线的对称例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点( m， n)重合，则 m＋ n＝________.答案 345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y＝2 x－3，它也是点(7,3)与点( m， n)连线的中垂线，于是Error!解得Error!故 m＋ n＝ .345命题角度 3 直线关于直线的对称例 5 直线 2x－ y＋3＝0 关于直线 x－ y＋2＝0 对称的直线方程是( )A.x－2 y＋3＝0 B． x－2 y－3＝0C.x＋2 y＋1＝0 D． x＋2 y－1＝0答案 A解析 设所求直线上任意一点 P(x， y)，则 P关于 x－ y＋2＝0 的对称点为 P′( x0， y0)，由Error!得Error!由点 P′( x0， y0)在直线 2x－ y＋3＝0 上，则 2(y－2)－( x＋2)＋3＝0，即 x－2 y＋3＝0.命题角度 4 对称问题的应用例 6 已知直线 l： x－2 y＋8＝0 和两点 A(2,0)， B(－2，－4)．(1)在直线 l上求一点 P，使| PA|＋| PB|最小；(2)在直线 l上求一点 P，使|| PB|－| PA||最大．解 (1)设 A关于直线 l的对称点为 A′( m， n)，则Error!解得Error!故 A′(－2,8)．P为直线 l上的一点，则| PA|＋| PB|＝| PA′|＋| PB|≥| A′ B|，当且仅当 B， P， A′三点共线时，| PA|＋| PB|取得最小值，为| A′ B|，点 P即是直线 A′ B与直线 l的交点，解Error!得Error!故所求的点 P的坐标为(－2，3)．(2)A， B两点在直线 l的同侧， P是直线 l上的一点，则|| PB|－| PA||≤| AB|，当且仅当 A， B， P三点共线时，|| PB|－| PA||取得最大值，为| AB|，点 P即是直线 AB与直线 l的交点，又直线 AB的方程为 y＝ x－2，解Error!得Error!故所求的点 P的坐标为(12,10).触类旁通7解决对称问题的方法(1)中心对称①点 P(x， y)关于 O(a， b)的对称点 P′( x′， y′)满足Error!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点 A(a， b)关于直线 Ax＋ By＋ C＝0( B≠0)的对称点为 A′( m， n)，则有Error!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．满分策略1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的 x， y的系数化成相等．板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 13——物理光学中对称思想的应用 [2018·湖南模拟]在等腰直角三角形 ABC中， AB＝ AC＝4，点 P为边 AB上异于 A， B的一点，光线从点 P出发，经 BC， CA反射后又回到点 P.若光线 QR经过△ ABC的重心，则AP等于( )8A.2 B．1 C. D.83 43解题视点 依入射光线与反射光线的对称性知，点 P关于直线 BC的对称点 P2在直线RQ上，点 P关于直线 AC的对称点 P1也在直线 RQ上，所以点 P1， D， P2三点共线( D为△ABC的重心)，利用 kP1D＝ kP2D即可破解．解析 以 A为原点， AB为 x轴， AC为 y轴建立直角坐标系如图所示．则 A(0,0)， B(4,0)， C(0,4)．设△ ABC的重心为 D，则 D点坐标为 .(43， 43)设 P点坐标为( m,0)，则 P点关于 y轴的对称点 P1为(－ m,0)，因为直线 BC方程为x＋ y－4＝0，所以 P点关于 BC的对称点 P2为(4,4－ m)，根据光线反射原理， P1， P2均在QR所在直线上，∴ kP1D＝ kP2D，即 ＝ ，4343＋ m43－ 4＋ m43－ 4解得 m＝ 或 m＝0.43当 m＝0 时， P点与 A点重合，故舍去．∴ m＝ .43答案 D答题启示 许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功9倍的效果.跟踪训练光线从 A(－4，－2)点射出，射到直线 y＝ x上的 B点后被直线 y＝ x反射到 y轴上的C点，又被 y轴反射，这时反射光线恰好过点 D(－1,6)，求 BC所在的直线方程．解 作出草图，如图所示，设 A关于直线 y＝ x的对称点为 A′， D关于 y轴的对称点为 D′，则易得 A′(－2，－4)， D′(1,6)．由入射角等于反射角可得 A′ D′所在直线经过点B与 C.故 BC所在的直线方程为 ＝ .y＋ 46＋ 4 x＋ 21＋ 2即 10x－3 y＋8＝0.板块四 模拟演练·提能增分 [A级 基础达标]1.[2018·四川模拟]设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l1： ax＋2 y－1＝0 与直线l2： x＋( a＋1) y＋4＝0 平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则 a(a＋1)＝2，即 a2＋ a－2＝0，∴ a＝1 或－2，故 a＝1 是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线 mx＋4 y－2＝0 与直线 2x－5 y＋ n＝0 垂直，垂足为(1， p)，则实数 n的值为( )A.－12 B．－2 C．0 D．10答案 A解析 由 2m－20＝0 得 m＝10.由垂足(1， p)在直线 mx＋4 y－2＝0 上，得10＋4 p－2＝0，∴ p＝－2.又垂足(1，－2)在直线 2x－5 y＋ n＝0 上，则解得 n＝－12.3.[2018·启东模拟]不论 m为何值时，直线( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5 恒过定点( )10A. B．(－2,0)(1， －12)C.(2,3) D．(9，－4)答案 D解析 由( m－1) x＋(2 m－1) y＝ m－5，得( x＋2 y－1) m－( x＋ y－5)＝0，由Error!得定点坐标为(9，－4)，故选 D.4.P点在直线 3x＋ y－5＝0 上，且点 P到直线 x－ y－1＝0 的距离为 ，则 P点坐标为2( )A.(1,2) B．(2,1)C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)答案 C解析 设 P(x,5－3 x)，则 d＝ ＝ ，化简得|4 x－6|＝2，即|x－ 5＋ 3x－ 1|12＋ － 12 24x－6＝±2，解得 x＝1 或 x＝2，故点 P的坐标为(1,2)或(2，－1).5.[2018·绵阳模拟]若 P， Q分别为直线 3x＋4 y－12＝0 与 6x＋8 y＋5＝0 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B. C. D.95 185 2910 295答案 C解析 因为 ＝ ≠ ，所以两直线平行，由题意可知| PQ|的最小值为这两条平行直36 48 － 125线间的距离，即 ＝ ，所以| PQ| 的最小值为 .|－ 24－ 5|62＋ 82 2910 29106.[2018·合肥模拟]已知直线 l： x－ y－1＝0， l1：2 x－ y－2＝0.若直线 l2与 l1关于l对称，则 l2的方程是( )A.x－2 y＋1＝0 B． x－2 y－1＝0C.x＋ y－1＝0 D． x＋2 y－1＝0答案 B解析 因为 l1与 l2关于 l对称，所以 l1上任一点关于 l的对称点都在 l2上，故 l与l1的交点(1,0)在 l2上．又易知(0，－2)为 l1上一点，设它关于 l的对称点为( x， y)，则Error!解得Error!即(1,0)，(－1，－1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x－2 y－1＝0.7.若动点 A， B分别在直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 上移动，则 AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3 B．2 C．3 D． 42 2 3 2答案 A解析 ∵ l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 是平行直线，∴可判断 AB所在直线过原点且与直线 l1， l2垂直时，中点 M到原点的距离最小．∵直线l1： x＋ y－7＝0， l2： x＋ y－5＝0，∴两直线的距离为 ＝ ，又原点到直线 l2的距|7－ 5|12＋ 12 211离为 ，∴ AB的中点 M到原点的距离的最小值为 ＋ ＝3 .故选 A.522 522 22 28.设点 A(－1,0)， B(1,0)，直线 2x＋ y－ b＝0 与线段 AB相交，则 b的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b为直线 y＝－2 x＋ b在 y轴上的截距，如图，当直线 y＝－2 x＋ b过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时， b分别取得最小值和最大值．∴ b的取值范围是[－2,2].9.已知直线 l1： ax－ y＋2 a＝0， l2：(2 a－1) x＋ ay＋ a＝0 互相垂直，则实数 a的值是________．答案 0 或 1解析 因为直线 l1： ax－ y＋2 a＝0， l2：(2 a－1) x＋ ay＋ a＝0 互相垂直，故有a(2a－1)＋ a(－1)＝0，可知 a的值为 0或 1.10.[2018·银川模拟]点 P(2,1)到直线 l： mx－ y－3＝0( m∈R)的最大距离是________．答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0，－3)，如图所示．由图知，当 PQ⊥ l时，点 P(2,1)到直线 l的距离取得最大值| PQ|＝ ＝2 ，所以点 P(2，1)到直线 l的最大2－ 02＋ 1＋ 32 5距离为 2 .5[B级 知能提升]1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点 A(a－1， a＋1)， B(a， a)关于直线12l对称，那么直线 l的方程为( )A.x－ y＋1＝0 B． x＋ y＋1＝0C.x－ y－1＝0 D． x＋ y－1＝0答案 A解析 因为直线 AB的斜率为 ＝－1，所以直线 l的斜率为 1，设直线 l的方程a＋ 1－ aa－ 1－ a为 y＝ x＋ b，由题意知直线 l过点 ，所以 ＝ ＋ b，解得 b＝1，所(2a－ 12 ， 2a＋ 12 ) 2a＋ 12 2a－ 12以直线 l的方程为 y＝ x＋1，即 x－ y＋1＝0.故选 A.2.[2018·宜春统考]已知直线 l过点 P(3,4)且与点 A(－2，2)， B(4，－2)等距离，则直线 l的方程为( )A.2x＋3 y－18＝0B.2x－ y－2＝0C.3x－2 y＋18＝0 或 x＋2 y＋2＝0D.2x＋3 y－18＝0 或 2x－ y－2＝0答案 D解析 依题意，设直线 l： y－4＝ k(x－3)，即 kx－ y＋4－3 k＝0，则有 ＝ ，|－ 5k＋ 2|k2＋ 1 |k＋ 6|k2＋ 1因此－5 k＋2＝ k＋6 或－5 k＋2＝－( k＋6)，解得 k＝－ 或 k＝2，23故直线 l的方程为 2x＋3 y－18＝0 或 2x－ y－2＝0.3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l： x－ y＋3＝0 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6 x－ y－6＝0解析 设点 M(－3,4)关于直线 l： x－ y＋3＝0 的对称点为 M′( a， b)，则反射光线所在直线过点 M′，所以Error!解得 a＝1， b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ＝ ，即 6x－ y－6＝0.y－ 06－ 0 x－ 12－ 14.已知两条直线 l1： ax－ by＋4＝0 和 l2：( a－1) x＋ y＋ b＝0，求满足下列条件的a， b的值：(1)l1⊥ l2，且 l1过点(－3，－1)；(2)l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k2＝1－ a.若 k2＝0，则 1－ a＝0， a＝1.∵ l1⊥ l2，∴直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b＝0.13又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋4＝0，即 a＝ (矛盾)，43∴此种情况不存在，∴ k2≠0，即 k1， k2都存在．∵ k2＝1－ a， k1＝ ， l1⊥ l2，ab∴ k1k2＝－1，即 (1－ a)＝－1.①ab又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋ b＋4＝0.②由①②联立，解得 a＝2， b＝2.(2)∵ l2的斜率存在且 l1∥ l2，∴直线 l1的斜率存在，k1＝ k2，即 ＝1－ a.③ab又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1∥ l2，∴ l1， l2在 y轴上的截距互为相反数，即 ＝ b，④4b联立③④，解得Error!或Error!∴ a＝2， b＝－2 或 a＝ ， b＝2.235.[2018·合肥模拟]已知直线 l：2 x－3 y＋1＝0，点 A(－1，－2)．求：(1)点 A关于直线 l的对称点 A′的坐标；(2)直线 m：3 x－2 y－6＝0 关于直线 l的对称直线 m′的方程；(3)直线 l关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．解 (1)设 A′( x， y)，由已知条件得Error!解得Error!∴ A′ .(－3313， 413)(2)在直线 m上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l的对称点 M′必在直线 m′上．设对称点 M′( a， b)，则Error!得 M′ .(613， 3013)设直线 m与直线 l的交点为 N，则由Error!得 N(4,3)．又∵ m′经过点 N(4,3)，∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46 y＋102＝0.(3)解法一：在 l：2 x－3 y＋1＝0 上任取两点，如 M(1,1)， N(4,3)，则 M， N关于点 A(－1，－2)的对称点 M′， N′均在直线 l′上，易得 M′(－3，－5)， N′(－6，－7)，再由两点式可得 l′的方程为 2x－3 y－9＝0.14解法二：∵ l∥ l′，∴设 l′的方程为 2x－3 y＋ C＝0( C≠1)．∵点 A(－1，－2)到两直线 l， l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得＝ ，解得 C＝－9，|－ 2＋ 6＋ C|22＋ 32 |－ 2＋ 6＋ 1|22＋ 32∴ l′的方程为 2x－3 y－9＝0.解法三：设 P(x， y)为 l′上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(－1，－2)的对称点为P′(－2－ x，－4－ y)．∵点 P′在直线 l上，∴2(－2－ x)－3(－4－ y)＋1＝0，即 2x－3 y－9＝0.