1、10.2 双曲线及其性质高考文数 ( 课标专用 )1.(2015课标 ,16,5分 ,0.157)已知 F是双曲线 C:x2- =1的右焦点 ,P是 C的左支上一点 ,A(0,6 ).当 APF周长最小时 ,该三角形的面积为 .A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 12 解析 由已知得双曲线的右焦点 F(3,0).设双曲线的左焦点为 F,则 F(-3,0).由双曲线的定义及已知得 |PF|=2a+|PF|=2+|PF|. APF的周长最小 ,即 |PA|+|PF|最小 .|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF| |AF|+2=17,即当 A、 P、 F三点共线时 , APF的周长最小 .设
2、 P点坐标为 (x0,y0),y00,由 得 +6 y0-96=0,所以 y0=2 或 y0=-8 (舍去 ).所以当 APF的周长最小时 ,该三角形的面积 S= 66 - 62 =12 .2.(2015课标 ,15,5分 ,0.383)已知双曲线过点 (4, ),且渐近线方程为 y= x,则该双曲线的标准方程为 .答案 -y2=1解析 根据渐近线方程为 x2y=0,可设双曲线方程为 x2-4y2=( 0).因为双曲线过点 (4, ),所以 42-4( )2=,即 =4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.考点二 双曲线的性质1.(2018课标全国 ,6,5分 )双曲线 - =1(a0,b0)的
3、离心率为 ,则其渐近线方程为 ( )A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质 . = = = , 双曲线的渐近线方程为 y= x.故选 A.2.(2018课标全国 ,10,5分 )已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则点 (4,0)到 C的渐近线的距离为 ( )A. B.2 C. D.2 答案 D 本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式 . e= = = ,且 a0,b0, =1, C的渐近线方程为 y=x, 点 (4,0)到 C的渐近线的距离为 =2 .3.(2017课标全国 ,5,5分 )已知 F是双曲线 C:x2
4、- =1的右焦点 ,P是 C上一点 ,且 PF与 x轴垂直 ,点A的坐标是 (1,3),则 APF的面积为 ( )A. B. C. D. 答案 D 解法一 :易知 F(2,0),不妨取 P点在 x轴上方 ,如图 . PF x轴 , P(2,3),|PF|=3,又 A(1,3), |AP|=1,AP PF, S APF= 31= .故选 D.解法二 :易知 F(2,0),由于 PF x轴 ,可设 P点坐标为 P(2,y0),由点 P在双曲线 C:x2- =1上可得 =9,解得 y0=3,于是 |PF|=|y0|=3.由于 APF的边 PF上的高为 2-1=1,所以 S APF= 31= .故选
5、D.4.(2017课标全国 ,5,5分 )若 a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ( )A.( ,+ ) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2)答案 C 本题考查双曲线的方程和性质 .由题意知 e= = ,因为 a1,所以 e1,所以 10)的离心率为 2,则 a= ( )A.2 B. C. D.1答案 D 由双曲线方程知 b2=3,从而 c2=a2+3,又 e=2,因此 = =4,又 a0,所以 a=1,故选 D.知识拓展 椭圆的离心率 e= = ;双曲线的离心率 e= = .6.(2017课标全国 ,14,5分 )双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为 y= x,则
6、 a= .答案 5解析 由题意可得 = ,所以 a=5.B组 自主命题 省 (区、市 )卷题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2018天津 ,7,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A,B两点 .设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1答案 A 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用 . 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2, e2=1+ =4, =3,即 b2=3a2,
7、 c2=a2+b2=4a2,不妨设点 A(2a,3a),B(2a,-3a), =3, 渐近线方程为 y= x,则点 A与点 B到直线 x-y=0的距离分别为 d1= = a,d2= = a,又 d1+d2=6, a+ a=6,解得 a= , b2=9. 双曲线的方程为 - =1,故选 A.方法归纳 求双曲线标准方程的方法 :(1)定义法 :根据题目条件求出 a,b的值 ,即可求得方程 .(2)待定系数法 :根据题目条件确定焦点的位置 ,从而设出所求双曲线的标准方程 ,利用题目条件构造关于参数 a,b的方程 (组 ),解出 a,b的值 ,即可求得方程 .2.(2017天津 ,5,5分 )已知双曲
8、线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线上 ,OAF是边长为 2的等边三角形 (O为原点 ),则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1答案 D 不妨设点 A在第一象限 ,由题意可知 c=2,点 A的坐标为 (1, ),所以 = ,又 c2=a2+b2,所以 a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为 x2- =1,故选 D.方法总结 求双曲线方程的常用方法 :(1)待定系数法 :设出所求双曲线的方程 ,根据题意构造关于 a,b的方程组 ,从而求得 a,b,写出双曲线的方程 ;(2)定义法 :根据题意建立动点所满足的关系式
9、,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程 .3.(2015天津 ,5,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切 ,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1答案 D 由题意知 ,双曲线的渐近线方程为 y= x,即 bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆 (x-2)2+y2=3相切 ,所以 = ,由双曲线的一个焦点为 F(2,0)可得 a2+b2=4,所以 |b|= ,所以 b2=3,所以 a2=1,故双曲线的方程为 x2- =1,故选 D.4.(2016北京 ,12,5分
10、 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为 ( ,0),则 a= ;b= .答案 1;2解析 由题可知双曲线焦点在 x轴上 ,故渐近线方程为 y= x,又一条渐近线为 2x+y=0,即 y=-2x, =2,即 b=2a.又 该双曲线的一个焦点为 ( ,0), c= .由 a2+b2=c2可得 a2+(2a)2=5,解得 a=1,b=2.思路分析 利用所给条件得 c= ,b=2a,a2+b2=c2,然后解方程即可 .评析 本题考查双曲线的标准方程、渐近线和焦点的相关知识 ,属中档题 .5.(2016浙江 ,13,4分 )设双曲线 x2- =1的左、右焦点分别为
11、 F1,F2.若点 P在双曲线上 ,且 F1PF2为锐角三角形 ,则 |PF1|+|PF2|的取值范围是 .答案 (2 ,8)解析 PF1F2为锐角三角形 ,不妨设 P在第一象限 ,P点在 P1与 P2之间运动 (如图 ).当 P在 P1点处时 , F1P1F2=90,= |F1F2| |= |P1F1|P1F2|.由 |P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,得 |P1F1|P1F2|=6,此时 |PF1|+|PF2|=2 .当 P在 P2点处时 , P2F2F1=90, =2,易知 =3,此时 |PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8, 当 PF1
12、F2为锐角三角形时 ,|PF1|+|PF2| (2 ,8).评析 找到点 P的两个特殊位置是解决本题的关键 .考点二 双曲线的性质1.(2018浙江 ,2,4分 )双曲线 -y2=1的焦点坐标是 ( )A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2)答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质 . a2=3,b2=1, c= =2.又 焦点在 x轴上 , 双曲线的焦点坐标为 (-2,0),(2,0).易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在 x轴上还是 y轴上 ,容易判断错误 ;(2)双曲线与椭圆的标准方程中 a,b
13、,c的关系式容易混淆 .2.(2015安徽 ,6,5分 )下列双曲线中 ,渐近线方程为 y=2x的是 ( )A.x2- =1 B. -y2=1 C.x2- =1 D. -y2=1答案 A A选项中 ,渐近线方程为 x2- =0,即 y=2x.故选 A.3.(2015湖北 ,9,5分 )将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(a b)同时增加 m(m0)个单位长度 ,得到离心率为 e2的双曲线 C2,则 ( )A.对任意的 a,b,e1b时 ,e1e2C.对任意的 a,b,e1e2D.当 ab时 ,e1e2;当 ab时 ,1,e2e1;当 a0,b0)的右焦点 F(c,0)到
14、一条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .答案 2解析 本题考查双曲线的性质 .双曲线的一条渐近线方程为 bx-ay=0,则 F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c, b= c, b2= c2,又 b2=c2-a2, c2=4a2, e= =2.5.(2018北京 ,12,5分 )若双曲线 - =1(a0)的离心率为 ,则 a= .答案 4解析 本题主要考查双曲线的标准方程和性质 .由题意知 c= , e= = = ,又 a0, a=4.方法总结 求双曲线的离心率的常用方法 :(1)求得 a,c的值 ,直接代入 e= 求解 .(2)列出关于 a,b,c的齐次方程 ,然后根据 c2=a2+b
15、2消去 b,从而转化为关于 e的方程 ,进而求解 .6.(2018上海 ,2,4分 )双曲线 -y2=1的渐近线方程为 .答案 y= x解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程 .解法一 :由双曲线 -y2=1知 a2=4,b2=1, a=2,b=1, 该双曲线的渐近线方程为 y= x.解法二 :令双曲线 -y2=1中的 “1”为 “0”,即可得到双曲线的渐近线方程 ,即 -y2=0, 该双曲线的渐近线方程为 y= x.7.(2016江苏 ,3,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,双曲线 - =1的焦距是 .答案 2 解析 由 - =1,得 a2=7,b2=3,所以 c2=10,c= ,所以 2
16、c=2 .8.(2016山东 ,14,5分 )已知双曲线 E: - =1(a0,b0).矩形 ABCD的四个顶点在 E上 ,AB,CD的中点为 E的两个焦点 ,且 2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 .答案 2解析 由已知得 |AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为 2|AB|=3|BC|,所以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得 e=2,或 e=- (舍去 ).评析 本题考查了双曲线的基本性质 ,利用 2|AB|=3|BC|建立关于离心率 e的方程是求解关键 .C组 教师专用题组考点一 双曲线的定义和标准方程1
17、.(2016天津 ,4,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0垂直 ,则双曲线的方程为 ( )A. -y2=1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1答案 A 由题意可得 解得 a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1,故选 A.2.(2014北京 ,10,5分 )设双曲线 C的两个焦点为 (- ,0),( ,0),一个顶点是 (1,0),则 C的方程为.答案 x2-y2=1解析 由双曲线的焦点坐标知 c= ,且焦点在 x轴上 ,由顶点坐标知 a=1,由 c2=a2+b2得 b2=1.所以双曲线 C的方程为 x2-y2
18、=1.评析 本题考查双曲线的标准方程、几何性质 ,考查学生的运算求解能力 .3.(2014天津 ,6,5分 )已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l上 ,则双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1答案 A 由题意知 ,双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为 y=2x,所以 =2,即 b2=4a2,又双曲线的一个焦点是直线 l与 x轴的交点 ,所以该焦点的坐标为 (-5,0),所以 c=5,即 a2+b2=25,联立得解得 a2=5,b2=20,故双曲线的方程为 - =1,故选 A.
19、4.(2010课标全国 ,8,5分 )已知 F1、 F2为双曲线 C:x2-y2=1的左、右焦点 ,点 P在 C上 , F1PF2=60,则|PF1|PF2|= ( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 在 PF1F2中 ,由余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|cos 60,将 |F1F2|=2 ,(|PF1|-|PF2|)2=4代入可得 |PF1|PF2|=4,故选 B.评析 本题考查了双曲线的定义和性质 ,属中等难度题 ,对余弦定理的灵活变形是解题关键 .考点二
20、 双曲线的性质1.(2015四川 ,7,5分 )过双曲线 x2- =1的右焦点且与 x轴垂直的直线 ,交该双曲线的两条渐近线于 A,B两点 ,则 |AB|= ( )A. B.2 C.6 D.4 答案 D 由 x2- =1得 c= = =2,渐近线方程为 y= x.不妨令点 A在 x轴上方 ,由题意可得 A(2,2 ),B(2,-2 ), |AB|=4 ,故选 D.2.(2015湖南 ,6,5分 )若双曲线 - =1的一条渐近线经过点 (3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D. 答案 D 双曲线 - =1的两条渐近线方程为 y= x,则点 (3,-4)在直线 y=- x上
21、,即 -4=- ,所以 4a=3b,即 = ,所以 e= = .故选 D.3.(2015重庆 ,9,5分 )设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F作 A1A2的垂线与双曲线交于 B,C两点 .若 A1B A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( )A. B. C.1 D. 答案 C 不妨令 B在 x轴上方 ,因为 BC过右焦点 F(c,0),且垂直于 x轴 ,所以可求得 B,C两点的坐标分别为 , ,又 A1,A2的坐标分别为 (-a,0),(a,0),所以 = , = ,因为 A1B A2C,所以 =0,即 (c+a)(c-a)- =0,即 c2-
22、a2- =0,所以 b2- =0,故 =1,即 =1,又双曲线的渐近线的斜率为 ,故该双曲线的渐近线的斜率为 1.故选 C.4.(2014广东 ,8,5分 )若实数 k满足 00,16-k0,故方程 - =1表示焦点在 x轴上的双曲线 ,且实半轴的长为 4,虚半轴的长为 ,焦距 2c=2 ,离心率 e= ;方程 - =1表示焦点在 x轴上的双曲线 ,实半轴的长为 ,虚半轴的长为 ,焦距 2c=2 ,离心率 e= .可知两曲线的焦距相等 .故选 D.评析 本题考查双曲线的标准方程及几何性质 ,考查学生运用基本知识求解及计算的能力 .利用 k的范围判断出曲线类型是解题关键 .5.(2014大纲全国 ,11,5分 )双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 ,则 C的焦距等于 ( )A.2 B.2 C.4 D.4 答案 C 由已知得 e= =2,所以 a= c,故 b= = c,从而双曲线的渐近线方程为 y= x= x,由焦点到渐近线的距离为 得 = ,解得 c=2,故 2c=4,故选 C.
