（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程（课件+学案+练习）（打包6套）.zip

坐 标 系与参数方程第十一章第 57讲 坐标系考纲要求 考情分析 命题趋势1.理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．2017·全国卷 Ⅱ ， 222017·全国卷 Ⅲ ， 222016·全国卷 Ⅰ ， 232016·北京卷， 11极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程．分值： 5～ 10分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航λx， λ＞ 0 μy， μ＞ 0 2． 极坐标系(1)相关概念① 极坐标系：如图所示，在平面内取一个 _______O，点 O叫做极点，自极点 O引一条 ______ Ox， Ox叫做极轴；再选定一个 ____________、一个 ____________ (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．定点 射 线 长 度 单 位 角度 单 位 ② 极坐标：一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0， θ可取任意实数．③ 点与极坐标的关系：一般地，极坐标 (ρ， θ)与 ________________________表示同一个点，特别地，极点 O的坐标为 ________________，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有____________种表示．如果规定 ρ0,0≤θ2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标____________表示；同时，极坐标 (ρ， θ)表示的点也是唯一确定的．(ρ， θ＋ 2kπ)(k∈ Z) (0， θ)(θ∈ R) 无数 (ρ， θ) ρcos θ ρsin θ x2＋ y2 3． 常见曲线的极坐标方程θ＝ α(ρ∈ R) θ＝ π＋ α(ρ∈ R) 1．思维辨析 (在括号内打 “ √” 或打 “ ￿ ” )．(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆． ( )(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆． ( )(3)过极点，倾斜角为 α的直线的极坐标方程可表示为 θ＝ α或 θ＝ π＋ α. ( )(4)圆心在极轴上的点 (a,0)处，且过极点 O的圆的极坐标方程为 ρ＝ 2asin θ.( )× √ √ × y＝ 3sin 2x 一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换二 极坐标与直角坐标的互化极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ， ρsin θ， ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化为 ρsin(θ±α)或 ρ＝ cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的 x转化为 ρcos θ，将 y换成 ρsin θ，即可得到其极坐标方程．三 极坐标方程的求法与应用已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．3．设过原点 O的直线与圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1的一个交点为 P，点 M为线段 OP的中点，当点 P在圆上移动一周时，求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．错因分析： 忽略变量的取值范围，导致错误．易 错 点 忽略 变 量的取 值 范 围1第 57 讲 坐标系考纲要求 考情分析 命题趋势2017·全国卷Ⅱ，222017·全国卷Ⅲ，222016·全国卷Ⅰ，232016·北京卷，111.理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．分值：5～10 分极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ ：Error!的作用下，点 P(x， y)对应到点 P′( x′， y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)相关概念①极坐标系：如图所示，在平面内取一个__定点__ O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条__射线__Ox， Ox 叫做极轴；再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．②极坐标：2一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ ≥0， θ 可取任意实数．③点与极坐标的关系：一般地，极坐标( ρ ， θ )与__ ( ρ ， θ ＋2 kπ)( k∈Z) __表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为__ (0， θ )(θ ∈R) __，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有__无数__种表示．如果规定 ρ 0,0≤ θ 0)， M 的极坐标为( ρ 1， θ )(ρ 10)，由题设知| OP|＝ ρ ，| OM|＝ ρ 1＝ .4cos θ由| OM|·|OP|＝16，得 C2的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ (ρ 0)．因此 C2的直角坐标方程为( x－2) 2＋ y2＝4( x≠0)．(2)设点 B 的极坐标为( ρ B， α ) .(ρ B0， α ∈ (－π 2， π 2))由题设知| OA|＝2， ρ B＝4cos α ，于是△ OAB 的面积S＝ |OA|·ρ B·sin∠ AOB12＝4cos α ·|sin(α －π 3)|＝2 ≤2＋ .|sin(2α －π 3)－ 32| 3当 α ＝－ 时， S 取得最大值 2＋ .π12 3所以△ OAB 面积的最大值为 2＋ .31．求双曲线 C： x2－ ＝1 经过 φ ：Error!变换后所得曲线 C′的焦点坐标．y264解析 设曲线 C′上任意一点 P′( x′， y′)，将Error!代入 x2－ ＝1，得 －y264 x′ 29＝1，化简得 － ＝1，即 － ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，则4y′ 264 x′ 29 y′ 216 x29 y216所求焦点坐标为 F1(－5,0)， F2(5,0)．2．已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 ρ ＝2， ρ 2－2 ρ ·cos ＝2.2 (θ －π 4)(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；6(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析 (1)由 ρ ＝2 知 ρ 2＝4，所以 x2＋ y2＝4.因为 ρ 2－2 ρ cos ＝2，2 (θ －π 4)所以 ρ 2－2 ρ ＝2.2 (cos θ cosπ 4＋ sin θ sinπ 4)所以 x2＋ y2－2 x－2 y－2＝0.(2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为 x＋ y＝1.化为极坐标方程为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ ＝1，即 ρ sin ＝ .(θ ＋π 4) 223．设过原点 O 的直线与圆( x－1) 2＋ y2＝1 的一个交点为 P，点 M 为线段 OP 的中点，当点 P 在圆上移动一周时，求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解析 圆( x－1) 2＋ y2＝1 的极坐标方程为 ρ ＝2cos θ ，设点 P 的(－π 2 ≤ θ π 2)极坐标为( ρ 1， θ 1)，点 M 的极坐标为( ρ ， θ )，∵点 M 为线段 OP 的中点，∴ ρ 1＝2 ρ ， θ 1＝ θ ，将 ρ 1＝2 ρ ， θ 1＝ θ 代入圆的极坐标方程，得 ρ ＝cos θ .∴点M 轨迹的极坐标方程为 ρ ＝cos θ ，它表示圆心为点 ，半径为 的(－π 2 ≤ θ π 2) (12， 0) 12圆．4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)．设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： ρ (cos θ ＋sin θ )－ ＝0 ， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径．2解析 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程为 y＝ k(x－2)；消去参数 m 得 l2的普通方程为y＝ (x＋2)．1k设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2－ y2＝4( y≠0)．所以 C 的普通方程为 x2－ y2＝4( y≠0)．(2)C 的极坐标方程为 ρ 2(cos2θ －sin 2θ )＝4(0 θ 2π， θ ≠π)．联立Error!得 cos θ －sin θ ＝2(cos θ ＋sin θ )．故 tan θ ＝－ ，从而 cos2θ ＝ ，sin 2θ ＝ .13 910 1107代入 ρ 2(cos2θ －sin 2θ )＝4，得 ρ 2＝5，所以交点 M 的极径为 .5易 错 点 忽 略 变 量 的 取 值 范 围 错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误．【例 1】 求极坐标方程 ρ ＝ 所对应的直角坐标方程．2＋ 2cos θsin2θ解析 由 ρ ＝ (sin θ ≠0)，得 ρ ＝ (cos θ ≠±1)，2＋ 2cos θsin2θ 21－ cos θ∴ ρ － ρ cos θ ＝2(cos θ ≠±1)，(*)∴ ＝ x＋2，化简得 y2＝4 x＋4，x2＋ y2当 cos θ ＝1 时，(*)式不成立；当 cos θ ＝－1 时，由(*)式知 ρ ＝1，∴ x＝ ρ cos θ ＝－1.综上可知， y2＝4 x＋4( x≠－1)即为所求．【跟踪训练 1】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(t 为参数， a＞0)．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： ρ ＝4cos θ .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 θ ＝ α 0，其中 α 0满足 tan α 0 ＝2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解析 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2＋( y－1) 2＝ a2，则 C1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将 x＝ ρ cos θ ， y＝ ρ sin θ 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为ρ 2－2 ρ sin θ ＋1－ a2＝0.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若 ρ ≠0，由方程组得 16cos2θ －8sin θ cos θ ＋1－ a2＝0，由 tan θ ＝2，可得16cos2θ －8sin θ cos θ ＝0，从而 1－ a2＝0，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1.a＝1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上．所以 a＝1.课时达标 第 57 讲[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程，常以解答题的形式出现．1．求椭圆 ＋ y2＝1 经过伸缩变换Error!后的曲线方程．x24解析 由Error!得Error! ①8将①代入 ＋ y2＝1，得 ＋ y′ 2＝1，即 x′ 2＋ y′ 2＝1.x24 4x′ 24因此椭圆 ＋ y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋ y2＝1.x242．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 ρ cos ＝ a，且点 A 在直线 l(2，π 4) (θ － π 4)上．(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为Error!( α 为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系．解析 (1)由点 A 在直线 l 上，得 cos ＝ a，则 a＝ ，故直线 l 的(2，π 4) 2 (π 4－ π 4) 2方程可化为 ρ sin θ ＋ ρ cos θ ＝2，得直线 l 的直角坐标方程为 x＋ y－2＝0.(2)消去参数 α ，得圆 C 的普通方程为( x－1) 2＋ y2＝1，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离d＝ ＝ 1，所以直线 l 与圆 C 相交．|1＋ 0－ 2|12＋ 12 123．已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ ＝6cos θ ，曲线 C2的极坐标方程为 θ ＝ (ρ ∈R)，π 4曲线 C1， C2相交于 A， B 两点．(1)把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦 AB 的长度．解析 (1)曲线 C2： θ ＝ (ρ ∈R)表示直线 y＝ x，曲线 C1： ρ ＝6cos θ ，即π 4ρ 2＝6 ρ cos θ ，所以 x2＋ y2＝6 x，即( x－3) 2＋ y2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线的距离 d＝ ， r＝3，322∴弦长 AB＝2 ＝3 .r2－ d2 2∴弦 AB 的长度为 3 .24．在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 ρ sin θ ＝2，点 M 是 C1上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且| OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2，求曲线 C2的极坐标方程．解析 设 P(ρ 1， θ )， M(ρ 2， θ )，由| OP|·|OM|＝4，得 ρ 1ρ 2＝4，即 ρ 2＝ .4ρ 1∵ M 是 C1上任意一点，∴ ρ 2sin θ ＝2，即 sin θ ＝2， ρ 1＝2sin θ .4ρ 1∴曲线 C2的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .95．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ 2＝ ，直线 l 的极坐标方程为 ρ ＝ .21＋ sin2θ 42sin θ ＋ cos θ(1)写出曲线 C1与直线 l 的直角坐标方程；(2)设 Q 为曲线 C1上一动点，求点 Q 到直线 l 距离的最小值．解析 (1)根据 ρ 2＝ x2＋ y2， x＝ ρ cos θ ， y＝ ρ sin θ ，可得 C1的直角坐标方程为x2＋2 y2＝2，直线 l 的直角坐标方程为 x＋ y＝4.2(2)设 Q( cos θ ，sin θ )，则点 Q 到直线 l 的距离为2d＝ ＝ ≥ ＝ ，|2sin θ ＋ 2cos θ － 4|3 |2sin(θ ＋ π 4)－ 4|3 23 233当且仅当 θ ＋ ＝2 kπ＋ ，即 θ ＝2 kπ＋ (k∈Z)时取等号．π 4 π 2 π 4∴点 Q 到直线 l 距离的最小值为 .2336．(2018·四川绵阳诊断考试)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是Error! (α为参数)．以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)设 l1： θ ＝ ， l2： θ ＝ ，若 l1， l2与曲线 C 分别交于异于原点的 A， B 两点，π 6 π 3求△ AOB 的面积．解析 (1)将 C 的参数方程化为普通方程( x－3) 2＋( y－4) 2＝25，即x2＋ y2－6 x－8 y＝0，所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝6cos θ ＋8sin θ .(2)把 θ ＝ 代入 ρ ＝6cos θ ＋8sin θ ，得 ρ 1＝4＋3 ，π 6 3所以点 A 的极坐标为 A .(4＋ 33，π 6)把 θ ＝ 代入 ρ ＝6cos θ ＋8sin θ ，得 ρ 2＝3＋4 ，π 3 3所以点 B 的极坐标为 B .(3＋ 43，π 3)所以 S△ AOB＝ ρ 1ρ 2sin∠ AOB12＝ (4＋3 )(3＋4 )sin ＝12＋ .12 3 3 (π 3－ π 6) 2534坐 标 系与参数方程第十一章第 58讲 参数方程考纲要求 考情分析 命题趋势1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．2017·全国卷 Ⅰ ， 222016·全国卷 Ⅲ ， 232016·江苏卷， 21(C)参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查．分值： 5～ 10分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航任意一点 参数 普通方程 x0＋ tcosα y0＋ tsinα x0＋ rcosθ y0＋ rsinθ × √ √ × 3x＋ y－ 4＝ 0(x∈ [0,2)) (2,1) 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ＋ cos2θ＝ 1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．一 参数方程与普通方程的互化二 参数方程的应用(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(3)根据直线的参数方程的标准式中 t的几何意义，有如下常用结论：过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1， M2，所对应的参数分别为 t1， t2.① 弦长 l＝ |t1－ t2|；② M0为弦 M1M2的中点 ⇒ t1＋ t2＝ 0；③ |M0M1|·|M0M2|＝ |t1t2|.三 参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．1第 58讲 参数方程考纲要求 考情分析 命题趋势2017·全国卷Ⅰ，222016·全国卷Ⅲ，232016·江苏卷，21(C)1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．分值：5～10 分参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查．1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__任意一点__的坐标 x， y都是某个变数 t的函数：Error! 并且对于 t的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点 M(x， y)都在这条曲线上，那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数 t叫做参变数，简称__参数__，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__.2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点 M(x0， y0)，倾斜角为 α 的直线 l的参数方程为Error!( t为参数)．(2)圆心为点 M(x0， y0)，半径为 r的圆的参数方程为Error!( θ 为参数)．(3)①椭圆 ＋ ＝1( ab0)的参数方程为Error!( φ 为参数)；x2a2 y2b22②椭圆 ＋ ＝1( ab0)的参数方程为Error!( φ 为参数)．x2b2 y2a21．思维辨析(在括号内“√”或“ ”)．(1)参数方程Error!( t≥1)表示直线．( × )(2)参数方程Error!当 m为参数时表示直线，当 θ 为参数时表示的曲线为圆．( √ )(3)直线Error! ( t为参数)的倾斜角 α 为 30°.( √ )(4)参数方程Error! 表示的曲线为椭圆．( × )(θ 为 参 数 ， 且 θ ∈ [0，π2])解析 (1)错误．∵ t≥1，∴ x＝ t＋1≥2， y＝2－ t≤1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分．(2)正确．当 m为参数时， x＋ y＝cos θ ＋sin θ 表示直线，当 θ 为参数时( x－ m)2＋( y＋ m)2＝1 表示圆．(3)正确．方程可化为Error!表示直线其倾斜角为 30°.(4)错误．∵ θ ∈ ，∴ x≥0， y≥0，方程不表示椭圆．[0，π2]2．参数方程Error!( t为参数)化为普通方程为__3 x＋ y－4＝0( x∈[0,2))__.解析 ∵ x＝ ，2t21＋ t2y＝ ＝ ＝4－3× ＝4－3 x，4－ 2t21＋ t2 41＋ t2－ 6t21＋ t2 2t21＋ t2又 x＝ ＝ ＝2－ ∈[0,2)，2t21＋ t2 21＋ t2－ 21＋ t2 21＋ t2∴ x∈[0,2)，∴所求的普通方程为 3x＋ y－4＝0( x∈[0,2))．3．在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为Error!和Error!( t为参数)，则曲线 C1与 C2的交点坐标为__(2,1)__.(θ 为 参 数 ， 0≤ θ ≤π2)解析 由 C1得 x2＋ y2＝5，且Error!由 C2得 x＝1＋ y，∴联立Error!解得Error! 或Error!(舍)．4．直线Error!( t为参数)与圆Error!( θ 为参数)相切，则切线的倾斜角为__ 或 π3 2π3__.解析 直线的普通方程为 bx－ ay－4 b＝0，圆的普通方程为( x－2) 2＋ y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为 ，从而有 ＝ ，即3 3|2b－ a·0－ 4b|a2＋ b23a2＋3 b2＝4 b2，所以 b＝± a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α ＝ ，所以 tan 3ba3α ＝± ，因此切线的倾斜角为 或 .3π3 2π35．在直角坐标系 xOy中，已知曲线 C1：Error!( t为参数)与曲线 C2：Error! (θ 为参数，a0)有一个公共点在 x轴上，则 a＝__ __.32解析 将曲线 C1与 C2的方程化为普通方程求解．将Error!消去参数 t，得 2x＋ y－3＝0，又Error!消去参数 θ ，得 ＋ ＝1.x2a2 y29根据题意可知 C1与 x轴交点在 C2上，则在方程 2x＋ y－3＝0 中，令 y＝0，得 x＝ .32将 代入 ＋ ＝1，得 ＝1，又 a0，∴ a＝ .(32， 0) x2a2 y29 94a2 32一 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2θ ＋cos 2θ ＝1 等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．【例 1】 (1)将下列参数方程化为普通方程．①Error!( t为参数)；②Error!( θ 为参数)．(2)如图，以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数，求圆 x2＋ y2－ x＝0 的参数方程．解析 (1)①∵ 2＋ 2＝1，∴ x2＋ y2＝1.(1t) (1tt2－ 1)∵ t2－1≥0，∴ t≥1 或 t≤－1.又 x＝ ，1t∴ x≠0.当 t≥1 时，0＜ x≤1，4当 t≤－1 时，－1≤ x＜0，∴所求普通方程为 x2＋ y2＝1，其中Error!或Error!②∵ y＝－1＋cos 2 θ ＝－1＋1－2sin 2θ ＝－2sin 2θ ，sin 2θ ＝ x－2，∴ y＝－2 x＋4，∴2 x＋ y－4＝0.∵0≤sin 2 θ ≤1，∴2≤ x≤3，∴所求的普通方程为 2x＋ y－4＝0(2≤ x≤3)．(2)圆的半径为 ，记圆心为 C ，连接 CP，则∠ PCx＝2 θ ，12 (12， 0)故 xP＝ ＋ cos 2θ ＝cos 2 θ，12 12yP＝ sin 2θ ＝sin θ cos θ (θ 为参数)．12所以圆的参数方程为Error!( θ 为参数)．二 参数方程的应用(1)圆的参数方程Error!( θ 为参数)与直线的参数方程Error!( t的参数)在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么．另外，圆的参数 θ 和直线的参数 t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程．因此，牢记圆的参数方程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键．(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(3)根据直线的参数方程的标准式中 t的几何意义，有如下常用结论：过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1， M2，所对应的参数分别为 t1， t2.①弦长 l＝| t1－ t2|；② M0为弦 M1M2的中点⇒ t1＋ t2＝0；③| M0M1|·|M0M2|＝| t1t2|.【例 2】 已知曲线 C1：Error!( θ 为参数)及曲线 C2：Error!( t为参数)．(1)指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；(2)若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C′ 1， C′ 2，写出C′ 1， C′ 2的参数方程． C′ 1与 C′ 2公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解析 (1) C1是圆， C2是直线， C1的普通方程为 x2＋ y2＝1，圆心 C1(0,0)，半径 r＝1. C2的普通方程为 x－ y＋ ＝0.2因为圆心到直线 x－ y＋ ＝0 的距离为 1，2所以 C1与 C2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为5C′ 1：Error!( θ 为参数)， C′ 2：Error!( t为参数)．化为普通方程为 C′ 1： x2＋4 y2＝1， C′ 2： y＝ x＋ ，12 22联立消元得 2x2＋2 x＋1＝0，其 Δ ＝(2 )2－4×2×1＝0，2 2故压缩后 C′ 1与 C′ 2仍然只有一个公共点，和 C1与 C2公共点的个数相同． 【例 3】 (2018·河南郑州一中月考)在平面直角坐标系中，已知曲线 C的参数方程为Error!(θ 为参数 )，直线 l的参数方程为Error!( t为参数)．(1)写出曲线 C和直线 l的普通方程；(2)若点 B坐标为(0,3)，直线 l与曲线 C交于两 P， Q点，求| BP|·|BQ|.解析 (1)由题意得曲线 C的普通方程为 ＋ ＝1, 直线 l的普通方程为x24 y232x＋ y－3＝0.(2)将直线 l的参数方程Error!( t为参数)代入 ＋ ＝1，得 t2＋ t＋24＝0.设方x24 y23 195 485程 t2＋ t＋24＝0 的两个根为 t1， t2，所以| BP|·|BQ|＝| t1t2|＝ .195 485 12019三 参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【例 4】 在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 C： ρ sin2θ ＝2 acos θ (a0)，过点 P(－2，－4)的直线 l的参数方程为Error!( t为参数)， l与 C分别交于点 M， N.(1)写出 C的直角坐标方程和 l的普通方程；(2)若 ， ， 成等比数列，求 a的值．|PM| |MN| |PN|解析 (1)曲线 C的直角坐标方程为 y2＝2 ax(a＞0)，直线 l的普通方程为 x－ y－2＝0.(2)将直线 l的参数方程与 C的直角坐标方程联立并整理，得 t2－2(4＋ a) t＋8(4＋ a)＝0，(*)2Δ ＝8 a(4＋ a)＞0，设点 M， N分别对应参数 t1， t2，则 t1， t2恰为上述方程的两根，则| PM|＝| t1|，| PN|＝| t2|，| MN|＝| t1－ t2|.由题设得( t1－ t2)2＝| t1t2|，即( t1＋ t2)2－4 t1t2＝| t1t2|.由(*)得 t1＋ t2＝2(4＋ a) ， t1t2＝8(4＋ a)＞0，2则有(4＋ a)2－5(4＋ a)＝0，得 a＝1 或 a＝－4.因为 a＞0，所以 a＝1. 1．将下列参数方程化为普通方程．6(1)Error!(k为参数)；(2)Error!(θ 为参数)．解析 (1)两式相除，得 k＝ ，将其代入 x＝ ，得 x＝ ，化简得所求的y2x 3k1＋ k23·y2x1＋ (y2x)2普通方程是 4x2＋ y2－6 y＝0( y≠6)．(2)由(sin θ ＋cos θ )2＝1＋sin 2 θ ＝2－(1－sin 2 θ )得 y2＝2－ x.又 x＝1－sin 2 θ ∈[0,2]，得所求的普通方程为 y2＝2－ x， x∈[0,2]．2．设直线 l的参数方程为Error!( t为参数， α 为倾斜角)，圆 C的参数方程为Error!(θ 为参数 )．(1)若直线 l经过圆 C的圆心，求直线 l的斜率；(2)若直线 l与圆 C交于两个不同的点，求直线 l的斜率的取值范围．解析 (1)由已知得直线 l经过的定点是 P(3,4)，而圆 C的圆心是 C(1，－1)，所以当直线 l经过圆 C的圆心时，直线 l的斜率为 k＝ .52(2)由圆 C的参数方程Error!得圆 C的圆心是 C(1，－1)，半径为 2.由直线 l的参数方程为Error!( t为参数， α 为倾斜角)，知直线 l的普通方程为y－4＝ k(x－3)(斜率存在)，即 kx－ y＋4－3 k＝0.当直线 l与圆 C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜2，由此解得 k＞ ，即直线 l的斜率的取值范围为 .|5－ 2k|k2＋ 1 2120 (2120， ＋ ∞ )3．已知直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，曲线 C的参数方程为Error! (θ 为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴)中，点 P的极坐标为 ，判断点 P与直线 l的位置关系；(4，π3)(2)设点 Q是曲线 C上的一个动点，求点 Q到直线 l的距离的最小值与最大值．解析 (1)点 P的直角坐标为(2,2 )，令Error! 关于 t的方程组无解，所以点 P在直线3l外．(2)直线 l的普通方程为 x－ y＋1＝0，设 Q(2＋cos θ ，sin θ )，点 Q到直线 l的3距离为 d，则 d＝ ＝ ，所以当|32＋ cos θ － sin θ ＋ 1|2 |sin(π3－ θ )＋ 3＋ 12|7sin ＝－1 时， dmin＝ ；(π3－ θ ) 23－ 12当 sin ＝1 时， dmax＝ .(π3－ θ ) 23＋ 324．已知 P(x， y)是圆 x2＋ y2－2 y＝0 上的动点．(1)求 2x＋ y的取值范围；(2)若 x＋ y＋ c≥0 恒成立，求实数 c的取值范围．解析 方程 x2＋ y2－2 y＝0 变形为 x2＋( y－1) 2＝1，其参数方程为Error!( θ 为参数)．(1)2x＋ y＝2cos θ ＋sin θ ＋1＝ sin(θ ＋ φ )＋1，5其中 φ 由 sin φ ＝ ，cos φ ＝ 确定，25 15∴1－ ≤2 x＋ y≤1＋ .5 5(2)若 x＋ y＋ c≥0 恒成立，则 c≥－(cos θ ＋sin θ ＋1)对一切 θ ∈R 恒成立．∵－(cos θ ＋sin θ ＋1)的最大值是 －1，2∴当且仅当 c≥ －1 时， x＋ y＋ c≥0 恒成立．2易 错 点 不 清 楚 直 线 的 参 数 方 程 中 参 数 的 几 何 意 义 错因分析：不清楚直线的参数方程中参数的几何意义，导致解题错误．【例 1】 已知直线 l过点 P(2,0)，斜率为 ，直线 l和抛物线 y2＝2 x相交于 A， B两43点，设线段 AB的中点为 M，求：(1)P， M两点间的距离 ；|PM|(2)点 M的坐标；(3)线段 AB的长．解析 (1)∵直线 l过点 P(2,0)，斜率为 ，43设直线 l的倾斜角为 α ，tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α＝ ，43 45 35∴直线 l的参数方程为Error!( t为参数)．(*)∵直线 l与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 y2＝2 x中，整理得8t2－15 t－50＝0，且 Δ ＝15 2＋4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为 t1， t2，8由根与系数的关系，得 t1＋ t2＝ ， t1t2＝－ ，158 254由 M为线段 AB的中点，根据 t的几何意义，得 ＝ ＝ .|PM| |t1＋ t22 | 1516(2)将 t 中 ＝ ＝ 代入(*)式，得点 M的坐标为 .t1＋ t22 1516 (4116， 34)(3) ＝ ＝ ＝ .|AB| |t2－ t1| t1＋ t22－ 4t1t25738【跟踪训练 1】 已知直线 l：Error!( t为参数)．以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ρ ＝2cos θ .(1)将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M的直角坐标为(5， )，直线 l与曲线 C的交点为 A， B，求| MA|·|MB|的3值．解析 (1) ρ ＝2cos θ 等价于 ρ 2＝2 ρ cos θ .①将 ρ 2＝ x2＋ y2， ρ cos θ ＝ x代入①，得曲线 C的直角坐标方程为 x2＋ y2－2 x＝0.②(2)将Error!代入②，得 t2＋5 t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为 t1， t2，则由3参数 t的几何意义即知，| MA|·|MB|＝| t1t2|＝18.课时达标 第 58讲[解密考纲]高考中，主要涉及曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化，能写出直线、圆和椭圆的参数方程，常以解答题的形式出现．1．已知曲线 C1：Error!( t为参数)， C2：Error!( θ 为参数)．(1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P对应的参数为 t＝ ， Q为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线π2C3：Error!( t为参数)的距离的最小值．解析 (1) C1：( x＋4) 2＋( y－3) 2＝1， C2： ＋ ＝1.x264 y29C1为圆心是(－4,3)，半径为 1的圆． C2为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3的椭圆．(2)当 t＝ 时， P(－4,4)， Q(8cos θ ，3sin θ )，π2故 M .(－ 2＋ 4cos θ ， 2＋32sin θ )C3为直线 x－2 y－7＝0， M到 C3的距离d＝ |4cos θ －3sin θ －13|.559从而当 cos θ ＝ ，sin θ ＝－ 时， d取得最小值 .45 35 8552．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为Error!( θ 为参数)，直线 l的参数方程为Error!( t为参数)．(1)若 a＝－1，求 C与 l的交点坐标；(2)若 C上的点到 l距离的最大值为 ，求 a.17解析 (1)曲线 C的普通方程为 ＋ y2＝1.x29当 a＝－1 时，直线 l的普通方程为 x＋4 y－3＝0.由Error!解得Error!或Error!从而 C与 l的交点坐标为(3,0)， .(－2125， 2425)(2)直线 l的普通方程为 x＋4 y－ a－4＝0，故 C上的点(3cos θ ，sin θ )到 l的距离为 d＝ .|3cos θ ＋ 4sin θ － a－ 4|17当 a≥－4 时， d的最大值为 .由题设得 ＝ ，a＋ 917 a＋ 917 17所以 a＝8；当 a－4 时， d的最大值为 .由题设得 ＝ ，1－ a17 1－ a17 17所以 a＝－16.综上， a＝8 或 a＝－16.3．在极坐标系中，圆 C的圆心为 C ，半径为 2.以极点为原点，极轴为 x轴的(2，π3)正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为Error!( t为参数)．(1)求圆 C的极坐标方程；(2)设 l与圆的交点为 A， B， l与 x轴的交点为 P，求| PA|＋| PB|.解析 (1)在直角坐标系中，圆心为 C(1， )，所以圆 C的方程为( x－1) 2＋( y－ )3 32＝4，即 x2＋ y2－2 x－2 y＝ 0，3化为极坐标方程得 ρ 2－2 ρ cos θ －2 ρ sin θ ＝0，3即 ρ ＝4sin .(θ ＋π6)(2)将Error!代入 x2＋ y2－2 x－2 y＝0，得 t2＝4，所以点 A， B对应的参数分别为3t1＝2， t2＝－2.令 ＋ t＝0，得点 P对应的参数为 t0＝－2 .312 3所以| PA|＋| PB|＝| t1－ t0|＋| t2－ t0|＝|2＋2 |＋|－2＋2 |＝2＋2 ＋(－2＋2 )3 3 3 310＝4 .34．已知曲线 C的参数方程是Error!( α 为参数)，直线 l的参数方程为Error! (t为参数)．(1)求曲线 C与直线 l的普通方程；(2)若直线 l与曲线 C相交于 P， Q两点，且| PQ|＝ ，求实数 m的值．455解析 (1)由Error!得Error! Error!① 2＋② 2得曲线 C的普通方程为 x2＋( y－ m)2＝1.由 x＝1＋ t，得 t＝ x－1，代入 y＝4＋ t，得 y＝4＋2( x－1)，55 55 255所以直线 l的普通方程为 y＝2 x＋2.(2)圆心(0， m)到直线 l的距离为 d＝ ，所以由勾股定理得 2＋|－ m＋ 2|5 (|－ m＋ 2|5 )2＝ 1，解得 m＝3 或 m＝ 1.(255)5．直线 l：Error!( t为参数)，圆 C： ρ ＝2 cos (极轴与 x轴的非负半轴重合，2 (θ ＋π4)且单位长度相同)．(1)求圆心 C到直线 l的距离；(2)若直线 l被圆 C截得的弦长为 ，求 a的值．655解析 (1)把Error!化为普通方程为 x＋2 y＋2－ a＝0，把 ρ ＝2 cos 化为直角2 (θ ＋π4)坐标系中的方程为 x2＋ y2－2 x＋2 y＝0，∴圆心 C(1，－1)到直线 l的距离为 d＝ .5|1－ a|5(2)由(1)知圆的半径为 ，弦长的一半为 ，235∴ 2＋ 2＝( )2，(35) (|1－ a|5 ) 2∴ a2－2 a＝0，解得 a＝0 或 a＝2.6．已知直线 l的参数方程为Error!( t为参数)，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是 ρ ＝ .sin θ1－ sin2θ(1)写出直线 l的极坐标方程与曲线 C的普通方程；(2)若点 P是曲线 C上的动点，求点 P到直线 l的距离的最小值，并求出点 P的坐标．解析 (1)∵Error!∴ x－ y＝1.11∴直线 l的极坐标方程为 ρ cos θ － ρ sin θ ＝1，即 ρ ＝1，即 ρ cos ＝1.2 (cos θ cosπ4－ sin θ sinπ4) 2 (θ ＋ π4)∵曲线 C的极坐标方程是 ρ ＝ ，∴ ρ ＝ ，∴ ρ cos2θ ＝sin sin θ1－ sin2θ sin θcos2θθ ，∴( ρ cos θ )2＝ ρ sin θ ，即曲线 C的普通方程为 y＝ x2.(2)设 P(x0， y0)， y0＝ x ，∴ P到直线 l的距离为20d＝ ＝ ＝|x0－ y0－ 1|2 |x0－ x20－ 1|2 |(x0－ 12)2＋ 34|2＝ .(x0－ 12)2＋ 342∴当 x0＝ 时， d取最小值， dmin＝ ，此时 P ，12 328 (12， 14)∴当点 P的坐标为 时， P到直线 l的距离最小，最小值为 .(12， 14) 328