1、板块四 模拟演练 提能增分 1第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标1.直线 x y10 的倾斜角是( )3A. B. C. D. 6 3 23 56答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率 k ，设倾斜角为 ，则 tan ，所以33 33 .562.2018沈阳模拟直线 ax by c0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a， b， c 应满足( )A.ab0， bc0， bc0C.ab0 D ab0，故 ab0， bc0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(2，2)三点共线，则 ab 的最小值为_答案 16解析 根据 A(a,0)， B(0，
2、 b)确定直线的方程为 1，又 C(2，2)在该直线上，xa yb故 1，所以2( a b) ab.又 ab0，故 a0， b0)，则 1.xa yb 2a 1b又 2 ab4，当且仅当 ，即 a4， b2 时， AOB 面积 S ab2a 1b 2ab 12 2a 1b 12 12有最小值为 4.此时，直线 l 的方程是 1，即 x2 y40.x4 y2(2)解法一： A ， B(0,12 k)(k0)，(2k 1k ， 0)截距之和为 12 k32 k 32 32 .2k 1k 1k 2k ( 1k) 2当且仅当2 k ，即 k 时，等号成立1k 22故截距之和最小值为 32 ，此时 l
3、的方程为 y1 (x2)，即 x2 y22222 2 0.2解法二： 1，2a 1b截距之和 a b( a b) 3 32 32 .(2a 1b) 2ba ab 2baab 2此时 ，求得 b 1， a2 .2ba ab 2 2此时，直线 l 的方程为 1，x2 2 y2 1即 x2 y22 0.2 2(3)解法一： A ， B(0,12 k)(k0)，(2k 1k ， 0)6| PA|PB| 1k2 1 4 4k2 4k2 4k2 8 4.24k24k2 8当且仅当 4 k2，即 k1 时上式等号成立，故| PA|PB|最小值为 4，此时，直线4k2l 的方程为 x y30.解法二：设 OA
4、B ，则| PA| ，| PB| ，1sin 2sin 90 2cos| PA|PB| ，当 sin2 1， 时，| PA|PB|取得最小2sin cos 4sin2 4值 4，此时直线 l 的斜率为1，又过定点(2,1)，其方程为 x y30.1第 1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义： x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)倾斜角的范围为 0 0，1 2kk k0.故 S |OA|OB| (12 k) (44)4，12 12 1 2kk
5、 12(4k 1k 4) 12当且仅当 4k ，即 k 时，取等号故 S的最小值为 4，此时直线 l的方程为1k 12x2 y40.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中 x， y的关系，将问题转化为关于 x(或 y)的函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练 3】 已知直线 l过点 M(1,1)，且与 x轴， y轴的正半轴分别相交于 A， B两点， O为坐标原点求：(1)当| OA| OB|取得最小值时，
6、直线 l的方程；(2)当| MA|2| MB|2取得最小值时，直线 l的方程解 (1)设 A(a,0)， B(0， b)(a0， b0)8设直线 l的方程为 1，则 1，xa yb 1a 1b所以| OA| OB| a b( a b) 2 22 4，当且仅当(1a 1b) ab ba abba“a b2”时取等号，此时直线 l的方程为 x y20.(2)设直线 l的斜率为 k，则 k0， bc0， bc0C.ab0 D ab0，故 ab0， bc0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(2，2)三点共线，则 ab的最小值为_答案 16解析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程
7、为 1，又 C(2，2)在该直线上，xa yb故 1，所以2( a b) ab.又 ab0，故 a0， b0)，则 1.xa yb 2a 1b又 2 ab4，当且仅当 ，即 a4， b2 时， AOB面积 S ab2a 1b 2ab 12 2a 1b 12 12有最小值为 4.此时，直线 l的方程是 1，即 x2 y40.x4 y2(2)解法一： A ， B(0,12 k)(k0)，(2k 1k ， 0)截距之和为 12 k32 k 32 32 .2k 1k 1k 2k( 1k) 2当且仅当2 k ，即 k 时，等号成立1k 22故截距之和最小值为 32 ，此时 l的方程为 y1 (x2)，即
8、 x2 y22222 2 0.2解法二： 1，2a 1b截距之和 a b( a b) 3 32 32 .(2a 1b) 2ba ab 2baab 2此时 ，求得 b 1， a2 .2ba ab 2 2此时，直线 l的方程为 1，x2 2 y2 1即 x2 y22 0.2 2(3)解法一： A ， B(0,12 k)(k0)，(2k 1k ， 0)| PA|PB| 1k2 1 4 4k2 4k2 4k2 8 4.24k24k2 8当且仅当 4 k2，即 k1 时上式等号成立，故| PA|PB|最小值为 4，此时，直线4k2l的方程为 x y30.解法二：设 OAB ，则| PA| ，| PB|
9、，1sin 2sin90 2cos| PA|PB| ，当 sin2 1， 时，| PA|PB|取得最2sin cos 4sin2 4小值 4，此时直线 l的斜率为1，又过定点(2,1)，其方程为 x y30. 第 8章 平面解析几何第 1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一 知识梳理 自主学习板块二 典例探究 考向突破板块四 模拟演练 提能增分 1第 2讲 两直线的位置关系板块四 模拟演练提能增分A级 基础达标1.2018四川模拟设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线l2： x( a1) y40 平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.
10、既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则 a(a1)2，即 a2 a20， a1 或2，故 a1 是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线 mx4 y20 与直线 2x5 y n0 垂直，垂足为(1， p)，则实数 n的值为( )A.12 B2 C0 D10答案 A解析 由 2m200 得 m10.由垂足(1， p)在直线 mx4 y20 上，得104 p20， p2.又垂足(1，2)在直线 2x5 y n0 上，则解得 n12.3.2018启东模拟不论 m为何值时，直线( m1) x(2 m1) y m5 恒过定点( )A. B(2,0)(1， 12)C.(2,3) D(9，4)答
11、案 D解析 由( m1) x(2 m1) y m5，得( x2 y1) m( x y5)0，由Error!得定点坐标为(9，4)，故选 D.4.P点在直线 3x y50 上，且点 P到直线 x y10 的距离为 ，则 P点坐标为( )2A.(1,2) B(2,1)C.(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案 C解析 设 P(x,53 x)，则 d ，化简得|4 x6|2，即|x 5 3x 1|12 1 2 24x62，解得 x1 或 x2，故点 P的坐标为(1,2)或(2，1).5.2018绵阳模拟若 P， Q分别为直线 3x4 y120 与 6x8 y50 上任意一点，则| PQ
12、|的最小值为( )A. B. C. D.95 185 2910 295答案 C解析 因为 ，所以两直线平行，由题意可知| PQ|的最小值为这两条平行直线36 48 1252间的距离，即 ，所以| PQ| 的最小值为 .| 24 5|62 82 2910 29106.2018合肥模拟已知直线 l： x y10， l1：2 x y20.若直线 l2与 l1关于l对称，则 l2的方程是( )A.x2 y10 B x2 y10C.x y10 D x2 y10答案 B解析 因为 l1与 l2关于 l对称，所以 l1上任一点关于 l的对称点都在 l2上，故 l与l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0，2
13、)为 l1上一点，设它关于 l的对称点为( x， y)，则Error!解得 Error!即(1,0)，(1，1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x2 y10.7.若动点 A， B分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为( )A.3 B2 C3 D 42 2 3 2答案 A解析 l1： x y70 和 l2： x y50 是平行直线，可判断 AB所在直线过原点且与直线 l1， l2垂直时，中点 M到原点的距离最小直线l1： x y70， l2： x y50，两直线的距离为 ，又原点到直线 l2的距|7 5|12 12 2离为
14、， AB的中点 M到原点的距离的最小值为 3 .故选 A.522 522 22 28.设点 A(1,0)， B(1,0)，直线 2x y b0 与线段 AB相交，则 b的取值范围是_答案 2,2解析 b为直线 y2 x b在 y轴上的截距，如图，当直线 y2 x b过点 A(1,0)和点 B(1,0)时， b分别取得最小值和最大值 b的取值范围是2,2.9.已知直线 l1： ax y2 a0， l2：(2 a1) x ay a0 互相垂直，则实数 a的值是_答案 0 或 1解析 因为直线 l1： ax y2 a0， l2：(2 a1) x ay a0 互相垂直，故有 a(2a1) a(1)0，
15、可知 a的值为 0或 1.310.2018银川模拟点 P(2,1)到直线 l： mx y30( mR)的最大距离是_答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0，3)，如图所示由图知，当 PQ l时，点 P(2,1)到直线l的距离取得最大值| PQ| 2 ，所以点 P(2，1)到直线 l的最 2 0 2 1 3 2 5大距离为 2 .5B级 知能提升1.2018东城期末如果平面直角坐标系内的两点 A(a1， a1)， B(a， a)关于直线l对称，那么直线 l的方程为( )A.x y10 B x y10C.x y10 D x y10答案 A解析 因为直线 AB的斜率为 1，所以直线 l的斜率为
16、1，设直线 l的方程a 1 aa 1 a为 y x b，由题意知直线 l过点 ，所以 b，解得 b1，所(2a 12 ， 2a 12 ) 2a 12 2a 12以直线 l的方程为 y x1，即 x y10.故选 A.2.2018宜春统考已知直线 l过点 P(3,4)且与点 A(2，2)， B(4，2)等距离，则直线 l的方程为( )A.2x3 y180B.2x y20C.3x2 y180 或 x2 y20D.2x3 y180 或 2x y20答案 D解析 依题意，设直线 l： y4 k(x3)，即 kx y43 k0，则有 ，| 5k 2|k2 1 |k 6|k2 1因此5 k2 k6 或5
17、k2( k6)，解得 k 或 k2，23故直线 l的方程为 2x3 y180 或 2x y20.43.2018淮安调研已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l： x y30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案 6 x y60解析 设点 M(3,4)关于直线 l： x y30 的对称点为 M( a， b)，则反射光线所在直线过点 M，所以Error! 解得 a1， b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ，即 6x y60.y 06 0 x 12 14.已知两条直线 l1： ax by40 和 l2：( a1) x y b0，求满足下列条
18、件的 a， b的值：(1)l1 l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k21 a.若 k20，则 1 a0， a1. l1 l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0.又 l1过点(3，1)，3 a40，即 a (矛盾)，43此种情况不存在， k20，即 k1， k2都存在 k21 a， k1 ， l1 l2，ab k1k21，即 (1 a)1.ab又 l1过点(3，1)，3 a b40.由联立，解得 a2， b2.(2) l2的斜率存在且 l1 l2，直线 l1的斜率存在，k1 k2，即 1 a.ab又坐
19、标原点到这两条直线的距离相等，且 l1 l2， l1， l2在 y轴上的截距互为相反数，即 b，4b联立，解得Error!或Error! a2， b2 或 a ， b2.235.2018合肥模拟已知直线 l：2 x3 y10，点 A(1，2)求：(1)点 A关于直线 l的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3 x2 y60 关于直线 l的对称直线 m的方程；(3)直线 l关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解 (1)设 A( x， y)，由已知条件得5Error!解得 Error! A .(3313， 413)(2)在直线 m上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l的对称点
20、M必在直线 m上设对称点 M( a， b)，则Error!得 M .(613， 3013)设直线 m与直线 l的交点为 N，则由Error!得 N(4,3)又 m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46 y1020.(3)解法一：在 l：2 x3 y10 上任取两点，如 M(1,1)， N(4,3)，则 M， N关于点 A(1，2)的对称点 M， N均在直线 l上，易得 M(3，5)， N(6，7)，再由两点式可得 l的方程为 2x3 y90.解法二： l l，设 l的方程为 2x3 y C0( C1)点 A(1，2)到两直线 l， l的距离相等，由点到直线的距离公式，得 ，
21、解得 C9，| 2 6 C|22 32 | 2 6 1|22 32 l的方程为 2x3 y90.解法三：设 P(x， y)为 l上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(1，2)的对称点为P(2 x，4 y)点 P在直线 l上，2(2 x)3(4 y)10，即 2x3 y90.1第 2讲 两直线的位置关系板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2，若其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1 l2k1 k2， b1 b2.当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时，
22、l1 l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1、 k2，则有 l1 l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0时， l1 l2.2.两条直线的交点直线 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组Error!的解考点 2 三种距离公式1.两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离 | P1P2| .x1 x22 y1 y222.点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离 d .|Ax0 By0 C|A2 B223.两条平行线 Ax By C10
23、与 Ax By C20(其中 C1 C2)间的距离 d .|C1 C2|A2 B2必会结论1.与直线 Ax By C0( A2 B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直： Bx Ay m0；(2)平行： Ax By n0.2.与对称问题相关的两个结论：(1)点 P(x0， y0)关于 A(a， b)的对称点为 P(2 a x0,2b y0)(2)设点 P(x0， y0)关于直线 y kx b的对称点为 P( x， y)，则有Error!可求出 x， y.考点自测1.判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交( )(2)点 P(x0
24、， y0)到直线 y kx b的距离为 .( )|kx0 b|1 k2(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离( )(5)若点 A， B关于直线 l： y kx b(k0)对称，则直线 AB的斜率等于 ，且线段1kAB的中点在直线 l上( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2.课本改编过点(1,0)且与直线 x2 y20 平行的直线方程是( )A.x2 y10 B x2 y10C.2x y20 D x2 y10答案 A解析 设直线方程为 x2 y c0，又经
25、过点(1,0)，故 c1，所求方程为x2 y10.3.2018重庆模拟若直线 ax2 y10 与直线 x y20 互相垂直，那么 a的值等于( )A.1 B C D213 23答案 D解析 由 a1210 得 a2，故选 D.4.课本改编已知点( a,2)(a0)到直线 l： x y30 的距离为 1，则 a等于( )A. B22 2C. 1 D. 12 2答案 C3解析 由题意知 1，| a1| ，又 a0， a 1.|a 2 3|2 2 25.课本改编平行线 3x4 y90 和 6x8 y20 的距离是( )A. B2 C. D.85 115 75答案 B解析 依题意得，所求的距离等于 2
26、.| 18 2|62 826.2018南宁模拟直线 x2 y10 关于直线 x1 对称的直线方程是( )A.x2 y10 B2 x y10C.2x y30 D x2 y30答案 D解析 设所求直线上任一点( x， y)，则它关于直线 x1 的对称点(2 x， y)在直线x2 y10 上，即 2 x2 y10，化简得 x2 y30.板块二 典例探究考向突破考向 平行与垂直问题 例 1 (1)直线 2x y m0 和 x2 y n0 的位置关系是( )A.平行 B垂直C.相交但不垂直 D不能确定答案 C解析 由Error!可得 3x2 m n0，由于 3x2 m n0 有唯一解，故方程组有唯一解，
27、故两直线相交，两直线的斜率分别为2， ，斜率之积不等于1，故不垂直.12(2)2018金华十校模拟“直线 ax y0 与直线 x ay1 平行”是“ a1”成立的( )A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 由直线 ax y0 与 x ay1 平行，得 a21，即 a1，所以“直线ax y0 与 x ay1 平行”是“ a1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和 l2， l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若有一条直线的斜率
28、不存在，4那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意(2)设 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则 l1 l2A1A2 B1B20.【变式训练 1】 (1)“ m3”是“直线 l1：2( m1) x( m3) y75 m0 与直线l2：( m3) x2 y50 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1 l2，得 2(m1)( m3)2( m3)0， m3 或 m2， m3 是 l1 l2的充分不必要条件.(2)2018宁夏模拟若直线 l1： x2 my10 与 l2：(3 m1) x my1
29、0 平行，则实数 m的值为_答案 0 或16解析 因为直线 l1： x2 my10 与 l2：(3 m1) x my10 平行，则斜率相等或者斜率不存在， 或者 m0， m 或 0.12m 3m 1m 16考向 距离公式的应用例 2 2018潍坊模拟已知点 P(2，1)(1)求过点 P且与原点的距离为 2的直线 l的方程；(2)求过点 P且与原点的距离最大的直线 l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P且与原点的距离为 6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解 (1)过点 P的直线 l与原点的距离为 2，而点 P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于 x轴的直线满足
30、条件，此时 l的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l的方程为 y1 k(x2)，即 kx y2 k10.由已知得 2，解得 k ，| 2k 1|k2 1 34此时 l的方程为 3x4 y100.综上，可得直线 l的方程为 x2 或 3x4 y100.(2)作图可得过点 P与原点 O的距离最大的直线是过点 P且与 PO垂直的直线，如图5由 l OP，得 klkOP1，所以 kl 2.1kOP由直线方程的点斜式得 y12( x2)，即 2x y50.所以直线 2x y50 是过点 P且与原点 O的距离最大的直线，最大距离为 .| 5|5 5(3)由(2)可知，过点 P不存在到原点的距离超
31、过 的直线，因此不存在过点 P且到原5点的距离为 6的直线.触类旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离(2)已知距离求参数值列方程求出参数(3)求距离的最值可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值.【变式训练 2】 (1)若直线 l1： x2 y m0( m0)与直线 l2： x ny30 之间的距离是 ，则 m n( )5A.0 B1 C1 D2答案 A解析 直线 l1： x2 y m0( m0)与直线 l2： x ny30 之间的距离为 ，5Error! n 2， m2(负值舍去)， m n0.(2)已
32、知点 A(3，4)， B(6,3)到直线 l： ax y10 的距离相等，则实数 a的值为_答案 或13 79解析 由题意及点到直线的距离公式得 ，解得 a 或| 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1 13.79考向 对称问题命题角度 1 点关于点的对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l使它被直线 l1：2 x y80 和 l2： x3 y100 截得的6线段被点 P平分，求直线 l的方程解 设 l1与 l的交点为 A(a,82 a)，则由题意知，点 A关于点 P的对称点 B( a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得 a3(2 a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在
33、直线 l上，所以由两点式得直线 l的方程为 x4 y40.命题角度 2 点关于线的对称例 4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点( m， n)重合，则 m n_.答案 345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2 x3，它也是点(7,3)与点( m， n)连线的中垂线，于是Error!解得Error!故 m n .345命题角度 3 直线关于直线的对称例 5 直线 2x y30 关于直线 x y20 对称的直线方程是( )A.x2 y30 B x2 y30C.x2 y10 D x2 y10答案 A解析 设所求直线
34、上任意一点 P(x， y)，则 P关于 x y20 的对称点为 P( x0， y0)，由Error!得Error!由点 P( x0， y0)在直线 2x y30 上，则 2(y2)( x2)30，即 x2 y30.命题角度 4 对称问题的应用例 6 已知直线 l： x2 y80 和两点 A(2,0)， B(2，4)(1)在直线 l上求一点 P，使| PA| PB|最小；(2)在直线 l上求一点 P，使| PB| PA|最大解 (1)设 A关于直线 l的对称点为 A( m， n)，则Error!解得Error!故 A(2,8)P为直线 l上的一点，则| PA| PB| PA| PB| A B|，
35、当且仅当 B， P， A三点共线时，| PA| PB|取得最小值，为| A B|，点 P即是直线 A B与直线 l的交点，解Error!得Error!故所求的点 P的坐标为(2，3)(2)A， B两点在直线 l的同侧， P是直线 l上的一点，则| PB| PA| AB|，当且仅当 A， B， P三点共线时，| PB| PA|取得最大值，为| AB|，点 P即是直线 AB与直线 l的交点，又直线 AB的方程为 y x2，解Error!得Error!故所求的点 P的坐标为(12,10).触类旁通7解决对称问题的方法(1)中心对称点 P(x， y)关于 O(a， b)的对称点 P( x， y)满足E
36、rror!直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点 A(a， b)关于直线 Ax By C0( B0)的对称点为 A( m， n)，则有Error!直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称满分策略1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若直线无斜率，要单独考虑2.
37、使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的 x， y的系数化成相等板块三 启智培优破译高考题型技法系列 13物理光学中对称思想的应用 2018湖南模拟在等腰直角三角形 ABC中， AB AC4，点 P为边 AB上异于 A， B的一点，光线从点 P出发，经 BC， CA反射后又回到点 P.若光线 QR经过 ABC的重心，则AP等于( )8A.2 B1 C. D.83 43解题视点 依入射光线与反射光线的对称性知，点 P关于直线 BC的对称点 P2在直线RQ上，点 P关于直线 AC的对称
38、点 P1也在直线 RQ上，所以点 P1， D， P2三点共线( D为ABC的重心)，利用 kP1D kP2D即可破解解析 以 A为原点， AB为 x轴， AC为 y轴建立直角坐标系如图所示则 A(0,0)， B(4,0)， C(0,4)设 ABC的重心为 D，则 D点坐标为 .(43， 43)设 P点坐标为( m,0)，则 P点关于 y轴的对称点 P1为( m,0)，因为直线 BC方程为x y40，所以 P点关于 BC的对称点 P2为(4,4 m)，根据光线反射原理， P1， P2均在QR所在直线上， kP1D kP2D，即 ，4343 m43 4 m43 4解得 m 或 m0.43当 m0
39、时， P点与 A点重合，故舍去 m .43答案 D答题启示 许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功9倍的效果.跟踪训练光线从 A(4，2)点射出，射到直线 y x上的 B点后被直线 y x反射到 y轴上的C点，又被 y轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，求 BC所在的直线方程解 作出草图，如图所示，设 A关于直线 y x的对称点为 A， D关于 y轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)， D(1,6)由入射角等于反射角可得 A D所在直线经过点B与 C.故 BC所在的直线方程为 .y
40、 46 4 x 21 2即 10x3 y80.板块四 模拟演练提能增分 A级 基础达标1.2018四川模拟设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线l2： x( a1) y40 平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若两直线平行，则 a(a1)2，即 a2 a20， a1 或2，故 a1 是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线 mx4 y20 与直线 2x5 y n0 垂直，垂足为(1， p)，则实数 n的值为( )A.12 B2 C0 D10答案 A解析 由 2m200 得 m10.由垂足(1， p)在直
41、线 mx4 y20 上，得104 p20， p2.又垂足(1，2)在直线 2x5 y n0 上，则解得 n12.3.2018启东模拟不论 m为何值时，直线( m1) x(2 m1) y m5 恒过定点( )10A. B(2,0)(1， 12)C.(2,3) D(9，4)答案 D解析 由( m1) x(2 m1) y m5，得( x2 y1) m( x y5)0，由Error!得定点坐标为(9，4)，故选 D.4.P点在直线 3x y50 上，且点 P到直线 x y10 的距离为 ，则 P点坐标为2( )A.(1,2) B(2,1)C.(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)答案 C解析
42、 设 P(x,53 x)，则 d ，化简得|4 x6|2，即|x 5 3x 1|12 12 24x62，解得 x1 或 x2，故点 P的坐标为(1,2)或(2，1).5.2018绵阳模拟若 P， Q分别为直线 3x4 y120 与 6x8 y50 上任意一点，则| PQ|的最小值为( )A. B. C. D.95 185 2910 295答案 C解析 因为 ，所以两直线平行，由题意可知| PQ|的最小值为这两条平行直36 48 125线间的距离，即 ，所以| PQ| 的最小值为 .| 24 5|62 82 2910 29106.2018合肥模拟已知直线 l： x y10， l1：2 x y20
43、.若直线 l2与 l1关于l对称，则 l2的方程是( )A.x2 y10 B x2 y10C.x y10 D x2 y10答案 B解析 因为 l1与 l2关于 l对称，所以 l1上任一点关于 l的对称点都在 l2上，故 l与l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0，2)为 l1上一点，设它关于 l的对称点为( x， y)，则Error!解得Error!即(1,0)，(1，1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x2 y10.7.若动点 A， B分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3 B2 C3 D 42 2 3 2答
44、案 A解析 l1： x y70 和 l2： x y50 是平行直线，可判断 AB所在直线过原点且与直线 l1， l2垂直时，中点 M到原点的距离最小直线l1： x y70， l2： x y50，两直线的距离为 ，又原点到直线 l2的距|7 5|12 12 211离为 ， AB的中点 M到原点的距离的最小值为 3 .故选 A.522 522 22 28.设点 A(1,0)， B(1,0)，直线 2x y b0 与线段 AB相交，则 b的取值范围是_答案 2,2解析 b为直线 y2 x b在 y轴上的截距，如图，当直线 y2 x b过点 A(1,0)和点 B(1,0)时， b分别取得最小值和最大值
45、 b的取值范围是2,2.9.已知直线 l1： ax y2 a0， l2：(2 a1) x ay a0 互相垂直，则实数 a的值是_答案 0 或 1解析 因为直线 l1： ax y2 a0， l2：(2 a1) x ay a0 互相垂直，故有a(2a1) a(1)0，可知 a的值为 0或 1.10.2018银川模拟点 P(2,1)到直线 l： mx y30( mR)的最大距离是_答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0，3)，如图所示由图知，当 PQ l时，点 P(2,1)到直线 l的距离取得最大值| PQ| 2 ，所以点 P(2，1)到直线 l的最大2 02 1 32 5距离为 2 .5B级
46、 知能提升1.2018东城期末如果平面直角坐标系内的两点 A(a1， a1)， B(a， a)关于直线12l对称，那么直线 l的方程为( )A.x y10 B x y10C.x y10 D x y10答案 A解析 因为直线 AB的斜率为 1，所以直线 l的斜率为 1，设直线 l的方程a 1 aa 1 a为 y x b，由题意知直线 l过点 ，所以 b，解得 b1，所(2a 12 ， 2a 12 ) 2a 12 2a 12以直线 l的方程为 y x1，即 x y10.故选 A.2.2018宜春统考已知直线 l过点 P(3,4)且与点 A(2，2)， B(4，2)等距离，则直线 l的方程为( )A
47、.2x3 y180B.2x y20C.3x2 y180 或 x2 y20D.2x3 y180 或 2x y20答案 D解析 依题意，设直线 l： y4 k(x3)，即 kx y43 k0，则有 ，| 5k 2|k2 1 |k 6|k2 1因此5 k2 k6 或5 k2( k6)，解得 k 或 k2，23故直线 l的方程为 2x3 y180 或 2x y20.3.2018淮安调研已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l： x y30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_答案 6 x y60解析 设点 M(3,4)关于直线 l： x y30 的对称点为 M( a，
48、b)，则反射光线所在直线过点 M，所以Error!解得 a1， b0.又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为 ，即 6x y60.y 06 0 x 12 14.已知两条直线 l1： ax by40 和 l2：( a1) x y b0，求满足下列条件的a， b的值：(1)l1 l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1 l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k21 a.若 k20，则 1 a0， a1. l1 l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0.13又 l1过点(3，1)，3 a40，即 a (矛盾)，43此种情况不存在， k20
49、，即 k1， k2都存在 k21 a， k1 ， l1 l2，ab k1k21，即 (1 a)1.ab又 l1过点(3，1)，3 a b40.由联立，解得 a2， b2.(2) l2的斜率存在且 l1 l2，直线 l1的斜率存在，k1 k2，即 1 a.ab又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1 l2， l1， l2在 y轴上的截距互为相反数，即 b，4b联立，解得Error!或Error! a2， b2 或 a ， b2.235.2018合肥模拟已知直线 l：2 x3 y10，点 A(1，2)求：(1)点 A关于直线 l的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3 x2 y60 关于直线 l的
50、对称直线 m的方程；(3)直线 l关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程解 (1)设 A( x， y)，由已知条件得Error!解得Error! A .(3313， 413)(2)在直线 m上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l的对称点 M必在直线 m上设对称点 M( a， b)，则Error!得 M .(613， 3013)设直线 m与直线 l的交点为 N，则由Error!得 N(4,3)又 m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46 y1020.(3)解法一：在 l：2 x3 y10 上任取两点，如 M(1,1)， N(4,3)，则 M， N关于点 A(1，2)的对称点 M， N均在直线 l上，易得 M(3，5)， N(6，7)，再由两点式可得 l的方程为 2x3 y90.14解法二： l l，设 l的方程为 2x3 y C0( C1)点 A(1，2)到两直线 l， l的距离相等，由点到直线的距离公式，得 ，解得 C9，| 2 6 C|22 32 | 2 6 1|22 32 l的方程为 2x3 y90.解法三：设 P(x， y)为 l上任意一点，则 P(x， y)关于点 A(1，2)的对称点为P(2 x，4 y)点 P在直线 l上，2(2 x)3(4 y)10，即 2x3 y90.
