（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 立体几何（课件+学案+练习）（打包12套）.zip

立体几何第 七 章第 37讲空 间 几何体的三 视图 、直 观图 、表面 积 和体 积考纲要求 考情分析 命题趋势1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形 (长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合 )的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 .2017·全国卷 Ⅰ ， 162017·全国卷 Ⅱ ， 152017·全国卷 Ⅲ ， 92017·江苏卷， 62017·北京卷， 62017·天津卷， 11空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积 .分值： 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航1． 空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体 结构特征棱柱 有两个面 ________，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 __________的三角形棱台 棱锥被平行于 ________的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台平行 公共 顶 点 底面 (2)旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 矩形一边所在的直线圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线球 半圆或圆 直径所在的直线2． 空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括： ________、 ________、 ________.(2)三视图的画法① 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成 ________.② 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 ________方、 ________方、 ________方观察几何体的正投影图．正 视图 侧视图 俯 视图 虚 线 正前 正左 正上 3． 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用 ___________画法来画，其规则是：(1)原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为_________________， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面 ________.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 __________________；平行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度 ________；平行于 y轴的线段在直观图中长度为 ____________________.斜二 测 45°或 135° 垂直 平行于坐 标轴 不 变 原来的一半 4． 空间几何体的表面积与体积Sh 4πR2 1．思维辨析 (在括号内打 “ √” 或 “ ×” )．(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱． ( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ( )(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． ( )(4)用斜二测画法画水平放置的 ∠ A时，若 ∠ A的两边分别平行于 x轴和 y轴，且∠ A＝ 90°，则在直观图中， ∠ A＝ 45°.( )(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( )× × × × × 解析 (1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行．(4)错误． ∠ A应为 45°或 135°.(5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．C 3．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8，高为 5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A． 24 B． 80 C． 64 D． 240B 4．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________.解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 πrl＋ πr2＝ 3π， πl＝ 2πr，解得 r＝ 1，即直径为 2.2 5． (2017·全国卷 Ⅱ )长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为 ________.14π 解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型．(3)通过反例对结构特征进行辨析．一 空间几何体的结构特征【 例 1】 (1)给出下列命题：① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是 ( )A． 0 B． 1 C． 2 D． 3A (2)以下命题：① 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；② 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③ 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为 ( )A． 0 B． 1 C． 2 D． 3B 解析 (1)① 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ② 不一定，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③ 错误，棱台上的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)由圆台的定义可知 ① 错误， ② 正确．对于命题 ③ ，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， ③ 不正确．二 空间几何体的三视图和直观图(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即 “ 长对正，宽相等，高平齐 ” ．(2)解决有关 “ 斜二测画法 ” 问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【 例 2】 (1)(2016·天津卷 )将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧 (左 )视图为 ( )B (2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 ( )A 三 空间几何体的表面积和体积(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．C B 四 与球有关的切、接问题A C 36π 1第 37 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积考纲要求 考情分析 命题趋势2017·全国卷Ⅰ，162017·全国卷Ⅱ，152017·全国卷Ⅲ，92017·江苏卷，62017·北京卷，62017·天津卷，111.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.分值： 5 分空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积.1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面！！！！__平行__####，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个！！！！__公共顶点__####的三角形棱台棱锥被平行于！！！！__底面__####的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形 旋转轴圆柱矩形 矩形一边所在的直线2圆锥直角三角形 一直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线球 半圆或圆 直径所在的直线2．空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：！！！！__正视图__####、！！！！__侧视图__####、！！！！__俯视图__####.(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成！！！！__虚线__####.②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的！！！！__正前__####方、！！！！__正左__####方、！！！！__正上__####方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用！！！！__斜二测__####画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为！！！！__45°或 135°__####， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面！！！！__垂直__####.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别！！！！__平行于坐标轴__####；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度！！！！__不变__####；平行于 y 轴的线段在直观图中长度为！！！！__原来的一半__####.4．空间几何体的表面积与体积名称几何体表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 ＝ S 侧 ＋2 S 底 V＝！！！！__ Sh__####锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 底 V＝！！！！__ Sh__####13台体(棱台和圆台)S 表面积 ＝ S 侧 ＋ S 上 ＋ S 下 V＝ (S 上 ＋ S 下 ＋ )13 S上 S下h球S＝！！！！__4π R2__####V＝！！！！__ π R3__###43#31．思维辨析(在括号内打“√”或“ ”)．(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱．( × )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( × )(4)用斜二测画法画水平放置的∠ A 时，若∠ A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠ A＝90°，则在直观图中，∠ A＝45°.( × )(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × )解析 (1)错误．因为侧棱不一定与底面垂直．(2)错误．尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点．(3)错误．因为两个平行截面不能保证与底面平行．(4)错误．∠ A 应为 45°或 135°.(5)错误．正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为 8，高为 5 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6，高为 5 的等腰三角形，则该几何体的体积为( B )A．24 B．80 C．64 D．240解析 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形，棱锥的高是 5，可由锥体的体积公式得 V＝ ×8×6×5＝80.134．表面积为 3π 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为！！！！__2__####.解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 π rl＋π r2＝3π，π l＝2π r，解得 r＝1，即直径为 2.5．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为！！！！__14π__####.解析 依题意得，长方体的体对角线长为 ＝ ，记长方体的外接球的半32＋ 22＋ 12 144径为 R，则有 2R＝ ， R＝ ，因此球 O 的表面积等于 4π R2＝14π.14142一 空间几何体的结构特征解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力．(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型．(3)通过反例对结构特征进行辨析．【例 1】 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( A )A．0 B．1 C．2 D．3(2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( B )A．0 B．1 C．2 D．3解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台上的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．二 空间几何体的三视图和直观图5(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐” ．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【例 2】 (1)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( B )(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( A )解析 (1)由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示，该几何体的侧视图为 B 项．故选 B．(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图形为平行四26边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 .2三 空间几何体的表面积和体积(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【例 3】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( C )A． ＋ π B． ＋ π13 23 13 23C． ＋ π D．1＋ π13 26 26(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( B )7A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．815 5解析 (1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为 1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线，所以球的直径 2R＝ ，即 R＝ ，所以半球222的体积为 π R3＝ π.又正四棱锥的体积为 ×12×1＝ ，所以该几何体的体积为 ＋ π.23 26 13 13 13 26故选 C．(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为 3)，高为 6，侧棱长为 3 的斜5四棱柱，其表面积 S＝2×3 2＋2×3×3 ＋2×3×6＝54＋18 .故选 B．5 5四 与球有关的切、接问题(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的 .求球的半径关键是找到由12球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．【例 4】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( A )A． B．16π C．9π D．81π4 27π4(2)已知直三棱柱 ABC－ A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB＝3， AC＝4， AB⊥ AC， AA1＝12，则球 O 的半径为( C )A． B．2 C． D．33172 10 132 10(3)若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则8＝！！！！__ __####.S1S2 63π(4)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 S－ ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC， SB＝ BC，三棱锥 S－ ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为！！！！__36π__####.解析 (1)如图所示，设球的半径为 R，底面中心为 O′且球心为 O.∵正四棱锥 P－ ABCD 中 AB＝2，∴ AO′＝ .2∵ PO′＝4，∴在 Rt△ AOO′中， AO2＝ AO′ 2＋ OO′ 2，∴ R2＝( )2＋(4－ R)2，解得 R＝ .294∴该球的表面积为 4π R2＝4π× 2＝ .(94) 81π4(2)如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM＝ BC＝ ， OM＝ AA1＝6，12 52 12所以球 O 的半径R＝ OA＝ ＝ .(52)2＋ 62 132(3)设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4· ·a2＝ a2，其内切球半径为34 3正四面体高的 ，即 r＝ · a＝ a，因此内切球表面积为 S2＝4π r2＝ ，则14 14 63 612 π a26＝ ＝ .S1S2 3a2π 6a2 63π(4)设球 O 的半径为 R，∵ SC 为球 O 的直径，∴点 O 为 SC 的中点，连接AO， OB，∵ SA＝ AC， SB＝ BC，∴ AO⊥ SC， BO⊥ SC，∵平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面SCB＝ SC，∴ AO⊥平面 SCB，所以 VS－ ABC＝ VA－ SBC＝ ×S△139SBC×AO＝ × ×AO，即 9＝ × ×R，解得 R＝3，∴球 O 的表13 (12×SC×OB) 13 (12×2R×R)面积 S＝4π R2＝4π×3 2＝36π.1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A． ＋1 B． ＋3 C． ＋1 D． ＋3π 2 π 2 3π2 3π2解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积 V＝ × π×3＋ × ×2×1×3＝ ＋1.故选 A．13 12 13 12 π 22．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( A )A．34π B．35π C．36π D．17π解析 由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为 3,3,4 的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以 4R2＝3 2＋3 2＋4 2＝18＋16＝34(其中 R 为外接球的半径)，外接球表面积为S＝4π R2＝34π.故选 A．3．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( D )10A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋43 3C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋23 3解析 由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为 2×4×2＝16，两个底面面积之和为 2× ×2× ＝2 ；半圆柱的侧面积12 3 3为 π×4＝4π，两个底面面积之和为 2× ×π×1 2＝π，所以几何体的表面积为125π＋16＋2 .故选 D．34．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等且 ＝ ，则 的值是！！！！__ __####.V1V2 32 S1S2 94解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为 r1， r2，高分别为 h1， h2，则有2π r1h1＝2π r2h2，即 r1h1＝ r2h2.又 ＝ ，V1V2 π r21h1π r2h2∴ ＝ ，∴ ＝ ，则 ＝ 2＝ .V1V2 r1r2 r1r2 32 S1S2 (r1r2) 94易错点 不能巧妙运用长方体和正方体解题错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．【例 1】 某几何体的一条棱长为 m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和 的线段，则7 6 5m 的值为( )A．3 B．2 C．4 D．23 5解析 将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，对角线 A′ C为该棱，则 CD′为该棱的正视图，长为 ， A′ C′为俯视图，长为 ， CB′为侧视图，长7 5为 ，则 Error!6则 A′ C2＝ a2＋ b2＋ c2＝9，则 A′ C＝3.答案 A【跟踪训练 1】 (2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( D )11A．60 B．30 C．20 D．10解析 如图，把三棱锥 A－ BCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为 5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥 A－ BCD 的高为 4，故该三棱锥的体积 V＝× ×5×3×4＝10.13 12课时达标 第 37 讲[解密考纲]考查空间几何体的结构特征、三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．下列说法正确的是( D )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点解析 由棱柱和棱锥的概念可知，A，B，C 项均错误．由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分，故棱台各侧棱的延长线交于一点．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )解析 由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为 D 项，则正视图应为 ，故 D 项不可能．故选 D．123．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( B )A．2＋ B．2＋2 C． D．5 543 23解析 三棱锥的高为 1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是×2×2＋2× × ×1＋ × ×2＝2＋2 .故选 B．12 12 5 12 5 54．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是( C )A． B． C． －2 D．3 －643 49 6 6解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为 r，则由棱锥的体积公式有 Sh＝ (S1＋ S2＋ S3＋ S4)r，其中 S＝ ×2×2＝2， h＝2， S1， S2， S3， S4分别是三棱锥四13 13 12个面的面积， S1＝ S2＝ S＝2， S3＝ S4＝ ×2 × ＝ ，所以 4＝(4＋2 )r，解得12 2 3 6 6r＝ － 2.65．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( A )13A． m3 B． m3 C． m3 D． m372 92 73 94解析 由三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，其体积为 3 个正方体的体积加三棱柱的体积，所以 V＝3＋ ＝ .故选 A．12 726．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A．90π B．63π C．42π D．36π解析 依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为 3、高为 10 的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为 3、高为 10＋4＝14 的圆柱，因此该几何体的体积等于×π×3 2×14＝63π.故选 B．12二、填空题7．边长为 2 的正方体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积和体积分别为！！！！ 12π，4 π #### .3解析 ∵正方体的顶点都在球 O 的球面上，∴正方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．14设球的半径为 R，则 2R＝ ＝2 ，即 R＝ ，22＋ 22＋ 22 3 3∴球 O 的表面积为 S＝4π×( )2＝12π，3体积为 V＝ π R3＝4 π.43 38．等腰梯形 ABCD，上底 CD＝1，腰 AD＝ CB＝ ，下底 AB ＝ 3，以下底所在直线为2x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A′ B′ C′ D′的面积为！！！！__ __####.22解析 如图所示：因为 OE＝ ＝1，所以 O′ E′＝ ， E′ F＝ ，则直观图 A′ B′ C′ D′的面积22－ 112 24为 S′＝ ×(1＋3)× ＝ .12 24 229．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是！！！！ ####.29解析 根据三视图可知原几何体如图所示，最长棱为 AC，所以 AE＝2， EB＝2， ED＝3， DC＝4，所以 EC＝5，所以 AC＝ .29三、解答题10．如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．15(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解析 (1)该四棱锥的俯视图是边长为 6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝ ＝ ＝6 .PC2＋ CD2 62＋ 62 2由正视图可知 AD＝6，且 AD⊥ PD，所以在 Rt△ APD 中，PA＝ ＝ ＝6 (cm)．PD2＋ AD2 622＋ 62 311．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－ A1B1C1D1，下部的形状是 ABCD－ A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍． AB＝6 m， PO1 ＝2 m，则仓库的容积是多少？解析 由 PO1＝2 知 O1O＝4 PO1＝8.因为 A1B1＝ AB＝6，所以正四棱锥 P－ A1B1C1D1的体积V 锥 ＝ ·A1B ·PO1＝ ×62×2＝24(m 3)；13 21 13正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1的体积V 柱 ＝ AB2·O1O＝6 2×8＝288(m 3)．所以仓库的容积 V＝ V 锥 ＋ V 柱 ＝24＋288＝312(m 3)．12．如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积(其中∠ BAC＝30°)．16解析 如图所示，过 C 作 CO1⊥ AB 于 O1，在半圆中∠ BCA＝90°，∠ BAC＝30°，AB＝2 R，∴ AC＝ R， BC＝ R， CO1＝ R.332∵ V 球 ＝ π R3， V 圆锥 AO1＝ ·AO1·π CO ＝ π R2·AO1，43 13 21 14V 圆锥 BO1＝ BO1·π CO ＝ π R2·BO1，13 21 14∴ V 几何体 ＝ V 球 －( V 圆锥 AO1＋ V 圆锥 BO1)＝ π R3－ π R3＝ π R3.43 12 56立体几何第 七 章第 38讲 空 间 点、直 线 、平面之 间 的位置关系考纲要求 考情分析 命题趋势理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理 .2017·全国卷 Ⅰ ， 62016·北京卷， 62016·浙江卷， 2空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力 .分值： 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航1． 平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的 __________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理 2：过 _________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理 3：如果两个不重合的平面有 ________公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．两点 不在一条直 线 上 一个 (4)公理 2的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论 2：经过两条 ________直线有且只有一个平面．推论 3：经过两条 ________直线有且只有一个平面．相交 平行 平行 相交 任何 (2)异面直线所成的角① 定义：设 a， b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线 a′∥ a， b′∥ b，把 a′与 b′所成的 ____________________叫做异面直线 a与 b所成的角 (或夹角 )．② 范围： ________.(3)平行公理：平行于 ___________________的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ___________.锐 角 (或直角 ) 同一条直 线 相等或互 补 3． 直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直 线 与平面的位置关系有 ________、 ________、 ___________三种情况．(2)平面与平面的位置关系有 ________、 ________两种情况．相交 平行 在平面内 平行 相交 1．思维辨析 (在括号内打 “ √” 或 “ ×” )．(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分． ( )(2)两个平面 α， β有一个公共点 A，就说 α， β相交于点 A，并记作 α∩β＝ A.( )(3)两个平面 ABC与 DBC相交于线段 BC.( )(4)已知 a， b是异面直线，直线 c平行于直线 a，那么 c与 b不可能是平行直线． ( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线． ( )× × × √ × 解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三个部分．(2)错误．由公理 3知应交于过点 A的一条直线．(3)错误．应相交于直线 BC，而非线段．(4)正确．因为若 c∥ b，则由已知可得 a∥ b，这与已知矛盾．(5)错误．异面或平行．2．若空间三条直线 a， b， c满足 a⊥ b， b∥ c，则直线 a与 c( )A．一定平行 B．一定相交C．一定是异面直线 D．一定垂直解析 因为 b∥ c， a⊥ b，所以 a⊥ c，即 a与 c垂直．D 3．下列命题正确的个数为 ( )① 经过三点确定一个平面； ② 梯形可以确定一个平面；③ 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．A． 0 B． 1 C． 2 D． 3解析 ① 错误， ②③ 正确．C 4．已知直线 a和平面 α， β， α∩β＝ l， a⊄α， a⊄β，且 a在 α， β内的射影分别为直线 b和 c，则直线 b和 c的位置关系是 ( )A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析 依题意，直线 b和 c的位置关系可能是相交、平行或异面．D 5．如图所示，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E， F分别是 AB， AD的中点，则异面直线 B1C与 EF所成的角的大小为 ________.解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1∥ EF，故 ∠ D1B1C为所求，又 B1D1＝ B1C＝ D1C，∴∠ D1B1C＝ 60°.60° 用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法： ① 首先由所给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面，然后再证其余的线 (或点 )在这个平面内； ② 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法： ① 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； ② 直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．一 平面的基本性质及应用【 例 1】 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )① 不共面的四点中，其中任意三点不共线；② 若点 A， B， C， D共面，点 A， B， C， E共面，则 A， B， C， D， E共面；③ 若直线 a， b共面，直线 a， c共面，则直线 b， c共面；④ 依次首尾相接的四条线段必共面．A． 0 B． 1 C． 2 D． 3解析 ① 显然是正确的，可用反证法证明； ② 中若 A， B， C三点共线，则 A， B， C， D， E五点不一定共面； ③ 构造长方体或正方体，如图显然 b， c异面，故不正确； ④ 中空间四边形中四条线段不共面．故只有 ① 正确．故选 B．B (2)由 (1)知 FH与直线 AC不平行，但共面， ∴ 设 FH∩AC＝ M，∴ M∈ 平面 EFHG， M∈ 平面 ABC.又 ∵ 平面 EFHG∩平面 ABC＝ EG，∴ M∈ EG.∴ FH， EG， AC共点．二 空间两条直线的位置关系判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法．(2)平行直线，可利用三角形 (梯形 )中位线的性质、公理 4及线面平行与面面平行的性质定理．(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【 例 3】 如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M， N分别是 A1B1， B1C1的中点．问：(1)AM和 CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和 CC1是否是异面直线？说明理由．三 两条异面直线所成的角两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：① 利用图中已有的平行线平移；② 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移；③ 补形平移．(2)求异面直线所成的角的三个步骤：① 作：通过作平行线，得到相交直线；② 证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；③ 算：通过解三角形，求出该角．【 例 4】 已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1.(1)求 AC与 A1D所成角的大小；(2)若 E， F分别为 AB， AD的中点，求 A1C1与 EF所成角的大小．解析 (1)如图所示，连接 B1C.由 ABCD－ A1B1C1D1是正方体，易知 A1D∥ B1C，从而 ∠ B1CA(或其补角 )就是 AC与 A1D所成的角．∵ AB1＝ AC＝ B1C，∴∠ B1CA＝ 60°，即 A1D与 AC所成的角为 60°.(2)如图所示，连接 AC， BD，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，AC⊥ BD， AC∥ A1C1.∵ E， F分别为 AB， AD的中点，∴ EF∥ BD.∴ EF⊥ AC.∴ EF⊥ A1C1，即 A1C1与 EF所成的角为 90°.1． 下列命题中正确的个数是 ( )① 过异面直线 a， b外一点 P有且只有一个平面与 a， b都平行；② 异面直线 a， b在平面 α内的射影相互垂直，则 a⊥ b；③ 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④ 直线 a， b分别在平面 α， β内，且 a⊥ b，则 α⊥ β.A． 0 B． 1 C． 2 D． 3A 解析 对于 ① ，当点 P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点 P且与两条异面直线都平行的平面，故 ① 错误；对于 ② ，在如图 1所示的三棱锥 P－ ABC中， PB⊥ 平面 ABC， BA⊥ BC，满足 PA， PC两边在底面的射影相互垂直，但 PA与 PC不垂直，故 ② 错误；对于 ③ ，在如图 2所示的三棱锥P－ ABC中， AB＝ BC＝ AC＝ PA＝ 2， PB＝ PC＝ 3，满足底面 ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥 P－ ABC不是正三棱锥，故 ③ 错误；对于 ④ ，直线 a，b分别在平面 α， β内，且 a⊥ b，则 α， β可以平行，故 ④ 错误．所以正确命题的个数为 0.故选 A．D 3．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( )A．两条相交直线 B．两条平行直线C．两个点 D．一条直线和直线外一点解析 如图，在正方体 ABCD－ EFGH中， M， N分别为 BF， DH的中点，连接MN， DE， CF， EG.当异面直线为 EG， MN所在直线时，它们在底面 ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为 DE， GF所在直线时，它们在底面 ABCD内的射影分别为 AD， BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE， BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为 AD和点 B，是一条直线和一个点．故选 C．C