1、方法技巧专题九 45 角与正切值一、选择题1如图 F91，直线 y x3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点34O，另两个顶点 M、 N 恰落在直线 y x3 上若 N 点在第二象限内，则 tan AON 的值为( )34图 F91A. B. C. D.17 16 15 18二、填空题2如图 F92， ABC 中， C90， ABD45， BD91， CD35，则 AD 的长度为_图 F923如图 F93，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)， B(0，2)，点 C 在第一象限， ABC135， AC 交 y轴于 D， CD3 AD，
2、反比例函数 y 的图象经过点 C，则 k 的值为_kx图 F93 图 F9442017金华 如图 F94，已知点 A(2，3)和点 B(0，2)，点 A 在反比例函数 y 的图象上作射线 AB，再kx将射线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45，交反比例函数图象于点 C，则点 C 的坐标为_三、解答题5如图 F95，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A， B 和 D 的距离分别为 1，2 ， . ADP 沿点 A 旋转2 10至 ABP，连结 PP，并延长 AP 与 BC 相交于点 Q.(1)求证： APP是等腰直角三角形；(2)求 BPQ 的大小；(3)求 CQ 的长图 F
3、956如图 F96，抛物线 y ax2 bx4 a 经过 A(1，0)， C(0，4)两点，与 x 轴交于另一点 B.(1)求抛物线的解折式；(2)已知点 D(m， m1)在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；(3)在(2)的条件下，连结 BD，点 P 为抛物线上一点，且 DBP45，求点 P 的坐标图 F967已知抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为直线 x2，且与 x 轴交于 A、 B 两点与 y 轴交于点 C.其中 A(1，0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)如图 F97，若点 P 在抛物线上运动(点 P 异于点 A)，当 PCB BCA 时，求
4、直线 CP 的解析式图 F978如图 F98，抛物线 y x2 bx c 与直线 y x2 交于 C、 D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为12(3， )点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PE x 轴于点 E，交 CD 于点 F.72(1)求抛物线的解析式；(2)若存在点 P，使 PCF45，求点 P 的坐标图 F989如图 F99，抛物线 y x24 x3 与坐标轴交于 A、 B、 C 三点，点 P 在抛物线上， PD BC 于点 D，垂足 D 在线段 BC 上若 ，求点 P 的坐标CDPD 12图 F99参考答案1A 解析 过 O 作 OC AB 于 C
5、，过 N 作 ND OA 于 D， N 在直线 y x3 上，设 N 的坐标是( x， x3)，34 34则 DN x3， OD x.y x3，34 34当 x0 时， y3，当 y0 时， x4， A(4，0)， B(0，3)，即 OA4， OB3，在 AOB 中，由勾股定理得 AB5，在 AOB 中，由三角形的面积公式得： AOOB ABOC，345 OC， OC .125在 Rt NOM 中， OM ON， MON90， MNO45，sin45 ， ON ，OCON 125ON 12 25在 Rt NDO 中，由勾股定理得 ND2 DO2 ON2，即( x3) 2( x)2( )2，34
6、 12 25计算得出 x1 ， x2 ，8425 1225 N 在第二象限， x 只能是 ， x3 ，8425 34 1225即 ND ， OD ，tan AON .1225 8425 NDOD 17所以 A 选项是正确的2169 3.94(1，6) 解析 如图，过点 A 作 AH AB 交 x 轴于点 H，过点 D 分别作 DE AB， DF AH，垂足分别为E， F.设 AB 的解析式为 y kx b，把点 A(2，3)和点 B(0，2)分别代入，得 2k b 3，b 2， )解得 y x2.k 12，b 2， ) 12令 y0，则 x20，得 x4.12 G(4，0)， OG4， OB2
7、.点 A(2，3)， OG4，可得 AG3 .5 BGO AGH， GOB GAH90， BOG HAG， ，即 ， AH .OBAH OGAG 2AH 43 5 3 52由 AGH 的面积，可得 3GH AGAH，12 12即 3GH3 ，得 GH .53 52 152 OH GH OG .72 AH AB， GAC45， AD 平分 GAH. DE AB， DF AH， DE DF AF.由 AGH 的面积，可得 DEAG DFAH AGAH，12 12 12即 (3 )DF 3 ，12 5 3 52 12 5 3 52 DF ， AF ， FH .5 53 52 5 52 DH ，（ 5
8、） 2 （ 52） 2 52 OD OH DH 1， D(1，0)72 52设直线 AD 的解析式为 y mx n，把点 A(2，3)， D(1，0)代入，得 解得 y3 x3.2m n 3，m n 0， ) m 3，n 3， )把点 A(2，3)代入 y ，得 y .kx 6x由 得 或 (舍去)，y 6x，y 3x 3) x 1，y 6) x 2，y 3)点 C 的坐标为(1，6)5解：(1)证明： ABP是由 ABP 顺时针旋转 90得到， AP AP， PAP90， APP是等腰直角三角形(2) APP是等腰直角三角形， APP45， PP ，2又 BP ， BP2 ，10 2 PP
9、2 BP2 BP 2， BPP90. APP45， BPQ180 APP BPP45. (3)过点 B 作 BE AQ 于点 E，则 PBE 为等腰直角三角形， BE PE， BE2 PE2 PB2， BE PE2， AE3， AB ，则 BC .AE2 BE2 13 13 BAQ EAB， AEB ABQ90， ABE AQB， ，即 ， AQ ，AEAB ABAQ 313 13AQ 133 BQ ，AQ2 AB22313 CQ BC BQ .13136解：(1)抛物线 y ax2 bx4 a 经过 A(1，0)、 C(0，4)两点， a b 4a 0， 4a 4， )解得 a 1，b 3，
10、 )抛物线的解析式为 y x23 x4.(2)点 D(m， m1)在抛物线上， m1 m23 m4，即 m22 m30 m1 或 m3，点 D 在第一象限，点 D 的坐标为(3，4)由(1)知 OC OB， CBA45.设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E. C(0，4)， CD AB，且 CD3， ECB DCB45， E 点在 y 轴上，且 CE CD3， OE1， E(0，1)，即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0，1)(3)作 PF AB 于 F， DE BC 于 E，由(1)有 OB OC4， OBC45. DBP45， CBD PBA. C(0，4)， D(3，4)
11、， CD OB 且 CD3， DCE CBO45， DE CE .32 2 OB OC4， BC4 ，2 BE BC CE ，52 2tan PBFtan CBD .DEBE 35设 PF3 t，则 BF5 t， OF5 t4， P(5 t4，3 t) P 点在抛物线上，3 t(5 t4) 23(5 t4)4， t0(舍去)或 t ， P( ， )2225 25 66257解：(1)因为抛物线经过点 A(1，0)， C(0，3)，对称轴为直线 x2，所以可列方程组 解得a b c 0，c 3， b2a 2， ) a 1，b 4，c 3， )所以抛物线的解析式为 y x24 x3.(2)如图所示
12、，延长直线 CP 交 x 轴于点 Q.因为点 B(3，0)， C(0，3)，所以 OB OC，即 OCB OBC45，因为直线 CP 经过点 C，所以可设直线 CP 的方程为 y kx3.令 OCA ，则 ACB OCB 45 ，因为 BCP ACB45 ，所以 OQC OBC BCP45(45 ) ，所以 OCA OQC，又因为 QOC COA，所以 AOC COQ，故 ，所以 OQ3 OC9，OAOC OCOQ 13即点 Q 的坐标为(9，0)，因为直线 CP 经过点 Q，所以 k930，解得 k ，13所以直线 CP 的解析式为 y x3.138解：(1)由抛物线过点 C(0，2)， D
13、(3， )，可得72解得 0 0 c 2， 9 3b c 72， ) c 2，b 72， )所以抛物线的解析式为 y x2 x2.72(2)设 P(m， m2 m2)如图，当点 P 在 CD 上方且 PCF45时，72作 PM CD 于点 M， CN PF 于点 N，则 PMF CNF， 2， PM CM2 CF.PMMF CNFN m12m PF FM CF CN CN m.又 PF m23 m， m23 m m.5 5 552 52 52 52解得 m1 ， m20(舍去)， P( ， )12 12 72当点 P 在 CD 下方且 PCF45时，同理可以求得另外一点为 P( ， )236
14、13189解：令 y0，则 x24 x30， x11， x23， B(3，0)当 x0 时， y3， C(0，3)， OB OC3， OCB OBC45.连结 CP，则 tan PCD 2，PDCD作 PE y 轴于 E，连接 PC. BCE135，过 C 点作 CH x 轴，作 P 点作 PH y 轴，两直线交于 H 点， CH 交 PD 于 G 点，设 CD 的长为 x，则PD2 x， PG x， CE PH x， PE CH x x.22 2 22tan PCE3.设 CE a，则 PE3 a， P(3a，3 a)，代入抛物线方程得 3 a9 a212 a3， a ， P( ， )139 133 409
