（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语（课件+学案+练习）（打包9套）.zip

集合与常用逻辑用语第 一 章第 1讲 集合的概念与运算考纲要求 考情分析 命题趋势1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及运算 .2017·全国卷 Ⅰ， 12017·全国卷 Ⅱ， 12017·全国卷 Ⅲ， 12017·天津卷， 12017·山东卷， 12017·浙江卷， 11.求集合的元素或元素的个数．2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围 ，判断集合的关系．3．集合间的运算：交集、并集、补集等．4．常以一些特殊符号 ⊕， ⊗， *等来连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景．5．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解 .分值： 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏目导航1． 元素与集合(1)集合元素的特性： __________、 __________、无序性．(2)集合与元素的关系：若 a属于集合 A，记作 ________；若 b不属于集合 A，记作 ________.(3)集合的表示方法： ____________、 ____________、图示法．(4)常见数集及其符号表示确定性 互异性 a∈ A b∉A 列举法 描述法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*或 N＋ Z Q R2． 集合间的基本关系表示关系 文字语言 记法集合间的基本关系子集 集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素 ________或 ________真子集 集合 A是集合 B的子集，并且 B中至少有一个元素不属于 A ________或 ________相等 集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，集合 B中的每一个元素也都是集合 A中的元素A⊆B且 B⊆A⇔A＝ B空集 空集是 ________集合的子集 ∅⊆A空集是 ____________集合的真子集 ∅￿ B且 B≠∅A⊆ B B⊇ A A￿ B B￿ A 任何 任何非空 3． 集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示{x|x∈ A或 x∈ B} {x|x∈ A且 x∈ B} {x|x∈ U且 x∉A} (2)三种基本运算的常见性质① A∪ B＝ A⇔ B⊆ A， A∩B＝ A⇔ A⊆ B；② A∩A＝ ________， A∩∅＝ ________；③ A∪ A＝ ________， A∪ ∅＝ ________；④ A∩∁UA＝ ________， A∪ ∁UA＝ ________， ∁U(∁UA)＝ ________；⑤ A⊆ B⇔ A∩B＝ A⇔ A∪ B＝ B⇔∁ UA⊇∁ UB⇔ A∩(∁UB)＝ ∅.A ∅A A∅ U A××××2． 已知全集 U＝ R，那么正确表示集合 M＝ {－ 1,0,1}和 N＝ {x|x2＋ x＝ 0}关系的韦恩 (Venn)图是 ( )解析 ∵M＝ {－ 1,0,1}， N＝ {0，－ 1}， ∴N￿ M.故选 B．B3． (2017·全国卷 Ⅲ)已知集合 A＝ {1,2,3,4}， B＝ {2,4,6,8}，则 A∩B中元素的个数为 ( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 4解析 A， B两集合中有两个公共元素 2,4.故选 B．4． (2017·北京卷 )已知全集 U＝ R，集合 A＝ {x|x2}，则 ∁UA＝ ( )A． (－ 2,2) B． (－ ∞，－ 2)∪ (2，＋ ∞)C． [－ 2,2] D． (－ ∞，－ 2]∪ [2，＋ ∞)解析 由已知可得集合 A的补集 ∁UA＝ [－ 2,2]．BC5． (2017·浙江卷 )已知集合 P＝ {x|－ 1x1}， Q＝ {x|0x2}，那么 P∪ Q＝ ( )A． (－ 1,2) B． (0,1) C． (－ 1,0) D． (1,2)解析 根据集合的并集的定义得 P∪Q＝ (－ 1,2)．A与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么 ， 即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数 ， 要注意检验集合是否满足元素的互异性．一 集合的基本概念 CD二 集合的基本关系 (1)空集是任何集合的子集 ， 在涉及集合关系时 ， 必须优先考虑空集的情况 ， 否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时 ， 关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系 ， 进而转化为参数所满足的关系 ， 常用数轴 、 Venn图等来直观解决这类问题．【 例 2】 (1)设 P＝ {y|y＝－ x2＋ 1， x∈ R}， Q＝ {y|y＝ 2x， x∈ R}，则 ( )A． P⊆ Q B． Q⊆ P C． ∁RP⊆ Q D． Q⊆∁ RP(2)已知集合 A＝ {x|－ 2≤x≤5}， B＝ {x|m＋ 1≤x≤2m－ 1}，若 B⊆ A，则实数 m的取值范围为______________.C(－ ∞， 3] 三 集合的基本运算 集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算 ， 常借用 Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数 ， 常借助数轴求解 ， 但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数 ， 先把符号语言译成文字语言 ， 然后灵活应用数形结合求解．B (2)设集合 U＝ R， A＝ {x|2x(x－ 2)1}， B＝ {x|y＝ ln(1－ x)}，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A． {x|x≥1} B． {x|1≤x2}C． {x|0x≤1} D． {x|x≤1}B B 四 集合的新定义问题 解决集合的新定义问题的方法解决集合的新定义问题 ， 应从以下两点入手：(1)正确理解新定义 ， 这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题 ， 而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念 、 新法则 、 新运算等．(2)合理利用集合性质 ， 运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键 ， 在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素．【 例 4】 已知集合 A＝ {(x， y)|x2＋ y2≤1， x， y∈ Z}， B＝ {(x， y)| |x|≤2， |y|≤2， x，y∈ Z}，定义集合 A⊕B＝ {(x1＋ x2， y1＋ y2)|(x1， y1)∈ A， (x2， y2)∈ B}，则 A ⊕B中元素的个数为 ( )A． 77 B． 49C． 45 D． 30解析 A＝ {(x， y)|x2＋ y2≤1， x， y∈Z}＝ {(－ 1,0)， (0,0)， (1,0)， (0,1)， (0，－1)}， B＝ {(x， y)||x|≤2， |y|≤2， x， y∈Z}， A⊕B表示点集．由 x1＝－ 1,0,1， x2＝－ 2，－ 1,0,1,2，得 x1＋ x2＝－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3，共 7种取值可能．同理，由 y1＝－ 1， 0,1， y2＝－ 2，－ 1,0,1,2，得 y1＋ y2＝－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3，共 7种取值可能．当 x1＋ x2＝－ 3或 3时， y1＋ y2可以为－ 2，－ 1,0,1,2中的一个值，分别构成 5个不同的点．当 x1＋ x2＝－ 2，－ 1， 0,1,2时， y1＋ y2可以为－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3中的一个值，分别构成 7个不同的点．故 A⊕B共有 2×5＋ 5×7＝ 45(个 )元素．C1．已知集合 A＝ {x|x2－ 3x＋ 2＝ 0， x∈ R}， B＝ {x|0x5， x∈ N}，则满足条件 A⊆ C⊆ B的集合 C的个数为( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 4解析 A＝ {1,2}， B＝ {1,2,3,4}， ∵A⊆ C⊆ B， ∴满足条件的集合 C有 {1,2}，{1,2,3}， {1,2,4}， {1,2,3,4}共 4个．故选 D．2． 设 A， B是非空集合，定义 A⊗B＝ {x|x∈ A∪ B且 x∉A∩B}．已知集合 A＝ {x|0x2}， B＝ {y|y≥0}，则A⊗B＝ _________________.解析 A∪B＝ {x|x≥0}， A∩B＝ {x|0x2}，则 A⊗B＝ {0}∪[2，＋ ∞)．D{0}∪ [2，＋ ∞) 2 4．设 U＝ R， 集合 A＝ {x|x2＋ 3x＋ 2＝ 0}， B＝ {x|x2＋ (m＋ 1)x＋ m＝ 0}，若 (∁UA)∩B＝ ∅，则 m的值是________.解析 A＝ {－ 1，－ 2}，由 x2＋ (m＋ 1)x＋ m＝ 0得 x＝－ 1或 x＝－ m.∵(∁UA)∩B＝∅， ∴B⊆ A， ∴－ m＝－ 1或－ m＝－ 2，∴m＝ 1或 2.1或 2 错 因分析： 对于含字母参数的集合 ， 根据条件求出字母的值后 ， 要代入已知集合 ， 检验是否满足元素的互异性及其他条件．易 错 点 1 不注意 检验 【 跟踪 训练 1】 已知集合 A＝ {a2， a＋ 1，－ 3}， B＝ {a－ 3， a－ 2， a2＋ 1}， 若 A∩B＝ {－ 3}，求 A∪ B．解析 由 A∩B＝ {－ 3}，知－ 3∈B．又 a2＋ 1≥1，故只有 a－ 3， a－ 2可能等于－ 3.① 当 a－ 3＝－ 3时， a＝ 0，此时 A＝ {0,1，－ 3}， B＝ {－ 3，－ 2,1}，A∩B＝ {1，－ 3}．故 a＝ 0舍去．② 当 a－ 2＝－ 3时， a＝－ 1，此时 A＝ {1,0，－ 3}， B＝ {－ 4，－ 3,2}，满足 A∩B＝ {－ 3}，从而 A∪B＝ {－ 4，－ 3,0,1,2}．1第 1 讲 集合的概念与运算考纲要求 考情分析 命题趋势2017·全国卷Ⅰ，12017·全国卷Ⅱ，12017·全国卷Ⅲ，12017·天津卷，12017·山东卷，12017·浙江卷，11.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.分值：5 分1.求集合的元素或元素的个数．2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围，判断集合的关系．3．集合间的运算：交集、并集、补集等．4．常以一些特殊符号⊕，⊗，*等来连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景．5．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解.1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作__ a∈ A__；若 b 不属于集合 A，记作__b∉A__.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法__、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 NN*或 N＋ Z Q R22．集合间的基本关系表示关系 文字语言 记法子集集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 __A⊆B__或__ B⊇A__真子集集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A __AB__或__ BA__集合间的基本关系相等集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，集合 B 中的每一个元素也都是集合 A 中的元素A⊆B 且 B⊆A⇔A＝ B空集是__任何__集合的子集 ∅⊆A空集空集是__任何非空__集合的真子集 ∅B 且 B≠∅3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示并集 交集 补集图形符号A∪ B＝__{ x|x∈ A 或x∈ B}__A∩ B＝__{ x|x∈ A 且x∈ B}__∁UA＝__{ x|x∈ U 且x∉A}__(2)三种基本运算的常见性质① A∪ B＝ A⇔B⊆A， A∩ B＝ A⇔A⊆B；② A∩ A＝__ A__， A∩∅＝__∅__；③ A∪ A＝__ A__， A∪∅＝__ A__；④ A∩∁ UA＝__∅__， A∪∁ UA＝__ U__，∁ U(∁UA)＝__ A__；⑤ A⊆B⇔A∩ B＝ A⇔A∪ B＝ B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁ UB)＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)集合{ x2＋ x,0}中，实数 x 可取任意值．( × )(2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{ x|y＝ }与集合{ y|y＝ }是同一个集合．( × )x－ 1 x－ 1(4)若 A＝{0,1}， B＝{( x， y)|y＝ x＋1}，则 A⊆B． ( × )解析 (1)错误．由元素的互异性知 x2＋ x≠0，即 x≠0 且 x≠－1.3(2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{ x|y＝ }＝{ x|x≥1}，{ y|y＝ }＝{ y|y≥0}．x－ 1 x－ 1(4)错误．集合 A 是数集，集合 B 是点集．2．已知全集 U＝R，那么正确表示集合 M＝{－1,0,1}和 N＝{ x|x2＋ x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( B )解析 ∵ M＝{－1,0,1}， N＝{0，－1}，∴ NM.故选 B．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{1,2,3,4}， B＝{2,4,6,8}，则 A∩ B 中元素的个数为( B )A．1 B．2 C．3 D．4解析 A， B 两集合中有两个公共元素 2,4.故选 B．4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{ x|x2}，则∁ UA＝( C )A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 由已知可得集合 A 的补集∁ UA＝[－2,2]．5．(2017·浙江卷)已知集合 P＝{ x|－10}，∴∁ RP＝ {y|y1}，∴∁ RP⊆Q.故选 C．(2)∵ B⊆A，∴①若 B＝∅ ，则 2m－10}，∴ A∩ B＝(0,1)．故选 B．(2)∵2 x(x－2) 0，∴ x0 时， A＝Error!.∵ A⊆B，∴Error!解得 a≥2.②当 a0}＝ x ，所以|x1}，因为全集为 R，所以根据补集的定义可求得10∁RA＝ {x|0≤ x7}，∴(∁ RP)∩ Q＝{ x|x7}∩{ x|－2≤ x≤5}＝{ x|－2≤ x4}．(2)①当 P＝∅时，满足 P⊆Q，有 2a＋1 a＋1，即 a0.②当 P≠∅时，满足 P⊆Q，则有Error!∴0≤ a≤2.综上，实数 a 的取值范围为(－∞，2]．12．已知 a， b， c∈R，二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c，集合 A＝{ x|f(x)＝ ax＋ b}，B＝{ x|f(x)＝ cx＋ a}．(1)若 a＝ b＝2 c，求集合 B；(2)若 A∪ B＝{0， m， n}(mn)，求实数 m， n 的值．解析 (1)∵ a＝ b＝2 c≠0，∴由 f(x)＝ cx＋ a，得 ax2＋ bx＋ c＝ cx＋ a，即2cx2＋2 cx＋ c＝ cx＋2 c，得 2cx2＋ cx－ c＝0，即 2x2＋ x－1＝0，解得 x＝－1 或 x＝ ，即12B＝ .{－ 1，12}(2)若 A∪ B＝{0， m， n}(m＜ n)，则①当 0∈ A,0∈ B 时，即 a＝ b＝ c，由 ax2＋ bx＋ c＝ ax＋ b，即 ax2＋ ax＋ a＝ ax＋ a，即 ax2＝0，解得 x＝0，即 A＝{0}．由 ax2＋ bx＋ c＝ cx＋ a，即 ax2＋ ax＋ a＝ ax＋ a，即 ax2＝0，解得 x＝0，即 B＝{0}，则 A∪ B＝{0}，不符合题意．②当 0∈ A,0∉B 时， a≠ c， b＝ c，则 A＝ ， B＝ ，{0，a－ ca } {±a－ ca }则此时必有 c＝0，则 m＝－1， n＝1.③当 0∉A,0∈ B 时， a＝ c， b≠ c，即 B＝ ，{0，c－ bc }即 cx2＋ bx＋ c＝ cx＋ b，得 cx2＋( b－ c)x＋ c－ b＝0.∵ b≠ c，∴ ∉A，又 A∪ B 只有三个元素，c－ bc故 A 中只能有一个元素，11则判别式 Δ ＝( b－ c)2－4 c(c－ b)＝0，解得 b＝－3 c，于是 A＝ ＝{2}， B＝{0,4}，所以 m＝2， n＝4.{－b－ c2c}综上， m＝－1， n＝1 或 m＝2， n＝4.集合与常用逻辑用语第 一 章第 2讲 命 题 及其关系、充分条件与必要条件考纲要求 考情分析 命题趋势1.理解命题的概念．2．了解 “若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2017·天津卷， 22017·浙江卷， 62017·北京卷， 72016·四川卷， 22016·山东卷， 51.判断命题的真假．2． 写出一个命题的逆命题 、 否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等 .分值： 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏目导航1． 命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 ____________的陈述句叫做命题，其中 ____________的语句叫做真命题，______________的语句叫做假命题．判断真假 判断为真 判断为假 2． 四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系若原命题为：若 p，则 q，则逆命题为 ___________，否命题为 _____________，逆否命题为______________.(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有 ________的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 ____________.若 q，则 p 若 ¬p，则 ¬q 若 ¬q，则 ¬p 相同 没有关系 3． 充分条件与必要条件(1)若 p⇒ q，则 p是 q的 ________条件， q是 p的 ________条件．(2)若 p⇒ q，且 q⇒ / p，则 p是 q的 _______________条件．(3)若 p⇒ / q，且 q⇒ p，则 p是 q的 _____________条件．(4)若 p⇔ q，则 p是 q的 ________条件．(5)若 p⇒ / q，且 q⇒ / p，则 p是 q的 _________________条件．(6)若 p是 q的充分不必要条件，则 ¬q是 ¬p的 ______________条件．充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 充分不必要 4． 用集合关系判断充分条件 、 必要条件以 p： x∈ A， q： x∈ B的形式出现．(1)若 p是 q的充分条件，则 A________B．(2)若 p是 q的必要条件，则 B________A．(3)若 p是 q的充分不必要条件，则 A________B．(4)若 p是 q的必要不充分条件，则 B________A．(5)若 p是 q的充要条件，则 A________B．(6)若 p是 q的既不充分也不必要条件，则 A________B且 B________A．⊆⊆＝1．思维辨析 (在括号内打 “√”或 “×”)．(1)语句 x2－ 3x＋ 2＝ 0是命题． ( )(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系． ( )(3)命题 “如果 p不成立，则 q不成立 ”等价于 “如果 q成立，则 p成立 ”． ( )(4)“p是 q的充分不必要条件 ”与 “p的充分不必要条件是 q”表达的意义相同． ( )××√×解析 (1)错误．无法判断真假 ， 故不是命题．(2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 ， 它们的真假性相同．(3)正确．一个命题与其逆否命题等价．(4)错误． “p是 q的充分不必要条件 ”即为 “p⇒ q且 q⇒ / p”， “p的充分不必要条件是q”即为 “q⇒ p且 p⇒ / q ”. A C 4．设集合 A， B，则 “A⊆ B”是 “A∩B＝ A”成立的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 由 A⊆ B， 得 A∩B＝ A；反过来 ，由 A∩B＝ A，且 (A∩B)⊆ B，得 A⊆ B，因此 “A⊆ B”是 “A∩B＝ A”成立的充要条件．故选 C．5． (2017·天津卷 )设 x∈ R，则 “2－ x≥0”是 |x－ 1|≤1的 ( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 由 |x－ 1|≤1，得 0≤x≤2， ∵0≤x≤2⇒ x≤2， x≤2⇒ / 0≤x≤2.故 “2－ x≥0”是 “|x－ 1|≤1”的必要而不充分条件．故选 B．CB与四种命题有关的问题的解题策略(1)写一个命题的其他三种命题时 ， 需注意：① 对于不是 “若 p，则 q”形式的命题，需先改写；② 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．一 四种命题及其相互关系(3)根据 “原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 ”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【 例 1】 (1)(2018·山东邹平双语学校月考 )已知命题 p：若 x＜－ 3，则 x2－ 2x－ 8＞ 0，则下列叙述正确的是 ( )A．命题 p的逆命题是 “若 x2－ 2x－ 8≤0，则 x＜－ 3”B．命题 p的否命题是 “若 x≥－ 3，则 x2－ 2x－ 8＞ 0”C．命题 p的否命题是 “若 x＜－ 3，则 x2－ 2x－ 8≤0”D．命题 p的逆否命题是真命题(2)命题 “若 x2＋ y2＝ 0， x， y∈ R，则 x＝ y＝ 0”的逆否命题是 ( )A．若 x≠y≠0， x， y∈ R，则 x2＋ y2＝ 0B．若 x＝ y≠0， x， y∈ R，则 x2＋ y2≠0C．若 x≠0且 y≠0， x， y∈ R，则 x2＋ y2≠0D．若 x≠0或 y≠0， x， y∈ R，则 x2＋ y2≠0DD(3)下列命题为真命题的是 ( )A．命题 “若 x1，则 x21”的否命题B．命题 “若 xy，则 x|y|”的逆命题C．命题 “若 x＝ 1，则 x2＋ x－ 2＝ 0”的否命题D．命题 “若 x21，则 x1”的逆否命题B(4)已知命题 “若函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是增函数，则 m≤1”，则下列结论正确的是 ( )A．否命题是 “若函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是减函数，则 m1”，是真命题B．逆命题是 “若 m≤1，则函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是增函数 ”，是假命题C．逆否命题是 “若 m1，则函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是减函数 ”，是真命题D．逆否命题是 “若 m1，则函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上不是增函数 ”，是真命题D解析 (1)命题 p：若 x0的逆命题为：若 x2－ 2x－ 80， 则x0的否命题为：若 x≥－ 3， 则 x2－ 2x－ 8≤0， B， C项错误；命题 p：若 x0是真命题，则命题 p的逆否命题是真命题．故选 D．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由 x＝ y＝ 0知 x＝ 0且 y＝ 0，其否定是 x≠0或 y≠0.(3)对于 A项 ， 否命题为 “若 x≤1， 则 x2≤1”，易知当 x＝－ 2时， x2＝ 41，故 A项为假命题；对于 B项，逆命题为 “若 x|y|，则 xy”，分析可知 B项为真命题；对于 C项，否命题为 “若 x≠1，则 x2＋ x－ 2≠0”，易知当 x＝－ 2时， x2＋ x－ 2＝ 0，故 C项为假命题；对于 D项，逆否命题为 “若 x≤1，则 x2≤1”，易知当 x＝－ 2时， x2＝ 41，故 D项为假命题．(4)因为 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是增函数，则 f′(x)＝ ex－ m≥0恒成立，所以m≤1，所以命题 “若函数 f(x)＝ ex－ mx在 (0，＋ ∞)上是增函数，则 m≤1”是真命题，所以其逆否命题是真命题．二 充分 、 必要条件的判断 充分 、 必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 p⇒ q， q⇒ p进行判断．(2)集合法：根据 p， q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．① ¬q是 ¬p的充分不必要条件 ⇔ p是 q的充分不必要条件； ② ¬q是 ¬p的必要不充分条件 ⇔ p是 q的必要不充分条件； ③ ¬q是 ¬p的充要条件 ⇔ p是 q的充要条件．【 例 2】 (1)(2017·浙江卷 )已知等差数列 {an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，则 “d0”是 “S4＋S62S5”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京卷 )设 m， n为非零向量，则 “存在负数 λ，使得 m＝ λn”是 “m·n0⇔ S4＋ S62S5.故选 C．(2)对于非零向量 m， n， 若存在负数 λ， 使得 m＝ λn， 则 m， n互为相反向量 ，则 m·n0)，若 p是 q的充分不必要条件， 则 m的取值范围是 ( )A． [21，＋ ∞) B． [9，＋ ∞)C． [19，＋ ∞) D． (0，＋ ∞)(2)已知 P＝ {x|x2－ 8x－ 20≤0}，非空集合 S＝ {x|1－ m≤x≤1＋ m}．若 x∈ P是 x∈ S的必要条件，则 m的取值范围为________.B[0,3] 1． “直线 y＝ x＋ b与圆 x2＋ y2＝ 1相交 ”是 “03(t－ 1)”是 “x2＋ 3x－ 43(x－ t)}＝ {x|(x－ t)(x－ t－ 3)0}＝ {x|xt＋ 3}， Q＝{x|x2＋ 3x－ 40}＝ {x|(x＋ 4)(x－ 1)0}＝ {x|－ 4x1}． P是 Q成立的必要不充分条件，即等价于 Q￿ P，所以 t＋ 3≤－ 4或 t≥1，解得 t≤－ 7或 t≥1，所以 t的取值范围为 (－ ∞，－ 7]∪[1，＋ ∞)．(－ ∞，－ 7]∪ [1，＋ ∞) 错 因分析： 对充分 、 必要 、 充要条件的概念不清 ， 不知由谁推出谁．易错点 对充要条件的概念模糊不清 1第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求 考情分析 命题趋势2017·天津卷，22017·浙江卷，62017·北京卷，72016·四川卷，22016·山东卷，51.理解命题的概念．2．了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.分值：5 分1.判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等.1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系2若原命题为：若 p，则 q，则逆命题为__若 q，则 p__，否命题为__若¬ p，则¬ q__，逆否命题为__若¬ q，则¬ p__.(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__没有关系__.3．充分条件与必要条件(1)若 p⇒q，则 p 是 q 的__充分__条件， q 是 p 的__必要__条件．(2)若 p⇒q，且 q⇒/ p，则 p 是 q 的__充分不必要__条件．(3)若 p⇒/ q，且 q⇒p，则 p 是 q 的__必要不充分__条件．(4)若 p⇔q，则 p 是 q 的__充要__条件．(5)若 p⇒/ q，且 q⇒/ p，则 p 是 q 的__既不充分也不必要__条件．(6)若 p 是 q 的充分不必要条件，则¬ q 是¬ p 的__充分不必要__条件．4．用集合关系判断充分条件、必要条件以 p： x∈ A， q： x∈ B 的形式出现．(1)若 p 是 q 的充分条件，则 A__⊆__B．(2)若 p 是 q 的必要条件，则 B__⊆__A．(3)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A____B．(4)若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B____A．(5)若 p 是 q 的充要条件，则 A__＝__ B．(6)若 p 是 q 的既不充分也不必要条件，则 A____B 且 B____A．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)语句 x2－3 x＋2＝0 是命题．( × )(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系．( × )(3)命题“如果 p 不成立，则 q 不成立”等价于“如果 q 成立，则 p 成立” ．( √ )(4)“p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的充分不必要条件是 q”表达的意义相同．( × )解析 (1)错误．无法判断真假，故不是命题．(2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(3)正确．一个命题与其逆否命题等价．(4)错误． “p 是 q 的充分不必要条件”即为“ p⇒q 且 q⇒/ p”， “p 的充分不必要条件是 q”即为“ q⇒p 且 p⇒/ q ”. 2．下列命题为真命题的是( A )3A．若 ＝ ，则 x＝ y B．若 x2＝1，则 x＝11x 1yC．若 x＝ y，则 ＝ D．若 x1，则 x21”的否命题B．命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题C．命题“若 x＝1，则 x2＋ x－2＝0”的否命题D．命题“若 x21，则 x1”的逆否命题(4)已知命题“若函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1” ，则下列结论正确的是( D )A．否命题是“若函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是减函数，则 m1”，是真命题B．逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是增函数” ，是假命题C．逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是减函数” ，是真命题D．逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上不是增函数” ，是真命题解析 (1)命题 p：若 x0 的逆命题为：若 x2－2 x－80，则x0 的否命题为：若 x≥－3，则x2－2 x－8≤0，B，C 项错误；命题 p：若 x0 是真命题，则命题 p 的逆否命题是真命题．故选 D．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由 x＝ y＝0 知 x＝0 且 y＝0，其否定是 x≠0 或 y≠0.(3)对于 A 项，否命题为“若 x≤1，则 x2≤1” ，易知当 x＝－2 时， x2＝41，故 A 项5为假命题；对于 B 项，逆命题为“若 x|y|，则 xy”，分析可知 B 项为真命题；对于 C 项，否命题为“若 x≠1，则 x2＋ x－2≠0” ，易知当 x＝－2 时， x2＋ x－2＝0，故 C 项为假命题；对于 D 项，逆否命题为“若 x≤1，则 x2≤1” ，易知当 x＝－2 时， x2＝41，故 D 项为假命题．(4)因为 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 f′( x)＝e x－ m≥0 恒成立，所以m≤1，所以命题“若函数 f(x)＝e x－ mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1”是真命题，所以其逆否命题是真命题．二 充分、必要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 p⇒q， q⇒p 进行判断．(2)集合法：根据 p， q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①¬ q 是¬ p 的充分不必要条件⇔ p 是 q 的充分不必要条件； ②¬ q 是¬ p 的必要不充分条件⇔ p 是 q 的必要不充分条件；③¬ q 是¬ p 的充要条件⇔ p 是 q 的充要条件．【例 2】 (1)(2017·浙江卷)已知等差数列{ an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“ S4＋ S62S5”的( C )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京卷)设 m， n 为非零向量，则“存在负数 λ ，使得 m＝ λ n”是“m·n0⇔S4＋ S62S5.故选 C．(2)对于非零向量 m， n，若存在负数 λ ，使得 m＝ λ n，则 m， n 互为相反向量，则m·n0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是( B )A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知 P＝{ x|x2－8 x－20≤0}，非空集合 S＝{ x|1－ m≤ x≤1＋ m}．若 x∈ P 是 x∈ S的必要条件，则 m 的取值范围为__[0,3]__.解析 (1)条件 p：－2≤ x≤10，条件 q：1－ m≤ x≤ m＋1，又 p 是 q 的充分不必要条件，故有Error!解得 m≥9.(2)由 x2－8 x－20≤0，得－2≤ x≤10，所以 P＝{ x|－2≤ x≤10}，由 x∈ P 是 x∈ S 的必要条件，知 S⊆P，又集合 S 非空，则Error!所以 0≤ m≤3，所以当 0≤ m≤3 时， x∈ P 是 x∈ S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是[0,3]．1． “直线 y＝ x＋ b 与圆 x2＋ y2＝1 相交”是“03(t－1)”是“ x2＋3 x－43(x－ t)}＝{ x|(x－ t)(x－ t－3)0}＝{ x|xt＋3}，Q＝{ x|x2＋3 x－41”是“ a21”的( A )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件解析 当 a1 时， a21；当 a21 时， a1 或 a0，所以逆命题为假，从而否命题也为假．故选 B．3． l1， l2表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2是异面直线， q： l1， l2不相交，则( A )A． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B． p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C． p 是 q 的充要条件D． p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析 两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件．故选 A．4．(2018·河北邯郸二中期中)已知命题 p：( x－3)( x＋1)＞0，命题q： x2－2 x＋1＞0，则命题 p 是命题 q 的( A )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 由 p：( x－3)( x＋1)0，得 x3，由命题 q： x2－2 x＋10，解得x≠1，由于 p⇒q 成立， q⇒p 不成立，即命题 p 是命题 q 的充分不必要条件．故选 A．5． A＝{ x||x－1|≥1， x∈R}， B＝{ x|log2x＞1， x∈R}，则“ x∈ A”是“ x∈ B”的( B )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 由已知得 A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)， B＝(2，＋∞)，若“ x∈ B”，则必有“x∈ A”，反之不成立，即得“ x∈ A”是“ x∈ B”的必要不充分条件．故选 B．6．下列四个选项中错误的是( B )A．命题“若 x≠1，则 x2－3 x＋2≠0”的逆否命题是“若 x2－3 x＋2＝0，则 x＝1”9B．若 p∨ q 为真命题，则 p， q 均为真命题C．若命题 p：∀ x∈R， x2＋ x＋1≠0，则¬ p：∃ x0∈R， x ＋ x0＋1＝020D． “x＞2”是“ x2－3 x＋2＞0”的充分不必要条件解析 对于 A 项，显然是正确的；对于 B 项，根据复合命题的真值表知，有 p 真 q 假、p 假 q 真、 p 真 q 真三种情况，故 B 项是错误的；对于 C 项，由全称命题的否定形式知 C 项是正确的；对于 D 项， x2－3 x＋20 的解是 x2 或 xb0，则 log ab0，∴log ab0，12 12∵ a＝2， b＝2 时，log a0，得 xa，即B＝( a，＋∞)，若“ x∈ A”是“ x∈ B”的充分条件，则 A⊆B，则 a≤－3.9．能够说明“设 a， b， c 是任意实数，若 a＞ b＞ c，则 a＋ b＞ c”是假命题的一组整数 a， b， c 的值依次为__－1，－2，－3(答案不唯一)__.解析 取 a＝－1， b＝－2， c＝－3，满足 abc，但 a＋ b＝－3＝ c，不满足 a＋ bc，故“设 a， b， c 是任意实数，若 abc，则 a＋ bc”是假命题的一组整数 a， b， c 的值依次为－1，－2，－3.三、解答题10．(2018·山东邹平月考)写出“若 x＝2，则 x2－5 x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解析 逆命题：若 x2－5 x＋6＝0，则 x＝2，是假命题；否命题：若 x≠2，则x2－5 x＋6≠0，是假命题；逆否命题：若 x2－5 x＋6≠0，则 x≠2，是真命题．11．已知函数 f(x)＝lg( x2－2 x－3)的定义域为集合 A，函数 g(x)＝2 x－ a(x≤2)的值10域为集合 B．(1)求集合 A， B；(2)已知命题 p： m∈ A，命题 q： m∈ B，若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．解析 (1) A＝{ x|x2－2 x－3＞0}＝{ x|(x－3)( x＋1)＞0}＝{ x|x＜－1 或 x＞3}，B＝{ y|y＝2 x－ a， x≤2}＝{ y|－ a＜ y≤4－ a}．(2)∵¬ p 是¬ q 的充分不必要条件，∴ q 是 p 的充分不必要条件，∴ BA，∴4－ a5，即实数 a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．12．已知 p： x2－8 x－20≤0， q： x2－2 x＋1－ m4≤0.(1)若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围；(2)若¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求 m 的取值范围．解析 由 x2－8 x－20≤0，得－2≤ x≤10，即 p：－2≤ x≤10， q：1－ m2≤ x≤1＋ m2.(1)若 p 是 q 的必要条件，则Error!即Error!即 m2≤3，解得－ ≤ m≤ .3 3故 m 的取值范围是[－ ， ]．3 3(2)∵¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，∴ q 是 p 的必要不充分条件，即Error!即 m2≥9，解得 m≥3 或 m≤－3.故 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．