1、第 4 讲 直线、平面平行的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线 l 与平面 没有公共点，则称直线 l 与平面 平行.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a ，b ，aba 性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a ，a ， bab2.平面与平面平行(1)平面与
2、平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a ，b ，abP ，a ，b 理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ，a a 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ， a， bab3.与垂直相关的平行的判定(1)a，b ab.(2)a，a .诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.( )(2)若直线 a 平面 ，P ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无
3、数条.( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若 a，P ，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案 (1) (2) (3) (4)2.下列命题中，正确的是( )A.若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B.若直线 a 和平面 满足 a ，那么
4、 a 与 内的任何直线平行C.若直线 a，b 和平面 满足 a ，b ，那么 abD.若直线 a，b 和平面 满足 ab，a ，b ，则 b解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选 D.答案 D3.(2015北京卷 )设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m .“m ”是“ ”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 当 m 时，可能 ，也可能 与 相交.当 时，由 m可知，m .“m”是“ ”的必要不充分条件.答案 B4.(必修 2P56 练习 2 改编)如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1
5、 与平面 AEC 的位置关系为_.解析 连接 BD，设 BDACO，连接 EO，在BDD 1中，O 为 BD 的中点，E 为 DD1的中点，所以 EO 为BDD 1的中位线，则 BD1EO，而 BD1平面ACE，EO 平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案 平行5.(2017金华检测 )设 ， ， 为三个不同的平面，a，b 为直线.(1)若 ， ，则 与 的关系是_ ；(2)若 a，b ，ab，则 与 的关系是_.解析 (1)由 ， .(2)a，abb ，又 b ，从而 .答案 (1)平行 (2) 平行6.用一个截面去截正三棱柱 ABCA 1B1C1，交A1C1，B 1C1，BC，AC
6、分别于 E，F，G，H 四点，已知 A1AA1C1，则截面的形状可以是_(把你认为可能的结果都填上).解析 由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.答案 矩形或梯形考点一 线面、面面平行的相关命题的真假判断【例 1】 (2015安徽卷)已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C.若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析 A 项， ， 可能相交，故错误；B 项
7、，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m， n，m n，则 m ，故错误；D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 mn 与已知 m，n 不平行矛盾，所以原命题正确，故 D 项正确.答案 D规律方法 (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练 1】 (2017台
8、州调研)设 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m ，n ，则 mn；若 ， ，m ，则 m；若 n，mn，m ，则 m；若 m，n ，mn，则 .其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).解析 mn 或 m，n 异面，故错误；易知正确；m 或 m，故错误； 或 与 相交，故错误.答案 考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究)命题角度一 直线与平面平行的判定【例 21】 (2016全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，AD BC，AB ADAC3，PABC4 ，M 为线段 AD 上一点，AM 2 MD，N 为 PC 的中点.(1)
9、证明：MN 平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积 .(1)证明 由已知得 AM AD2.23如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN ，由 N 为 PC 中点知TN BC，TN BC2.12又 AD BC，故 TN 綉 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.12如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AE AB2 BE2.5由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为
10、，故 SBCM 4 2 .所以四面体512 5 5NBCM 的体积 VNBCM SBCM .13 PA2 453命题角度二 直线与平面平行性质定理的应用【例 22】 如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 .点 G，E，F，H 分别是棱17PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面ABCD，BC平面 GEFH.(1)证明：GH EF ；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积.(1)证明 因为 BC平面 GEFH，BC 平面 PBC，且平面 PBC平面GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF .(2)解 如图，连接
11、AC， BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK.因为 PA PC，O 是 AC 的中点，所以POAC，同理可得 POBD .又 BD ACO，且 AC，BD 都在底面 ABCD 内，所以 PO底面 ABCD.又因为平面 GEFH 平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK ，PO平面 PBD.所以 POGK，且 GK底面 ABCD，又 EF平面 ABCD，从而 GKEF.所以 GK 是梯形 GEFH 的高.由 AB8，EB2 得 EB ABKBDB14，从而 KB DB OB，即 K 为 OB 的中点.14 12再
12、由 POGK 得 GK PO，即 G 是 PB 的中点，且 GH BC4.由已知可得12 12OB4 ，PO 6，所以 GK3.2 PB2 OB2 68 32故四边形 GEFH 的面积 S GK 318.GH EF2 4 82规律方法 (1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a ，b ，a ba)；利用面面平行的性质定理( ，a a)；利用面面平行的性质(，a ，a a).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【训练 2】 在四棱锥 P ABCD
13、 中，ADBC，AB BC AD，E ，F，H 分别为线段12AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点.(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH 平面 PAD.证明 (1)连接 EC，AD BC，BC AD，12E 为 AD 的中点， BC 綉 AE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点，又F 是 PC 的中点，FOAP，又 FO平面 BEF，AP 平面 BEF，AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点，FH PD，又 PD平面 PAD，FH 平面 PAD，FH 平面 PAD.又O 是 BE 的中
14、点，H 是 CD 的中点，OHAD ，又AD 平面 PAD，OH平面 PAD，OH平面 PAD.又 FH OHH，平面 OHF平面 PAD.又GH平面 OHF，GH平面 PAD.考点三 面面平行的判定与性质(典例迁移)【例 3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C ，H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)G ，H 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，GH 是A 1B1C1 的中位线，则 GHB 1C1.又B 1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共
15、面.(2)E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC，EF平面 BCHG，BC 平面 BCHG，EF平面 BCHG.又 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点，A 1B1 綉 AB，A 1G 綉 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A 1EGB.A 1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A 1E平面 BCHG.又A 1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.【迁移探究 1】 如图，在本例条件下，若点 D 为 BC1 的中点，求证：HD平面 A1B1BA.证明 如图所示，连接 A1B.D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点，HDA 1B，又 HD平面 A1B1BA，A1B平面
16、A1B1BA，HD平面 A1B1BA.【迁移探究 2】 在本例中，若将条件 “E，F，G ，H 分别是AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点”变为“点 D，D 1 分别是 AC，A 1C1 上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，试求 的值.ADDC解 连接 A1B 交 AB1 于 O，连接 OD1.由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC 1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O，所以 BC1D 1O，则 1.又由题设 ，A1D1D1C1 A1OOB A1D1D1C1 DCAD 1，即 1.DCAD ADDC规律方法 (1)判定面面平行的主要方法利用
17、面面平行的判定定理.线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).(2)面面平行的性质定理两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.若一平面与两平行平面相交，则交线平行.提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【训练 3】 (2016山东卷)在如图所示的几何体中，D 是 AC的中点，EFDB .(1)已知 ABBC，AE EC .求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH平面ABC.证明 (1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF，图如图，连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC
18、 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BD DE D，所以 AC平面 BDEF.因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)如图，设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.图在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB ，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HI GI I，所以平面 GHI平面 ABC，因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.思想方法1.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；
19、 (3)面面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理； (3)推论；(4)a ，a .易错防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维” ，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(2017保定模拟 )有下列命题：若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ；若直线
20、a 在平面 外，则 a ；若直线 ab，b ，则 a；若直线 ab，b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1 B.2C.3 D.4解析 命题l 可以在平面 内，不正确；命题直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题a 可以在平面 内，不正确；命题正确.答案 A2.设 m，n 是不同的直线， ， 是不同的平面，且 m，n ，则“”是“m 且 n ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若 m，n ， ，则 m 且 n；反之若 m，n ，m 且 n，则 与 相交或平行，即“”是“m 且 n”的充分不必要条件.答
21、案 A3.(2017绍兴一中检测 )如图所示的三棱柱 ABCA 1B1C1 中，过A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( )A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析 在三棱柱 ABCA 1B1C1中，ABA 1B1，AB平面 ABC，A 1B1平面 ABC，A1B1平面 ABC，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于DE.DEA 1B1，DE AB.答案 B4.下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是( )A. B. C. D.解析 中，易知 NPAA，MNAB，
22、平面 MNP平面 AAB，可得出 AB平面 MNP(如图).中，NPAB ，能得出 AB平面 MNP.在中不能判定 AB平面 MNP.答案 B5.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 ( )A.若 m，n ，则 mn B.若 m，n ，则 mnC.若 m ，mn，则 n D.若 m，mn，则 n解析 若 m，n ，则 m，n 平行、相交或异面，A 错；若 m ，n ，则 mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线， B 正确；若m，mn，则 n 或 n，C 错；若 m， mn，则 n 与 可能相交，可能平行，也可能 n，D 错.答案 B二、填空题6.(2017台
23、州月考 )在四面体 ABCD 中，M，N 分别是ACD，BCD 的重心，则 MN 与平面 ABD 的位置关系是 _；与平面 ABC 的位置关系是_.解析 如图，取 CD 的中点 E.连接 AE，BE，由于 M， N 分别是ACD， BCD 的重心，所以 AE，BE 分别过M，N，则 EMMA 12，ENBN12，所以 MNAB.因为 AB平面 ABD，MN平面 ABD，AB 平面 ABC，MN平面ABC，所以 MN平面 ABD，MN平面 ABC.答案 平行 平行7.(2017宁波调研 )如图，四棱锥 PABCD 的底面是一直角梯形，ABCD，BA AD，CD 2AB ，PA底面 ABCD，E
24、为PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为_.解析 取 PD 的中点 F，连接 EF，AF，在PCD 中，EF 綉 CD.12又ABCD 且 CD2AB，EF 綉 AB，四边形 ABEF 是平行四边形，EBAF.又EB平面 PAD，AF 平面 PAD，BE平面 PAD.答案 平行8.(2017乐清模拟 )如图所示，在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C 1D1，D 1D，DC 的中点，N 是BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不
25、必考虑全部可能情况)解析 连接 HN，FH，FN，则 FHDD 1，HN BD，平面 FHN 平面 B1BDD1，只需 MFH，则 MN平面 FHN，MN平面B1BDD1.答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点 F，G，H 的位置如图所示 .(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FG EH
26、， FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH.10.(2014全国 卷)如图，四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E 为 PD 的中点.(1)证明：PB平面 AEC；(2)设 AP1，AD ，三棱锥 PABD 的体积3V ，求 A 到平面 PBC 的距离.34(1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD
27、的中点，所以 EOPB.又因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)解 V PAABAD AB.16 36由 V ，可得 AB .作 AHPB 交 PB 于 H.34 32由题设知 ABBC，PA BC，且 PAABA，所以BC平面 PAB，又 AH平面 PAB，所以 BCAH ，又 PBBCB，故 AH平面 PBC.PB 平面 PBC，AHPB ，在 RtPAB 中，由勾股定理可得 PB，所以 AH .所以 A 到平面 PBC 的距离为 .132 PAABPB 31313 31313能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.给出下列关于互不相同的直线 l，m，n
28、 和平面 ， ， 的三个命题：若l 与 m 为异面直线，l ，m ，则 ；若 ，l ，m ，则 lm；若 l， m， n，l ，则 mn.其中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析 中当 与 不平行时，也可能存在符合题意的 l，m；中 l 与 m 也可能异面；中Error!ln，同理，l m，则 mn，正确 .答案 C12.在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A.ACBDB.AC 截面 PQMNC.AC BDD.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45解析 因为截面 PQMN 是正方形，所以 MNQP，又 PQ平面 ABC，MN平面
29、 ABC，则 MN平面 ABC，由线面平行的性质知 MNAC，又 MN平面PQMN，AC 平面 PQMN，则 AC截面 PQMN，同理可得 MQBD，又MNQM ，则 ACBD ，故 A，B 正确.又因为 BDMQ ，所以异面直线 PM 与BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，即为 45，故 D 正确.答案 C13.如图所示，棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，设 D 是 A1C1 上的点且 A1B平面 B1CD，则 A1DDC 1 的值为_.解析 设 BC1B1CO，连接 OD.A1B平面 B1CD 且平面 A1BC1平面 B1CDOD，A1BOD，四边形 BC
30、C1B1是菱形，O 为 BC1的中点，D为 A1C1的中点，则 A1DDC11.答案 114.(2015江苏卷 )如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知ACBC，BCCC 1.设 AB1 的中点为 D，B 1CBC 1E .求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB 1.证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC 1.又因为 A
31、CBC，CC 1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC 1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC 1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B 1C.因为 AC，B 1C平面 B1AC，ACB 1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB 1.15.(2017杭州七校联考 )如图，在四棱台 ABCDA 1B1C1D1 中，D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，AB2AD，ADA 1B1，BAD60.(1)证明：AA 1BD；(2)证明：CC 1平面 A1BD.
32、证明 (1)因为 D1D平面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 D1DBD.又 AB2AD，BAD 60，在ABD 中，由余弦定理，得 BD AD，3所以 AD2BD 2AB 2，即 ADBD.又 AD D1DD，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，所以 AA1BD.(2)如图，连接 AC，A 1C1.设 ACBDE，连接 EA1.因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC AC.12由棱台定义及 AB2AD 2A 1B1 知，A 1C1EC 且 A1C1EC ，所以四边形 A1ECC1 为平行四边形，因此 CC1EA 1.又 EA1平面 A1BD，CC 1平面 A1BD，所以 CC1平面 A1BD.
