（全国版）2019版高考数学一轮复习 全册增分练（打包58套）.zip

1第 1讲 绝对值不等式板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数 f(x)＝| x－4|， g(x)＝|2 x＋1|.(1)解不等式 f(x)ax对任意的实数 x恒成立，求 a的取值范围．解 (1) f(x)0，∴ x1，∴不等式的解集为{ x|x1}．(2)令 H(x)＝2 f(x)＋ g(x)＝Error!G(x)＝ ax，2f(x)＋ g(x)ax对任意的实数 x恒成立，即 H(x)的图象恒在直线 G(x)＝ ax的上方，故直线 G(x)＝ ax的斜率 a满足－4≤ a9；(2)设关于 x的不等式 f(x)≤| x－4|的解集为 A， B＝{ x∈R||2 x－1|≤3}，如果2A∪ B＝ A，求实数 a的取值范围．解 (1)当 a＝5 时， f(x)＝| x＋5|＋| x－2|.①当 x≥2 时，由 f(x)9，得 2x＋39，解得 x3；②当－5≤ x9，得 79，此时不等式无解；③当 x9，得－2 x－39，解得 x9的解集为{ x∈R| x3}．(2)∵ A∪ B＝ A，∴ B⊆A.又 B＝{ x∈R||2 x－1|≤3}＝{ x∈R|－1≤ x≤2}，关于 x的不等式 f(x)≤| x－4|的解集为 A，∴当－1≤ x≤2 时， f(x)≤| x－4|恒成立．由 f(x)≤| x－4|得| x＋ a|≤2.∴当－1≤ x≤2 时，| x＋ a|≤2 恒成立，即－2－ x≤ a≤2－ x恒成立．∴实数 a的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数 f(x)＝| x＋1|＋|2 x－4|.(1)解关于 x的不等式 f(x)－2，∴－2－4，∴－1－2 时， x的取值范围是{ x|－2≤ x≤ a}．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数 f(x)＝| x－1|＋ |x－3|.12(1)求不等式 f(x)2的解集；(2)若不等式 f(x)≤ a 的解集非空，求实数 a的取值范围．(x＋12)解 (1)原不等式等价于Error!或Error! 或Error!∴不等式的解集为 ∪(3，＋∞)．(－ ∞ ，13)(2)f(x)＝| x－1|＋ |x－3|12＝Error!f(x)的图象如图所示，其中 A(1,1)， B(3,2)，直线 y＝ a 绕点 旋转，(x＋12) (－ 12， 0)由图可得不等式 f(x)≤ a 的解集非空时， a的取值范围为 ∪ .(x＋12) (－ ∞ ， － 32) [47， ＋ ∞ )1第 2 讲 不等式的证明板块三 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知 a， b， c， d 均为正数， S＝ ＋ ＋ ＋ ，则一定有( )aa＋ b＋ d bb＋ c＋ a cc＋ d＋ b dd＋ a＋ cA．0 ＋ ＋ ＋ ＝1，aa＋ b＋ c＋ d ba＋ b＋ c＋ d ca＋ b＋ c＋ d da＋ b＋ c＋ dS1， 1， 1，x1x2 x2x3 x3x1∴ · · 1 与 · · ＝1 矛盾，x1x2 x2x3 x3x1 x1x2 x2x3 x3x1∴至少有一个不大于 1.3．设 x0， y0， M＝ ， N＝ ＋ ，则 M、 N 的大小关系为________．x＋ y2＋ x＋ y x2＋ x y2＋ y答案 M ＋ ＝x2＋ x y2＋ y x2＋ x＋ y y2＋ x＋ y＝ M.x＋ y2＋ x＋ y4．已知 a， b∈R， a2＋ b2＝4，则 3a＋2 b 的取值范围是________．答案 [－2 ，2 ]13 13解析 根据柯西不等式(ac＋ bd)2≤( a2＋ b2)·(c2＋ d2)，可得(3 a＋2 b)2≤( a2＋ b2)·(32＋2 2)∴－2 ≤3 a＋2 b≤2 .13 133a＋2 b∈[－2 ，2 ]．13 13[B 级 能力达标]5．求证： ＋ ＋ ＋…＋ 0)．|x－4a|(1)证明： f(x)≥4；(2)若 f(2)2 时，不等式变成 a2－ a－40)的解集为[－2,2]，求实数 m 的值；(x＋12)(2)对任意 x∈R， y0，求证： f(x)≤2 y＋ ＋|2 x＋3|.42y解 (1)不等式 f ≤2 m＋1⇔|2 x|≤2 m＋1( m0)，(x＋12)∴－ m－ ≤ x≤ m＋ ，12 12由解集为[－2,2]，可得 m＋ ＝2，解得 m＝ .12 32(2)证明：原不等式即为|2 x－1|－|2 x＋3|≤2 y＋ .42y令 g(x)＝|2 x－1|－|2 x＋3|≤|(2 x－1)－(2 x＋3)|＝4，当 2x＋3≤0，即 x≤－ 时， g(x)取得最大值 4，32又 2y＋ ≥2 ＝4，当且仅当 2y＝ ，即 y＝1 时，取得最小值 4.42y 2y·42y 42y则|2 x－1|－|2 x＋3|≤2 y＋ .42y故原不等式成立．8．[2018·黄山期末](1)已知 a， b∈(0，＋∞)，求证： x， y∈R，有 ＋ ≥x2a y2b3； x＋ y 2a＋ b(2)若 01，而(2－ a)b·(2－ b)c· (2－ c)a＝(2－ a)a·(2－ b)b·(2－ c)c≤ 2 2(2－ a＋ a2 )(2－ b＋ b2 )2＝1，(2－ c＋ c2 )这与(2－ a)b·(2－ b)c·(2－ c)a1 矛盾．所以假设错误，即(2－ a)b，(2－ b)c，(2－ c)a 不能同时大于 1.9．[2018·天津期末]已知 xy0， m0.(1)试比较 与 的大小；yx y＋ mx＋ m(2)用分析法证明： (2－ )≤1.xy xy解 (1)因为 － ＝ ， xy0， m0.yx y＋ mx＋ m m y－ xx x＋ m所以 m(y－ x)0，所以 0，且( －1) 2≥0 成立，xy所以 (2－ )≤1.xy xy10．[2018·江阴市期末]已知实数 a0， b0.4(1)若 a＋ b2，求证： ， 中至少有一个小于 2；1＋ ba 1＋ ab(2)若 a－ b＝2，求证： a3＋ b8.证明 (1)假设 ， 都不小于 2，则 ≥2， ≥2，因为 a0， b0，所以1＋ ba 1＋ ab 1＋ ba 1＋ ab1＋ b≥2 a,1＋ a≥2 b，1＋1＋ a＋ b≥2( a＋ b)，即 2≥ a＋ b，这与已知 a＋ b2 相矛盾，故假设不成立．综上， ， 中至少有一个小于 2.1＋ ba 1＋ ab(2)∵ a－ b＝2，∴ b＝ a－2，∵ b0，∴ a2，∴ a3＋ b－8＝ a3－8＋ a－2＝( a－2)( a2＋2 a＋5)，∴( a－2)[( a＋1) 2＋4]0，∴ a3＋ b8.1第 1 讲 坐标系板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为ρ 2＝4 ρ (cosθ ＋sin θ )－6.若以极点 O 为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆 C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点 P(x， y)是圆 C 上一动点，试求 x＋ y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解 (1)因为 ρ 2＝4 ρ (cosθ ＋sin θ )－6，所以 x2＋ y2＝4 x＋4 y－6，所以 x2＋ y2－4 x－4 y＋6＝0，整理得( x－2) 2＋( y－2) 2＝2.所以圆 C 的参数方程为Error!( θ 为参数)．(2)由(1)可得 x＋ y＝4＋ (sinθ ＋cos θ )2＝4＋2sin .(θ ＋π 4)当 θ ＝ ，即点 P 的直角坐标为(3,3)时， x＋ y 取得最大值，其值为 6.π 42．[2018·宁波模拟]已知曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( ρ ≥0,0≤ θ 2π)．解 (1)将Error!消去参数 t，化为普通方程( x－4) 2＋( y－5) 2＝25，即 C1： x2＋ y2－8 x－10 y＋16＝0.将Error! 代入 x2＋ y2－8 x－10 y＋16＝0 得 ρ 2－8 ρ cosθ －10 ρ sinθ ＋16＝0.所以 C1的极坐标方程为 ρ 2－8 ρ cosθ －10 ρ sinθ ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为 x2＋ y2－2 y＝0.由Error!解得Error! 或Error!所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .(2，π 4) (2， π 2)3．[2018·南通模拟]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( φ 为参数)．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆 C 的普通方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρ sin ＝5 ，射线 OM： θ ＝ 与圆 C 的交点为(θ ＋π 6) 3 π 6O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．解 (1)因为圆 C 的参数方程为Error!( φ 为参数)，所以圆心 C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆 C 的普通方程为 x2＋( y－2) 2＝4.2(2)将 x＝ ρ cosθ ， y＝ ρ sinθ 代入 x2＋( y－2) 2＝4，得圆 C 的极坐标方程为ρ ＝4sin θ .设 P(ρ 1， θ 1)，则由Error!解得 ρ 1＝2， θ 1＝ .π 6设 Q(ρ 2， θ 2)，则由Error!解得 ρ 2＝5， θ 2＝ .所以| PQ|＝3.π 64．[2018·昆明模拟]将圆 x2＋ y2＝1 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 Γ .(1)写出 Γ 的参数方程；(2)设直线 l：3 x＋2 y－6＝0 与 Γ 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设( x1， y1)为圆上的点，在已知变换下变为 Γ 上的点( x， y)，依题意，得Error!即 Error!由 x ＋ y ＝1，得 2＋ 2＝1，即曲线 Γ 的方程为 ＋ ＝1.21 21 (x2) (y3) x24 y29故 Γ 的参数方程为Error!( t 为参数)．(2)由Error! 解得Error! 或Error!不妨设 P1(2,0)， P2(0,3)，则线段 P1P2的中点坐标为 ，所求直线的斜率 k＝ .于(1，32) 23是所求直线方程为 y－ ＝ (x－1)，即 4x－6 y＋5＝0，化为极坐标方程，得32 234ρ cosθ －6 ρ sinθ ＋5＝0.5．[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( α 为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ sin ＝2 .(θ ＋π 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．解 (1)由曲线 C1：Error!得Error!即曲线 C1的直角坐标方程为 ＋ y2＝1.x23由曲线 C2： ρ sin ＝2 ，得 ρ (sinθ ＋cos θ )＝2 ，即曲线 C2的直角坐标(θ ＋π 4) 2 22 2方程为 x＋ y－4＝0.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( cosα ，sin α )．因为 C2是直线，所以| PQ|的最3小值即为 P 到 C2的距离 d(α )的最小值，d(α )＝ ＝ .|3cosα ＋ sinα － 4|2 2|sin(α ＋ π 3)－ 2|当且仅当 α ＝2 kπ＋ (k∈Z)时， d(α )取得最小值，最小值为 ，此时 P 的直角坐标π 6 23为 .(32， 12)6．[2018·合肥模拟]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(其中 φ 为参数)，曲线 C2： x2＋ y2－2 y＝0，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l： θ ＝ α (ρ ≥0)与曲线 C1， C2分别交于点 A， B(均异于原点 O) .(1)求曲线 C1， C2的极坐标方程；(2)当 0α 时，求| OA|2＋| OB|2的取值范围．π 2解 (1)∵Error!( φ 为参数)，∴ ＋ y2＝1.x22由Error! 得曲线 C1的极坐标方程为 ρ 2＝ .21＋ sin2θ∵ x2＋ y2－2 y＝0，∴曲线 C2的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .(2)由(1)得| OA|2＝ ρ 2＝ ，| OB|2＝ ρ 2＝4sin 2α ，21＋ sin2α∴| OA|2＋| OB|2＝ ＋4sin 2α ＝ ＋4(1＋sin 2α )－4，21＋ sin2α 21＋ sin2α∵0 α ，∴11＋sin 2α 2，∴6 ＋4(1＋sin 2α )9，π 2 21＋ sin2α∴| OA|2＋| OB|2的取值范围为(2,5)．1第 2 讲 参数方程板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的参数方程为Error!( s 为参数)．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．解 直线 l 的普通方程为 x－2 y＋8＝0.因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 s)，2从而点 P 到直线 l 的距离 d＝|2s2－ 42s＋ 8|12＋  － 2 2＝ .2 s－ 2 2＋ 45当 s＝ 时， dmin＝ .2455因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值 .4552．[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)．设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： ρ (cosθ ＋sin θ )－＝ 0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径．2解 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1： y＝ k(x－2)；消去参数 m 得 l2的普通方程 l2： y＝ (x＋2)．1k设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2－ y2＝4( y≠0)，所以 C 的普通方程为 x2－ y2＝4( y≠0)．(2)C 的极坐标方程为 ρ 2(cos2θ －sin 2θ )＝4(0＜ θ ＜2π， θ ≠π)，联立Error! 得cosθ －sin θ ＝2(cos θ ＋sin θ )．故 tanθ ＝－ ，从而 cos2θ ＝ ，sin 2θ ＝ .13 910 110代入 ρ 2(cos2θ －sin 2θ )＝4 得 ρ 2＝5，所以交点 M 的极径为 .53．[2018·安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆 C 的直角坐标系方程为 x2＋ y2＋2 x－2 y＝0，直线l 的参数方程为Error!( t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程为 θ ＝ .3π4(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；2(2)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．解 (1)∵圆 C 的直角坐标系方程为 x2＋ y2＋2 x－2 y＝0，∴圆 C 的极坐标方程为 ρ 2＋2 ρ cosθ －2 ρ sinθ ＝0，化简得 ρ ＋2cos θ －2sin θ ＝0，即 ρ ＝2 sin .2 (θ －π 4)∵直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，消参得： x－ y＋1＝0，∴直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ － ρ sinθ ＋1＝0，即 ρ ＝ .1sinθ － cosθ(2)当 θ ＝ 时，| OP|＝2 sin ＝2 ，3π4 2 (3π4－ π 4) 2故点 P 的极坐标为 ，(22，3π4)|OQ|＝ ＝ ＝ ，1sin3π4－ cos3π4122＋ 22 22故点 Q 的极坐标为 ，(22， 3π4)|PQ|＝| OP|－| OQ|＝2 － ＝222 322故线段 PQ 的长为 .3224．[2018·长沙模拟]以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数，00)．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为ρ cos ＝－2 .(θ ＋π 4) 2(1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a＝2 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；(2)若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围．解 (1)由 ρ cos ＝－2 ，得 (ρ cosθ － ρ sinθ )＝－2 ，(θ ＋π 4) 2 22 2化成直角坐标方程，得 (x－ y)＝－2 ，即直线 l 的方程为 x－ y＋4＝0.22 2依题意，设 P(2cost,2sint)，则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝|2cost－ 2sint＋ 4|2.|22cos(t＋ π 4)＋ 4|2当 t＋ ＝2 kπ＋π，即 t＝2 kπ＋ ， k∈Z 时， dmin＝2 －2.π 4 3π4 2故点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 －2.2(2)∵曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，∴对∀ t∈R，有 acost－2sin t＋40 恒成立，即 cos(t＋ φ )－4 恒成立，a2＋ 4 (其 中 tanφ ＝2a)∴ 0，∴00 可知 tanα ＝ .354所以直线 l 的斜率为 .541第 1 讲 随机事件的概率板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ，那么概率是 的事件是( )310 710A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡” “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，故选 A.2．[2018·南通模拟]从 1,2，…，9 中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )A．① B．②④ C．③ D．①③答案 C解析 从 9 个数字中取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有③中两事件是对立事件．3．[2018·陕西模拟]从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 C解析 如图，从 A， B， C， D， O 这 5 个点中任取 2 个，共有( A， B)，( A， C)，……，( D， O)10 种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有( A， B)，( A， C)，(A， D)，( B， C)，( B， D)，( C， D)，共 6 种，因此所求概率 P＝ ＝ .610 354．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0 与 1，另一张的正反面分别写着数字 2与 3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A. B. C. D.16 13 12 38答案 C2解析 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有 12,13,20,21,30,31，共6 个，两位数为奇数的有 13,21,31，共 3 个，故所组成的两位数为奇数的概率为 ＝ .36 125．从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数，则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A. B. C. D.310 15 12 35答案 A解析 从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个，取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 3 个，故所求概率 P＝ .选 A.3106．[2018·银川模拟]已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲胜12 13的概率和甲不输的概率分别为( )A. ， B. ， C. ， D. ，16 16 12 23 16 23 23 12答案 C解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为 1－ － ＝ .设“甲12 13 16不输”为事件 A，则 A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P(A)＝＋ ＝ Error!或设“甲不输”为事件 A，则 A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以 P(A)16 12 23＝1－ ＝ Error!.13 237．[2018·陕西模拟]对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45答案 D3解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为 0.25＋0.04×5＝0.45，故任取 1 件为二等品的概率约为 0.45.故选 D.8．[2018·温州十校联考]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若 A 是不超过5 的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为 1 的概率为________．答案 29解析 根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过 5 的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共 9 个，其中个位是 1 的有 21,41，共 2 个，因此所求的概率为 .299．[2018·吉林模拟]从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是________．答案 15解析 从 0,1,2,3,4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种，数字之和恰好等于 4 的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于 4 的概率是 P＝ .1510．一根绳子长为 6 米，绳子上有 5 个节点将绳子 6 等分，现从 5 个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于 2 米的概率为________．答案 35解析 随机选一个节点将绳子剪断共有 5 种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于 2 米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共 3 种情况．所以所求概率为 .35[B 级 知能提升]1．在运动会火炬传递活动中，有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬手．若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A. B. C. D.310 58 710 25答案 A解析 从 1,2,3,4,5 中任取三个数的结果有 10 种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为 P＝ .3102．[2018·合肥一模]某城市有连接 8 个小区 A， B， C， D， E， F， G， H 和市中心 O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区 A 前往小区 H，则他经过市中心 O 的概率为( )4A. B. C. D.13 23 14 34答案 B解析 由题意知，此人从小区 A 前往小区 H 的所有最短路径为：A→ B→ C→ E→ H， A→ B→ O→ E→ H， A→ B→ O→ G→ H， A→ D→ O→ E→ H， A→ D→ O→ G→ H， A→ D→ F→ G→ H，共 6 条．记“此人经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为：A→ B→ O→ E→ H， A→ B→ O→ G→ H， A→ D→ O→ E→ H， A→ D→ O→ G→ H，共 4 个，所以 P(M)＝ ＝ ，即他经过市中心 O 的概率为 .46 23 233．[2018·苏锡常镇调研]在不等式组Error!所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取 3 个点，则该 3 点恰能作为一个三角形的 3 个顶点的概率为________．答案 910解析 不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5 个，从中任取 3 个点，有 10 种取法，其中共线的 3 点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1 种，即能够作为三角形 3 个顶点的情况有 9 种，故所求概率是 .9104．[2018·宁波模拟]一盒中装有各色球共 12 个，其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球．从中随机取出 1 个球，求：(1)取出 1 个球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 个球是红球、黑球或白球的概率．解 记事件 A1＝{任取 1 个球为红球}， A2＝{任取 1 个球为黑球}， A3＝{任取 1 个球为白球}， A4＝{任取 1 个球为绿球}，则 P(A1)＝ ， P(A2)＝ ， P(A3)＝ ， P(A4)＝ ，512 412 212 112解法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)根据题意，知事件 A1， A2， A3， A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可知，(1)取出 1 个球为红球或黑球的概率为 P(A1∪ A2)＝ P(A1)＋ P(A2)＝ ＋ ＝ .512 412 34(2)取出 1 个球为红球，黑球或白球的概率为 P(A1∪ A2∪ A3)＝ P(A1)＋ P(A2)＋ P(A3)＝ ＋ ＋ ＝ .512 412 212 11125解法二：(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法一知，取出 1 个球为红球或黑球的对立事件为取出 1 个球为白球或绿球，即A1∪ A2的对立事件为 A3∪ A4.所以取出 1 个球是红球或黑球的概率为 P(A1∪ A2)＝1－ P(A3∪ A4)＝1－ P(A3)－ P(A4)＝1－ － ＝ .212 112 34(2)A1∪ A2∪ A3的对立事件为 A4，所以 P(A1∪ A2∪ A3)＝1－ P(A4)＝1－ ＝ .112 11125．[2018·徐州模拟]为了整理道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了 200 人进行调查，当不处罚时，有 80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额 x(单位：元) 5 10 15 20会闯红灯的人数 y 50 40 20 10若用表中数据所得频率代替概率．(1)当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类： A 类市民在罚金不超过 10 元时就会改正行为； B 类是其他市民．现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？解 (1)设“当罚金定为 10 元时，闯红灯的市民改正行为”为事件 A，则 P(A)＝ ＝ .40200 15∴当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低 .15(2)由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两人，设从 A 类市民抽出的两人分别为 A1， A2，设从 B 类市民抽出的两人分别为 B1， B2.设“ A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷”为事件 M，则事件 M 中首先抽出A1的事件有( A1， A2， B1， B2)，( A1， A2， B2， B1)，( A1， B1， A2， B2)，( A1， B1， B2， A2)，(A1， B2， A2， B1)，( A1， B2， B1， A2)，共 6 种．同理首先抽出 A2， B1， B2的事件也各有 6 种．故事件 M 共有 4×6＝24 种．设“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N，则事件 N 有( B1， B2， A1， A2)，( B1， B2， A2， A1)，( B2， B1， A1， A2)，( B2， B1， A2， A1)，共 4 种．∴ P(N)＝ ＝ .424 16∴抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是 .161第 2 讲 古典概型板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．袋中有 2 个白球，2 个黑球，若从中任意摸出 2 个，则至少摸出 1 个黑球的概率是( )A. B. C. D.34 56 16 13答案 B解析 该试验中会出现(白 1，白 2)，(白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 2，黑 1)，(白2，黑 2)和(黑 1，黑 2)共 6 种等可能的结果，事件“至少摸出 1 个黑球”所含有的基本事件为(白 1，黑 1)，(白 1，黑 2)，(白 2，黑 1)，(白 2，黑 2)和(黑 1，黑 2)共 5 种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出 1 个黑球”的概率是 .562．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. B. C. D.110 18 16 15答案 D解析 在正六边形中，6 个顶点选取 4 个，种数为 15.选取的 4 点能构成矩形的，只有对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE)，共有 3 种，∴所求概率为 ＝ .315 153．从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是男生或都是女生的概率等于( )A. B. C. D.25 35 12 34答案 A解析 设 2 名男生为 A， B,3 名女生为 a， b， c，则从 5 名同学中任取 2 名的方法有(A， B)，( A， a)，( A， b)，( A， c)，( B， a)，( B， b)，( B， c)，( a， b)，( a， c)，( b， c)，共 10 种，而这 2 名同学刚好是一男一女的有( A， a)，( A， b)，( A， c)，( B， a)，( B， b)，(B， c)，共 6 种，故所求的概率 P＝1－ ＝ .610 254．为了纪念抗日战争胜利 70 周年，从甲、乙、丙、丁、戊 5 名候选民警中选 2 名作为阅兵安保人员，为阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有 2 名被选中的概率为( )A. B. C. D.310 110 320 1202答案 A解析 从甲、乙、丙、丁、戊 5 人中选 2 人的所有情况为：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共 10 种，其中有甲、乙、丙中 2 人的有甲乙、甲丙、乙丙 3 种，所以 P＝ .3105．[2018·梅州质检]如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4 中的任何一个，允许重复．则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为( )A. B. C. D.12 14 34 38答案 D解析 只考虑 A， B 两个方格的排法．不考虑大小， A， B 两个方格有 4×4＝16(种)排法．要使填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字，则从 1,2,3,4 中选 2 个数字，大的放入 A 格，小的放入 B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共 6 种，故填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 ＝ .选 D.616 386．[2018·湖北模拟]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则( )A． p10，即 ab，又 a∈{4,6,8}， b∈{3,5,7}， a， b 的取法共有 3×3＝9种，其中满足 ab 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共 6 种，所以所求的概率为 ＝ .69 23[B 级 知能提升]1．[2018·南京模拟]一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a， b， c，当且仅当 ab， b 的概率是________．x2a2 y2b2 5答案 16解析 由 e＝ ，得 b2a.当 a＝1 时， b＝3,4,5,6 四种情况；当 a＝2 时，1＋ b2a2 5b＝5,6 两种情况，总共有 6 种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数( a， b)共有 36 种结果．∴所求事件的概率 P＝ ＝ .636 164．按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》 ，规定：PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米．国家环保部门在 2017 年 10 月 1 日到 2018 年 1 月 30 日这 120 天对全国的 PM2.5 平均浓度的监测数据统计如下：组别 PM2.5 浓度(微克/立方米) 频数/天第一组 (0,35] 32第二组 (35,75] 64第三组 (75,115] 16第四组 115 以上 8(1)在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析，第一组应抽取多少天？(2)在(1)中所抽取的样本 PM2.5 的平均浓度超过 75 微克/立方米的若干天中，随机抽取2 天，求恰好有一天平均浓度超过 115 微克/立方米的概率．5解 (1)在这 120 天中抽取 30 天，应采取分层抽样，第一组应抽取 32× ＝8 天；第二组应抽取 64× ＝16 天；第三组应抽取30120 3012016× ＝4 天；第四组应抽取 8× ＝2 天．30120 30120(2)设 PM2.5 的平均浓度在(75,115]内的 4 天记为 A1， A2， A3， A4，PM2.5 的平均浓度在115 以上的 2 天记为 B1， B2.所以从这 6 天中任取 2 天的情况有A1A2， A1A3， A1A4， A1B1， A1B2， A2A3， A2A4， A2B1， A2B2， A3A4， A3B1， A3B2， A4B1， A4B2， B1B2，共 15 种．记“恰好有一天平均浓度超过 115 微克/立方米”为事件 A，其中符合条件的情况有A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， A3B1， A3B2， A4B1， A4B2，共 8 种，故所求事件 A 的概率 P(A)＝ .8155．[2018·兰州双基测试]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a， b， c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，( a， b， c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋ b＝ c”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种，所以 P(A)＝ ＝ ，因此， “抽取的卡片上的数字满足 a＋ b＝ c”的概率为 .327 19 19(2)设“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括(1,1,1)，B(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种，所以 P(B)＝1－ P( )＝1－ ＝ ，因此， “抽取的卡片上的数B327 89字 a， b， c 不完全相同”的概率为 .89