1、九年级数学下 新课标冀教,第三十章 二次函数,30.5 二次函数与一元二次方程的关系,学 习 新 知,思考并回答下列问题: 1.下列方程与函数形式上有何联系? x2-2x-3=0,y=x2-2x-32.方程的根与函数图像有什么关系?,(方程左边的式子就是函数表达式中“=”右边的式子),(函数值y=0时x的值,即函数图像与x轴交点的横坐标.),观察与思考,如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3,y=x2-6x+9,y=x2-4x+6.,(6)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间有什么关系?,(1)这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的
2、情况分别是怎样的?,(2)当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的?,(3)上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系?,(4)抛物线y=ax2+bx+c和x轴的交点有几种情况?由什么决定的?,(5)抛物线y=ax2+bx+c和x轴相交(或不相交)的情况与一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有什么关系?,1.填表:,2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x
3、轴有一个交点;当b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.,3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.,1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.,2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.,(教材第51页例)求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1),如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像.,思考: 观察画出的抛物线,设它与x轴
4、的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x1x2.如何求x1的近似值?,用逼近法求x1的近似值. (1)容易看出: 当x=-2时,y0;当x=-1时,y0,且-2x-1范围内,y随x的增大而减小,所以-2x1-1.,(2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为 ),代入表达式中试值. 当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2(-1.5)-6=-0.750.在-2x-1.5范围内,y随x的增大而减小,所以-2x1-1.5.,(3)取-2和-1.5的中间数-1.75,代入表达式中试值. 当x=-1.75时,y=(-1.75)2-2(-1.75)-6=0.56250;当x=-1.5时,y0.在-1.75x
5、-1.5范围内,y随x的增大而减小,所以-1.75x1-1.5.,(4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代人表达式中试值. 当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2(-1.625)-6=-0.1093750.在-1.75x-1.625范围内,y随x的增大而减小,所以-1.75x1-1.625,x1-1.7即为精确到0.1的近似值.,知识拓展 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根即为抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点的横坐标;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集即为图像在x轴上方的点所对应的x的值组成的集合;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集即为图
6、像在x轴下方的点所对应的x的值组成的集合.,2.一元二次方程的图像解法体现了数形结合思想,我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系,一元二次方程是二次函数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确.,检测反馈,解析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为方程ax2+bx+c=0根的个数.故选A.,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B
7、.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定,A,2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图像如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 ( ) A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4,解析:因为抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(4,0),所以方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D.,D,解析:由图像可得,x轴下方图像对应的x的取值范围为-1x3.故选C.,3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则函数值y3 C.-13,C,4. (2016荆州中考)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .,解析:二次函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,=16-4(a-1)2a=0,a=-1或2.故填-1或2.,-1或2,5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3). (1)求出b,c的值,并写出此二次函数的表达式; (2)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.,解:(1)将点(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得:,二次函数表达式为y=-x2+2x+3.,(2)令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, 抛物线开口向下,当-10.,
