（全国版）2019版高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明（课件+学案+练习）（打包16套）.zip

1第 1讲 算法初步板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1．[2018·沈阳调研]要计算 1＋ ＋ ＋…＋ 的结果，下面程序框图中的判断框内12 13 12018可以填( )A． n2018? D． n≥2018?答案 B解析 题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为 0，计数变量初始值为 1，要求 S＝0＋1＋ ＋ ＋…＋ 的值，共需要计算 2018次．故选 B.12 13 120182．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数 N除以正整数 m后的余数为 n，则记为 N≡ n(mod m)，例如 11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n等于( )2A．21 B．22 C．23 D．24答案 C解析 当 n＝21 时，21 被 3整除，执行否．当 n＝22 时，22 除以 3余 1，执行否；当 n＝23 时，23 除以 3余 2，执行是；又 23除以 5余 3，执行是，输出的 n＝23.故选 C.3．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足 3n－2 n1000的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A． A1000？和 n＝ n＋1 B． A1000？和 n＝ n＋2C． A≤1000？和 n＝ n＋1 D． A≤1000？和 n＝ n＋2答案 D解析 因为题目要求的是“满足 3n－2 n＞1000 的最小偶数 n”，所以 n的叠加值为 2，所以 内填入“ n＝ n＋ 2”．由程序框图知，当 内的条件不满足时，输出3n，所以 内填入“ A≤1000？” ．故选 D.4．[2018·汕头模拟]若执行如图所示的程序框图，输出 S的值为 3，则判断框中应填入的条件是( )A． k5时， x＝ ，解得 x＝±1(舍去)，1x故满足条件的 x值共有 3个．故选 C.6．已知[ x]表示不超过 x的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入 x的值为 2.4，则输出 z的值为( )5A．1.2 B．0.6 C．0.4 D．－0.4答案 D解析 输入 x＝2.4，则 y＝2.4， x＝[2.4]－1＝10，∴ x＝ ＝1.2； y＝1.2， x＝[1.2]－1＝0，∴ x＝ ＝0.6； y＝0.6， x＝[0.6]y2 y2－1＝－11，故输出的 S的最大值为 2.1第 1 讲 算法初步板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 算法的框图及结构1．算法算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确程序或有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构2考点 2 算法语句的格式及框图1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能2．条件语句的格式及框图(1)IF－THEN 格式(2)IF－THEN－ELSE 格式33．循环语句的格式及框图(1)UNTIL 语句(2)WHILE 语句[必会结论]1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环” ，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环” ，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环” ．两者的判断框内的4条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( )(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．( )(3)算法可以无限操作下去. ( )(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的. ( )(5)▱是赋值框，有计算功能．( )(6)当型循环是给定条件不成立时执行循环体，反复进行，直到条件成立为止. ( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×2．[2017·北京高考]执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( )A．2 B. C. D.32 53 85答案 C解析 开始： k＝0， s＝1；第一次循环： k＝1， s＝2；第二次循环： k＝2， s＝ ；32第三次循环： k＝3， s＝ ，此时不满足循环条件，输出 s，53故输出的 s 值为 .故选 C.533．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 x＝2， n＝2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s＝( )5A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析 k＝0， s＝0，输入 a＝2， s＝0×2＋2＝2， k＝1；输入a＝2， s＝2×2＋2＝6， k＝2；输入 a＝5， s＝6×2＋5＝17， k＝32，输出 s＝17.故选 C.4．[2017·山东高考]执行如图所示的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为( )A． x3?B． x4?C． x≤4?D． x≤5?答案 B解析 输入 x＝4，若满足条件，则 y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填 x4？.故选 B.5．[2018·乐山模拟]一算法的程序框图如图所示，若输出的 y＝ ，则输入的 x 可能12为( )6A．－1B．1C．1 或 5D．－1 或 1答案 B解析 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数 y＝Error!的函数值，输出的结果为 ，当12x≤2 时，sin ＝ ，解得 x＝1＋12 k，或 x＝5＋12 k， k∈Z，即 x＝1，－7，－11，…π x6 12当 x2 时，2 x＝ ，解得 x＝－1(不符，舍去)，12则输入的 x 可能为 1.故选 B.板块二 典例探究·考向突破考向 算法的基本结构例 1 [2017·全国卷Ⅲ]执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( )7A．5 B．4 C．3 D．2答案 D解析 假设 N＝2，程序执行过程如下：t＝1， M＝100， S＝0，1≤2， S＝0＋100＝100， M＝－ ＝－10， t＝2，100102≤2， S＝100－10＝90， M＝－ ＝1， t＝3，－ 10103＞2，输出 S＝90＜91.符合题意．∴ N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.触类旁通利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；(2)注意选择准确地表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．【变式训练 1】 [2018·河南百校联盟]《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 m 的值为 35，则输入的 a 的值为( )8A．4 B．5C．7 D．11答案 A解析 起始阶段有 m＝2 a－3， i＝1，第一次循环， m＝2(2 a－3)－3＝4 a－9， i＝2；第二次循环， m＝2(4 a－9)－3＝8 a－21， i＝3；第三次循环， m＝2(8 a－21)－3＝16 a－45， i＝4；接着计算 m＝2(16 a－45)－3＝32 a－93，跳出循环，输出 m＝32 a－93，令 32a－93＝35，得 a＝4.考向 算法的交汇性问题命题角度 1 与函数的交汇问题例 2 [2018·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出的 s 属于( )A．[－3,4] B．[－5,2]9C．[－4,3] D．[－2,5]答案 A解析 当－1≤ t＜1 时， s＝3 t，则 s∈[－3,3)．当 1≤ t≤3 时， s＝4 t－ t2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴ s∈[3,4]．综上知 s∈[－3,4]．故选 A.命题角度 2 与数列求和的交汇问题例 3 执行如图所示的程序框图，则输出的 k＝( )A．7 B．8 C．9 D．10答案 C解析 由程序框图可知，当 k＝1 时， s＝ ，当 k＝2 时， s＝ ＋ ，11×2 11×2 12×3当 k＝ n 时，s＝ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ ，由11×2 12×3 1nn＋ 1 (1－ 12) (12－ 13) (1n－ 1n＋ 1) 1n＋ 11－ ≥ ⇒n≥9，即当 k＝9 时， s＝ .故选 C.1n＋ 1 910 910命题角度 3 与统计的交汇问题例 4 在 2017～2018 赛季 NBA 季后赛中，当一个球队进行完 7 场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的 7 场比赛得分情况进行统计，如下表：场次i 1 2 3 4 5 6 7得分xi100104981059796100为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算 σ 的算法流程图如图所示(其中 是这 7x场比赛的平均得分)，求输出的 σ 的值．10解 由题知 ＝ (100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知x17s＝(100－100) 2＋(104－100) 2＋(98－100) 2＋(105－100) 2＋(97－100) 2＋(96－100)2＋(100－100) 2＝70.故 σ ＝ ＝ .s7 10触类旁通解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．考向 基本算法语句例 5 [2018·南京模拟]执行下边的程序，输出的结果是________． S＝ 1i＝ 3WHILE S200，则循环结束，故此时 i＝11.触类旁通基本算法语句应用中需注意的问题11(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调， A＝ B 和 B＝ A 的含义及运行结果是不同的；(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值；(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子 N＝ N＋1 一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的 N 的值加上 1 再赋给变量 N，这样原来的值被“冲”掉．【变式训练 2】 [2018·龙岩质检]如图所示的程序，若最终输出的结果为 ，则在6364程序中横线____？____处应填入的语句为( )A． i＝8 B． i＝7 C． i＝7.故选 B.6364核心规律1．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，则只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论，则必须引入条件结构；12若所要解决的问题要进行多次重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律，则必须引入变量，应用循环结构．2．利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．满分策略1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体．3．赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如 Y＝ x，表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值，不能改写为 x＝ Y.因为后者表示用 Y 的值替代变量 x 的值. 板块三 启智培优·破译高考规范答题系列 5——解决程序框图问题的答题模板[2017·全国卷Ⅱ]执行如图所示的程序框图，如果输入的 a＝－1，则输出的 S＝( )A．2 B．3 C．4 D．5解题视点 按部就班法是按照所给程序框图流程线的指向，逐个程序框运行，逐步进行运算，逐步检验，直至满足输出的条件，即可求得输出结果的方法．此种方法适用于处理运算次数不是很多的条件分支结构以及循环结构的程序框图．解析 当 K＝1 时， S＝0＋(－1)×1＝－1， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝2；当 K＝2 时， S＝－1＋1×2＝1， a＝－1，执行 K＝ K＋1 后， K＝3；当 K＝3 时， S＝1＋(－1)×3＝－2， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝4；当 K＝4 时， S＝－2＋1×4＝2， a＝－1，执行 K＝ K＋1 后， K＝5；当 K＝5 时， S＝2＋(－1)×5＝－3， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝6；当 K＝6 时， S＝－3＋1×6＝3，执行 K＝ K＋1 后， K＝76，输出 S＝3.结束循环．故选 B.13答案 B[答题模板] 跟踪训练[2017·天津高考]阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 第一次循环执行条件语句，此时 N＝24,24 能被 3 整除，则 N＝24÷3＝8.∵8≤3 不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时 N＝8,8 不能被 3 整除，则14N＝8－1＝7.∵7≤3 不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时 N＝7,7 不能被 3 整除，则N＝7－1＝6.∵6≤3 不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时 N＝6,6 能被 3 整除，则N＝6÷3＝2.∵2≤3 成立，∴此时输出 N＝2.故选 C.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·沈阳调研]要计算 1＋ ＋ ＋…＋ 的结果，下面程序框图中的判断框内12 13 12018可以填( )A． n2018? D． n≥2018?答案 B解析 题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为 0，计数变量初始值为 1，要求 S＝0＋1＋ ＋ ＋…＋ 的值，共需要计算 2018 次．故选 B.12 13 120182．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N≡ n(mod m)，例如 11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于( )15A．21 B．22 C．23 D．24答案 C解析 当 n＝21 时，21 被 3 整除，执行否．当 n＝22 时，22 除以 3 余 1，执行否；当 n＝23 时，23 除以 3 余 2，执行是；又 23 除以 5 余 3，执行是，输出的 n＝23.故选 C.3．[2017·全国卷Ⅰ]如图所示的程序框图是为了求出满足 3n－2 n1000 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A． A1000？和 n＝ n＋1 B． A1000？和 n＝ n＋2C． A≤1000？和 n＝ n＋1 D． A≤1000？和 n＝ n＋2答案 D解析 因为题目要求的是“满足 3n－2 n＞1000 的最小偶数 n”，所以 n 的叠加值为 2，所以 内填入“ n＝ n＋ 2”．由程序框图知，当 内的条件不满足时，输出16n，所以 内填入“ A≤1000？” ．故选 D.4．[2018·汕头模拟]若执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 3，则判断框中应填入的条件是( )A． k5 时， x＝ ，解得 x＝±1(舍去)，1x故满足条件的 x 值共有 3 个．故选 C.6．已知[ x]表示不超过 x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入 x 的值为 2.4，则输出 z 的值为( )18A．1.2 B．0.6 C．0.4 D．－0.4答案 D解析 输入 x＝2.4，则 y＝2.4， x＝[2.4]－1＝10，∴ x＝ ＝1.2； y＝1.2， x＝[1.2]－1＝0，∴ x＝ ＝0.6； y＝0.6， x＝[0.6]y2 y2－1＝－11，故输出的 S 的最大值为 2. 第 11章 算法初步、复数、推理与证明 第 1讲 算法初步 板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 2 讲 数系的扩充与复数的引入板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数 z 满足(1＋i) z＝2i，则| z|＝( )A. B. C. D．212 22 2答案 C解析 由(1＋i) z＝2i，得 z＝ ＝1＋i，解 法 一 ：2i1＋ i∴| z|＝ .故选 C.2∵2i＝(1＋i) 2，解 法 二 ：∴由(1＋i) z＝2i＝(1＋i) 2，得 z＝1＋i，∴| z|＝ .故选 C.22．[2018·湖南模拟]已知 ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝( ) 1－ i 2zA．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案 D解析 由 ＝1＋i，得 z＝ ＝ ＝ 1－ i 2z  1－ i 21＋ i － 2i1＋ i＝－1－i.－ 2i 1－ i 1＋ i  1－ i3．[2018·江西模拟]已知复数 z1＝cos23°＋isin23°和复数 z2＝cos37°＋isin37°，则 z1·z2为( )A. ＋ i B. ＋ i12 32 32 12C. － i D. － i12 32 32 12答案 A解析 z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝ ＋ i.故选 A.12 324．设复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z1＝2＋i，则 ＝( )z1z2A．1＋i B. ＋ i35 45C．1＋ i D．1＋ i45 43答案 B解析 因为复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z1＝2＋i，所以 z2＝2－i，所以 ＝ ＝ ＝ ＋ i.故选 B.z1z2 2＋ i2－ i  2＋ i 25 35 455．[2018·天津模拟]已知复数 z 满足(i－1)( z－i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭2复数为( )A．i－1 B．1＋2i C．1－i D．1－2i答案 B解析 依题意可得 z＝ ＋i 3＝ －i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共2ii－ 1 － 2i 1＋ i 1－ i  1＋ i轭复数为 1＋2i，故选 B.6．已知 a 为实数，若复数 z＝( a2－1)＋( a＋1)i 为纯虚数，则 ＝( )a＋ i20161＋ iA．1 B．0 C．1＋i D．1－i答案 D解析 z＝( a2－1)＋( a＋1)i 为纯虚数，则有 a2－1＝0， a＋1≠0，得 a＝1，则有＝ ＝ ＝1－i，选 D.1＋ i20161＋ i 1＋ 11＋ i 2 1－ i 1＋ i  1－ i7．[2018·郴州模拟]设 z＝1－i(i 是虚数单位)，若复数 ＋ z2在复平面内对应的向量2z为 ，则向量 的模是( )OZ→ OZ→ A．1 B. C. D．22 3答案 B解析 z＝1－i(i 是虚数单位)，复数 ＋ z2＝ ＋(1－i) 2＝ －2i＝1－i.2z 21－ i 2 1＋ i 1－ i  1＋ i向量 的模： ＝ .故选 B.OZ→ 12＋  － 1 2 28．[2018·温州模拟]满足 ＝i(i 为虚数单位)的复数是________．z＋ iz答案 －12 i2解析 由已知得 z＋i＝ zi，则 z(1－i)＝－i，即 z＝ ＝ ＝ ＝ － .－ i1－ i － i 1＋ i 1－ i  1＋ i 1－ i2 12 i29．若 ＝1－ bi，其中 a， b 都是实数，i 是虚数单位，则| a＋ bi|＝________.a1－ i答案 5解析 ∵ a， b∈R，且 ＝1－ bi，则 a＝(1－ bi)(1－i)＝(1－ b)－(1＋ b)a1－ ii，∴Error! ∴ Error!∴| a＋ bi|＝|2－i|＝ ＝ .22＋  － 1 2 510．[2017·浙江高考]已知 a， b∈R，( a＋ bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a2＋ b2＝________， ab＝________.答案 5 2解析 ( a＋ bi)2＝ a2－ b2＋2 abi.3由( a＋ bi)2＝3＋4i，得Error!解得 a2＝4， b2＝1.所以 a2＋ b2＝5， ab＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i，若 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A， B，线段 AB 的中点 C 对应的复数为 z，则| z|＝( )A. B．5 C．2 D．25 5 17答案 A解析 复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i，若 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A(2,6)，B(0，－2)，线段 AB 的中点 C(1，2)对应的复数为 z＝1＋2i，则| z|＝ ＝ .故选 A.12＋ 22 52．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 ∈R，则 z∈R；1zp2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ 2；zp4：若复数 z∈R，则 ∈R.z其中的真命题为( )A． p1， p3 B． p1， p4 C． p2， p3 D． p2， p4答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)， z1＝ a1＋ b1i(a1， b1∈R)， z2＝ a2＋ b2i(a2， b2∈R)．对于 p1，若 ∈R，即 ＝ ∈R，则 b＝0⇒ z＝ a＋ bi＝ a∈R，所以 p1为真命1z 1a＋ bi a－ bia2＋ b2题．对于 p2，若 z2∈R，即( a＋ bi)2＝ a2＋2 abi－ b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0， b≠0 时，z＝ a＋ bi＝ bi∈/ R，所以 p2为假命题．对于 p3，若 z1z2∈R，即( a1＋ b1i)(a2＋ b2i)＝( a1a2－ b1b2)＋( a1b2＋ a2b1)i∈R，则a1b2＋ a2b1＝0.而 z1＝ 2，即 a1＋ b1i＝ a2－ b2i⇔a1＝ a2， b1＝－ b2.因为 a1b2＋ a2b1＝0⇒ / za1＝ a2， b1＝－ b2，所以 p3为假命题．对于 p4，若 z∈R，即 a＋ bi∈R，则 b＝0⇒ ＝ a－ bi＝ a∈R，所以 p4为真命题．故选 B.z3．[2018·厦门模拟]已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为________．3yx答案 3解析 ∵| z－2|＝ ＝ ， x－ 2 2＋ y2 34∴( x－2) 2＋ y2＝3.由图可知 max＝ ＝ .(yx) 31 34．已知复数 z＝ bi(b∈R)， 是实数，i 是虚数单位．z－ 21＋ i(1)求复数 z；(2)若复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围．解 (1)因为 z＝ bi(b∈R)，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.z－ 21＋ i bi－ 21＋ i  bi－ 2  1－ i 1＋ i  1－ i  b－ 2 ＋  b＋ 2 i2 b－ 22 b＋ 22又因为 是实数，所以 ＝0，所以 b＝－2，即 z＝－2i.z－ 21＋ i b＋ 22(2)因为 z＝－2i， m∈R，所以( m＋ z)2＝( m－2i) 2＝ m2－4 mi＋4i 2＝( m2－4)－4 mi，又因为复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，所以Error!解得 m－2，即 m∈(－∞，－2)．5．若虚数 z 同时满足下列两个条件：① z＋ 是实数；② z＋3 的实部与虚部互为相反5z数．这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由．解 存在．设 z＝ a＋ bi(a， b∈R， b≠0)，则 z＋ ＝ a＋ bi＋5z 5a＋ bi＝ a ＋ b i.(1＋5a2＋ b2) (1－ 5a2＋ b2)又 z＋3＝ a＋3＋ bi 实部与虚部互为相反数， z＋ 是实数，根据题意有Error!5z因为 b≠0，所以Error!解得Error! 或Error!所以 z＝－1－2i 或 z＝－2－i.1第 2 讲 数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 复数的有关概念1．复数的概念形如 a＋ bi(a， b∈R)的数叫做复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则a＋ bi 为实数，若 b≠0，则 a＋ bi 为虚数，若 a＝0， b≠0，则 a＋ bi 为纯虚数．2．复数相等a＋ bi＝ c＋ di⇔a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈R)．3．共轭复数a＋ bi 与 c＋ di 共轭⇔ a＝ c 且 b＝－ d(a， b， c， d∈R)．4．复数的模向量 的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi 的模，记作| z|或| a＋ bi|，即| z|＝| a＋ bi|＝ r＝OZ→ (r≥0， r∈R)．a2＋ b2考点 2 复数的几何意义2考点 3 复数的运算设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)，则1．加法： z1＋ z2＝( a＋ bi)＋( c＋ di)＝( a＋ c)＋( b＋ d)i；2．减法： z1－ z2＝( a＋ bi)－( c＋ di)＝( a－ c)＋( b－ d)i；3．乘法： z1·z2＝( a＋ bi)·(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i；4．除法： ＝ ＝ ＝ ＋ i(c＋ di≠0)．z1z2 a＋ bic＋ di a＋ bic－ dic＋ dic－ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2[必会结论]1．(1±i) 2＝±2i； ＝i； ＝－i.1＋ i1－ i 1－ i1＋ i2．－ b＋ ai＝i( a＋ bi)．3．i 4n＝1，i 4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i( n∈N *)．4．i 4n＋i 4n＋1 ＋i 4n＋2 ＋i 4n＋3 ＝0( n∈N *)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)方程 x2＋1＝0 没有解．( )(2)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)中，虚部为 bi.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )(4)已知复数 z 的共轭复数 ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( )z－ (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 ∵ z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数 z＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选 C.3．[2017·全国卷Ⅱ] ＝( )3＋ i1＋ iA．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i3答案 D解析 ＝ ＝ ＝2－i.3＋ i1＋ i 3＋ i1－ i1＋ i1－ i 3－ 3i＋ i＋ 12故选 D.4．[2018·榆林模拟]设复数 z＝－2＋i(i 是虚数单位)， z 的共轭复数为 ，则z－ |(1＋ z)· |等于( )z－ A. B．2 C．5 D.5 5 2 10答案 D解析 ∵ z＝－2＋i，∴ ＝－2－i，z－ ∴|(1＋ z)· |＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝ ＝ ，故选 D.z－ 1＋ 9 105．[2017·江苏高考]已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是________．答案 10解析 ∵ z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，解 法 一 ：∴| z|＝ ＝ .－ 12＋ 32 10|z|＝|1＋i||1＋2i|＝ × ＝ .解 法 二 ： 2 5 106．[2018·湖北高中联考]已知复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则 － z2的共轭复数是2z________．答案 1＋3i解析 － z2＝ －(1＋i) 2＝ －2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是2z 21＋ i 21－ i1＋ i1－ i1＋3i.板块二 典例探究·考向突破考向 复数的有关概念例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1＋i) 2 B．i 2(1－i)C．(1＋i) 2 D．i(1＋i)答案 C解析 A 项，i(1＋i) 2＝i(1＋2i＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C 项，(1＋i) 2＝1＋2i＋i 2＝2i，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i＋i 2＝－1＋i，不是纯虚数．故选 C.(2)[2017·天津高考]已知 a∈R，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为a－ i2＋ i________．答案 －24解析 ∵ a∈R， ＝ ＝ ＝ － i 为实数，∴－a－ i2＋ i a－ i2－ i2＋ i2－ i 2a－ 1－ a＋ 2i5 2a－ 15 a＋ 25＝0，∴ a＝－2.a＋ 25触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋ bi(a， b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．【变式训练 1】 (1)若复数 z＝ a2－1＋( a＋1)i( a∈R)是纯虚数，则 的虚部为( )1z＋ aA．－ B．－ i C. D. i25 25 25 25答案 A解析 由题意得Error!所以 a＝1，所以 ＝ ＝ ＝ － i，根据虚1z＋ a 11＋ 2i 1－ 2i1＋ 2i1－ 2i 15 25部的概念，可得 的虚部为－ .故选 A.1z＋ a 25(2)[2018·福州调研]已知 m∈R，i 为虚数单位，若 0，则 m＝( )1－ 2im－ iA．1 B. C. D．－212 13答案 B解析 由已知得 ＝ ＝1－ 2im－ i 1－ 2im＋ im－ im＋ i，由 0，可得 1－2 m＝0，则 m＝ ，选 B.m＋ 2＋ 1－ 2mim2＋ 1 1－ 2im－ i 12考向 复数的几何意义例 2 (1)[2017·北京高考]若复数(1－i)( a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)( a＋i)＝ a＋i－ ai－i 2＝ a＋1＋(1－ a)i，又∵复数(1－i)( a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴Error!解得 a＜－1.故选 B.(2)[2018·贵阳模拟]已知 i 为虚数单位， a 为实数，复数 z＝ 在复平面上对应的a－ 3i1－ i点在 y 轴上，则 a＝________.答案 －35解析 z＝ ＝ ＝ ，由 a＋3＝0，得 a＝－3.a－ 3i1－ i a－ 3i1＋ i2 a＋ 3＋ a－ 3i2触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．【变式训练 2】 (1)[2018·邯郸模考]已知 i 是虚数单位，若复数 z＝ 在复平面2＋ ai2＋ i内对应的点在第四象限，则实数 a 的值可以是( )A．－2 B．1 C．2 D．3答案 A解析 z＝ ＝ ＝ ，因为复数 z＝ 在复平面内对2＋ ai2＋ i 2＋ ai2－ i2＋ i2－ i 4＋ a＋ 2a－ 2i5 2＋ ai2＋ i应的点在第四象限，所以Error!解得－41 B． a1.故选 A.核心规律1．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．3．在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．满分策略1．判定复数是不是实数，仅注意虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1， z2∈C， z ＋ z ＝0，就不能推出 z1＝ z2＝0； z20 在复数范围内有可能成立. 21 2板块三 启智培优·破译高考数学思想系列 12——解决复数问题的实数化思想[2018·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z· －3i ＝1＋3i.z－ z－ 解题视点 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，根据已知中恒等的条件，列出一组含 a， b 的方程，解方程组使问题获得解决．解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则( a＋ bi)(a－ bi)－3i( a－ bi)＝1＋3i，即a2＋ b2－3 b－3 ai＝1＋3i.7根据复数相等的定义，得Error!解之得Error!或Error! ∴ z＝－1 或 z＝－1＋3i.答题启示 1复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.2本题求解的关键是先把 z 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.3本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.跟踪训练[2018·金版创新]设复数 z 满足 z＋| |＝2＋i，则 z＝( )z－ A．－ ＋i B. ＋i C．－ －i D. －i34 34 34 34答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，由已知得 a＋ bi＋ ＝2＋i，由复数相等可得a2＋ b2Error!∴Error!故 z＝ ＋i，故选 B.34板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数 z 满足(1＋i) z＝2i，则| z|＝( )A. B. C. D．212 22 2答案 C解析 由(1＋i) z＝2i，得 z＝ ＝1＋i，解 法 一 ：2i1＋ i∴| z|＝ .故选 C.2∵2i＝(1＋i) 2，解 法 二 ：∴由(1＋i) z＝2i＝(1＋i) 2，得 z＝1＋i，∴| z|＝ .故选 C.22．[2018·湖南模拟]已知 ＝1＋i(i 为虚数单位) ，则复数 z＝( )1－ i2zA．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案 D解析 由 ＝1＋i，得 z＝ ＝ ＝1－ i2z 1－ i21＋ i － 2i1＋ i＝－1－i.－ 2i1－ i1＋ i1－ i3．[2018·江西模拟]已知复数 z1＝cos23°＋isin23°和复数 z2＝cos37°＋isin37°，则 z1·z2为( )A. ＋ i B. ＋ i12 32 32 12C. － i D. － i12 32 32 128答案 A解析 z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋ i.故选 A.12 324．设复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z1＝2＋i，则 ＝( )z1z2A．1＋i B. ＋ i35 45C．1＋ i D．1＋ i45 43答案 B解析 因为复数 z1， z2在复平面内对应的点关于实轴对称， z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以 ＝ ＝ ＝ ＋ i.故选 B.z1z2 2＋ i2－ i 2＋ i25 35 455．[2018·天津模拟]已知复数 z 满足(i－1)( z－i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( )A．i－1 B．1＋2i C．1－i D．1－2i答案 B解析 依题意可得 z＝ ＋i 3＝ －i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共轭复数2ii－ 1 － 2i1＋ i1－ i1＋ i为 1＋2i，故选 B.6．已知 a 为实数，若复数 z＝( a2－1)＋( a＋1)i 为纯虚数，则 ＝( )a＋ i20161＋ iA．1 B．0 C．1＋i D．1－i答案 D解析 z＝( a2－1)＋( a＋1)i 为纯虚数，则有 a2－1＝0， a＋1≠0，得 a＝1，则有＝ ＝ ＝1－i，选 D.1＋ i20161＋ i 1＋ 11＋ i 21－ i1＋ i1－ i7．[2018·郴州模拟]设 z＝1－i(i 是虚数单位)，若复数 ＋ z2在复平面内对应的向量2z为 ，则向量 的模是( )OZ→ OZ→ A．1 B. C. D．22 3答案 B解析 z＝1－i(i 是虚数单位)，复数 ＋ z2＝ ＋(1－i) 2＝ －2i＝1－i.2z 21－ i 21＋ i1－ i1＋ i向量 的模： ＝ .故选 B.OZ→ 12＋ － 12 28．[2018·温州模拟]满足 ＝i(i 为虚数单位)的复数是________．z＋ iz9答案 －12 i2解析 由已知得 z＋i＝ zi，则 z(1－i)＝－i，即 z＝ ＝ ＝ ＝ － .－ i1－ i － i1＋ i1－ i1＋ i 1－ i2 12 i29．若 ＝1－ bi，其中 a， b 都是实数，i 是虚数单位，则| a＋ bi|＝________.a1－ i答案 5解析 ∵ a， b∈R，且 ＝1－ bi，则 a＝(1－ bi)(1－i)＝(1－ b)－(1＋ b)a1－ ii，∴Error!∴Error!∴| a＋ bi|＝|2－i|＝ ＝ .22＋ － 12 510．[2017·浙江高考]已知 a， b∈R，( a＋ bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a2＋ b2＝________， ab＝________.答案 5 2解析 ( a＋ bi)2＝ a2－ b2＋2 abi.由( a＋ bi)2＝3＋4i，得Error!解得 a2＝4， b2＝1.所以 a2＋ b2＝5， ab＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i，若 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A， B，线段 AB 的中点 C 对应的复数为 z，则| z|＝( )A. B．5 C．2 D．25 5 17答案 A解析 复数 z1＝2＋6i， z2＝－2i，若 z1， z2在复平面内对应的点分别为 A(2,6)，B(0，－2)，线段 AB 的中点 C(1，2)对应的复数为 z＝1＋2i，则| z|＝ ＝ .故选 A.12＋ 22 52．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 ∈R，则 z∈R；1zp2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ 2；zp4：若复数 z∈R，则 ∈R.z其中的真命题为( )A． p1， p3 B． p1， p4 C． p2， p3 D． p2， p4答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)， z1＝ a1＋ b1i(a1， b1∈R)， z2＝ a2＋ b2i(a2， b2∈R)．对于 p1，若 ∈R，即 ＝ ∈R，则 b＝0⇒ z＝ a＋ bi＝ a∈R，所以 p1为真命1z 1a＋ bi a－ bia2＋ b2题．对于 p2，若 z2∈R，即( a＋ bi)2＝ a2＋2 abi－ b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0， b≠0 时，z＝ a＋ bi＝ bi∈/ R，所以 p2为假命题．10对于 p3，若 z1z2∈R，即( a1＋ b1i)(a2＋ b2i)＝( a1a2－ b1b2)＋( a1b2＋ a2b1)i∈R，则a1b2＋ a2b1＝0.而 z1＝ 2，即 a1＋ b1i＝ a2－ b2i⇔a1＝ a2， b1＝－ b2.因为 a1b2＋ a2b1＝0⇒ / za1＝ a2， b1＝－ b2，所以 p3为假命题．对于 p4，若 z∈R，即 a＋ bi∈R，则 b＝0⇒ ＝ a－ bi＝ a∈R，所以 p4为真命题．故选zB.3．[2018·厦门模拟]已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为________．3yx答案 3解析 ∵| z－2|＝ ＝ ，x－ 22＋ y2 3∴( x－2) 2＋ y2＝3.由图可知 max＝ ＝ .(yx) 31 34．已知复数 z＝ bi(b∈R)， 是实数，i 是虚数单位．z－ 21＋ i(1)求复数 z；(2)若复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围．解 (1)因为 z＝ bi(b∈R)，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.z－ 21＋ i bi－ 21＋ i bi－ 21－ i1＋ i1－ i b－ 2＋ b＋ 2i2 b－ 22 b＋ 22又因为 是实数，所以 ＝0，所以 b＝－2，即 z＝－2i.z－ 21＋ i b＋ 22(2)因为 z＝－2i， m∈R，所以( m＋ z)2＝( m－2i) 2＝ m2－4 mi＋4i 2＝( m2－4)－4 mi，又因为复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，所以Error!解得 m－2，即 m∈(－∞，－2)．5．若虚数 z 同时满足下列两个条件：① z＋ 是实数；② z＋3 的实部与虚部互为相反5z数．这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由．解 存在．设 z＝ a＋ bi(a， b∈R， b≠0)，则 z＋ ＝ a＋ bi＋5z 5a＋ bi＝ a ＋ b i.(1＋5a2＋ b2) (1－ 5a2＋ b2)又 z＋3＝ a＋3＋ bi 实部与虚部互为相反数， z＋ 是实数，根据题意有Error!5z11因为 b≠0，所以Error!解得Error!或Error!所以 z＝－1－2i 或 z＝－2－i.