1、相似三角形的相关概念,三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 相似比等于1的两个三角形全等.,注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.,判定三角形相似的方法,判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 类比三角形全等的判定方法: 边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边
2、(HL). 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?,相似与全等类比新化旧,由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的两个三角形相似; 由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似; 由边角边(SAS)可猜想: 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; 由斜边直角边(HL)可猜想: 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？,问题三: 如果 ABC与 ABC有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗? (1)如果这个角是这两边的夹角,那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 ABC与ABC使A=A,设法
3、比较B 与B的大小,C与C的大小. ABC与ABC相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如13),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?,判定三角形相似的方法,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,如图,在 ABC与ABC中,如果,那么 ABCABC (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.),这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率不是很高,务必引起重视.,且A=A,图中的ABCABC,你还能用其它方法来说明其正确性吗?,且A=A=450, ABCABC (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.),解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:,问题
4、四:在Rt ABC与Rt ABC中, C= C=900,如果有一直角边和斜边对应成比例,那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 ABC与 ABC,使,设法比较B 与B的大小,A与A的大小. Rt ABC与Rt ABC相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如13),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?,斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.,如图,在RtABC与RtABC中,如果,那么ABCABC, (斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.),这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必引起重视.,我们重新来看问题三: 如果 ABC与 DEF有一个角相等,且两边对应成比
5、例,那么它们一定相似吗? (2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗? 小明和小颖分别画出了下面的 ABC与 DEF:,通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。,判定三角形相似的常用方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.,如图: 在 ABC和 DEF中 ，如果A=D,
6、 B=E, 那么 ABC DEF.,那么 ABC DEF.,且A=D，,那么 ABC DEF.,两角分别相等的两个三角形相似。,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,三边成比例的两个三角形相似,在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。,定义判定,相似三角形判定定理的证明,定理 两角分别相等的两个三角形相似,已知：如图，在ABC和A/B/C/中，A=A/, B=B/. 求证：ABCA/B/C/.,证明：在ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图），则,ADE=B, AED=C,（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，
7、截得的对应线段成比例）,过点D作AC的平行线，交BC于点F,则,（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）,DEBC,DFAC,四边形DFCE是平行四边形,DE=CF,而ADE=B, DAE=BAC, AED=C,ADEABC,A=A/, ADE=B=B/,AD=A/B/,ADEA/B/C/,ABCA/B/C/,定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,证明：在ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过点D作BC的平行线，交AC于点E（如图），则B=ADE, C=AED,ABCADE,（两角分别相等的两个三角形相似）,AE=A/C/,而A=A/,ADEA/B/
8、C/,ABCA/B/C/,定理 三边成比例的两个三角形相似,证明：在ABC的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/,连接DE.,而BAC=DAE,ABCADE,（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）,DE=B/C/,ADEA/B/C/,ABCA/B/C/,如图，ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？,如图，ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？,如图，ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？,如图，ADBC于点D， CEAB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？,通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？,?,本 课 小 结,
