1、组合增分练 5 解答题组合练 A组合增分练第 5 页 1.(2017 河北保定二模,理 17)已知数列a n是等差数列,且 a1,a2(a1cn-1,当 n4 时,c n= ,|= 22223=66 由图知二面角 A-BE-C 的平面角的余弦值为- .664.(2017 吉林三模,理 19)已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA底面ABCD,PA=BC=1,AB=2,M 为 PC 中点.(1)在图中作出平面 ADM 与 PB 的交点 N,并指出点 N 所在位置( 不要求给出理由).(2)在线段 CD 上是否存在一点 E,使得直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值为 ,
2、若存在,1010请说明点 E 的位置;若不存在,请说明理由.(3)求二面角 A-MD-C 的余弦值.解 (1)过 M 作 MNBC,交 PB 于点 N,连接 AN,如图,则点 N 为平面 ADM 与 PB 的交点(在图中画出).由 M 为 PC 中点,得 N 为 PB 的中点.(2)因为在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA底面 ABCD,以 A 为坐标原点,以直线 AB,AD,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示 .则 A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(2,1,0),M .(1,12,12)设在线段 CD 上存在一点 E(x,1,0),则 =(x
3、,1,0),设直线 AE 与平面 AMD 所成角为 ,平面 AMD 的法向量为 u=(x,y,z),则 u ,u ,即 令 z=2, +12+12=0,=0, 则 u=(-1,0,2).因为直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值为 ,1010所以 sin = ,所以 x=1.|=1010所以在线段 CD 上存在中点 E,使得直线 AE 与平面 AMD 所成角的正弦值为 .1010(3)设平面 CMD 的法向量 v=(x,y,z),则 v ,v ,即 令 z=-1, -2+2=0,2=0, 则 y=-1,所以 v=(0,-1,-1).所以 cos = =- ,| 105由图形知二面角 A-M
4、D-C 的平面角是钝角 ,所以二面角 A-MD-C 的平面角的余弦值为 - .1055.设 0,点 A 的坐标为(1,1), 点 B 在抛物线 y=x2 上运动,点 Q 满足 = ,经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 = ,求点 P 的轨迹方程.解 由 = 知 Q、M、P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2-y0=(y-x2),即 y0=(1+)x2-y, 再设 B(x1,y1),由 = ,即(x-x 1,y0-y1)=(1-x,1-y0),解得 1=(1+)-,1=(1+)0-,将 式代入 式,消去
5、y0,得 1=(1+)-,1=(1+)22-(1+)-.又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1= .21再将 式代入 y1= ,21得(1+ )2x2-(1+)y-=(1+)x-)2,(1+)2x2-(1+)y-=(1+)2x2-2(1+)x+2,2(1+)x-(1+)y-(1+)=0.因 0,两边同除以 (1+),得 2x-y-1=0.故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 导学号 168042456.已知抛物线 C1:x2=y,圆 C2 :x2+(y-4)2=1 的圆心为点 M.(1)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离;(2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点),
6、过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程.解 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为:y=- ,14所以圆心 M(0,4)到准线的距离是 .174(2)设 P(x0, ),A(x1, ),B(x2, ),由题意得 x00,x01,x1x2.20 21 22设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y- =k(x-x0),x20即 y=kx-kx0+ . 20则 =1,|0+4-20|1+2即( -1)k2+2x0(4- )k+( -4)2-1=0.20 20 20设 PA,PB 的斜率为 k1,k2(k1k2),则 k1,k2 是上述方程的两根,所以 k1+k2= ,k1k2=20(20-4)20-1.(20-4)2-120-1将 代入 y=x2,得 x2-kx+kx0- =0,20由于 x0 是此方程的根,故 x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以 kAB= =x1+x2=k1+k2-2x0= -2x0,kMP= .21-221-220(20-4)20-1 20-40由 MPAB,得 kABkMP= =-1,解得 ,20(20-4)20-1 -20(20-40) 20=235即点 P 的坐标为 ,所以直线 l 的方程为 y= x+4. 导学号 16804246(235,235) 3115115
